Понятие тройки векторов
Из курса физики известно, что скалярные величины или скаляры - это величины, вполне определяемые одним численным значением (например, масса, температура, объём, расстояние и пр.). То есть любое вещественное число является скаляром.
Векторные величины или векторы - это величины, которые определяют и численным значением, и направлением. Например, скорость.
Линейно зависимыми называются такие векторы $a,b,c,...$, что если подобрать такие числа $x,y,z,...$, из которых по крайней мере одно не равно $0$, то будет иметь место тождество $xa+yb+zc+...=0$. Если три вектора $a,b,c$ не равны $0$ и линейно зависимы, то они компланарны.
Связка трёх векторов - это приведённая к общему началу тройка некомпланарных векторов $a,b,c$.
Определение правой и левой тройки векторов
Приведём чертёж правой связки.
Рисунок 1. Чертёж правой связки. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Рассмотрим кратчайшее вращение $\vec{OA}=a$ к $\vec{OB}=b$ на плоскости $OAB$ со стороны направления $\vec{OC}=c$. Мы увидим, что вращение идёт против часовой стрелки.
Если большой палец и указательный пальцы левой руки вытянуть, а средний согнуть под углом ладони, то три пальца в порядке большой-указательный-средний составят правую связку. Те же пальцы на левой руке составят левую связку.
На чертеже левой связки то же вращение идёт по часовой стрелке.
Рисунок 2. Чертеж левой связки. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Способы преобразования правой связки в левую и обратно:
- перестановка местами двух любых векторов;
- изменение знака при одном из векторов;
- замена какого-нибудь вектора его зеркальным отображением относительно плоскости двух других векторов.
Правая и левая системы координат
Напомним, что координатная ось - это ось, на которой выбрано начало и единица масштаба.
Ортогональная или прямоугольная система координат в пространстве - это система из трёх взаимно перпендикулярных координатных осей $Ox, Oy$ и $Oz$ с общим началом $O$. Ортами в ортогональной системе координат называют единичные векторы (то есть векторы равные $1$).
Рассмотрим чертёж ортогональной системы координат в пространстве. Отметим на ней орты $i, j, k$.
Рисунок 3. Чертёж ортогональной системы координат в пространстве. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
$i, j, k$ образуют правую связку. Система координат в данном случае называется правой.
Система координат называется левой, когда орты образуют левую связку. То есть:
Рисунок 4. Левая система координат. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Подведём итог. В статье мы дали определение связки тройки векторов, описали правую и левую тройку векторов, а также правую и левую систему координат, как вытекающую тему из определения правой и левой тройки векторов. Стоит сказать, что на практике определение правой и левой тройки векторов со временем происходит интуитивно или "на автомате". Самое важное, это один раз понять, как это делается. Также стоит заметить, что чаще в задачах используется всё-таки правая тройка векторов и соответственно правая система координат.
