Для начала вспомним, что называют последовательностью и дадим ей определение:
Числовая последовательность — это некоторое множество элементов, каждый член которого изменяется по определённой закономерности, при этом каждому элементу приписывается некоторое число из натурального ряда.
В качестве примера для иллюстрации данной темы можно привести арифметическую прогрессию $a, a + d, a+2d, …,a+(n-1)d,…$,в ней каждому элементу соответствует номер $1, 2, 3,...n$, являющийся целым и неотрицательным числом. Другой пример последовательности — геометрическая прогрессия, её элементы представлены ниже: $a, aq, aq^2,…,aq^{n-1},...$.
Что такое монотонность последовательности
Монотонной называют последовательность, которая на всём своём промежутке всё время увеличивается или уменьшается.
Последовательность называется возрастающей, если соблюдается условие $x_1$ $n$, то $x_{n’}$ > $x_n$. Иными словами, подразумевается, что члену с более большим индексом соответствует большее значение, то есть при увеличении индекса элементы монотонно возрастают.
Также существует монотонно неубывающая разновидность, её можно описать неравенством $x_1$ ≤ $x_2$ ≤ $... x_i …$ ≤ $x_n$ ≤ $x_{n+1}$ ≤ $…$.
Последовательность является монотонно убывающей, если соблюдается условие $x_1 > x_2 >... x_i...> x_n > x_{n+1} >…$. Используем альтернативную формулировку: если $n’$ > $n$, то $x_{n’}$
Для того чтобы понять, является ли функция монотонно убывающей или возрастающей, необходимо:
- Записать, чему равны $y_n$ и $y_{n+1}$.
- Найти разность между $y_{n+1}$ и $y_n$.
- Рассмотреть знак полученного на втором этапе выражения, если он отрицательный — последовательность убывающая, а если положительный – возрастающая.
Теорема Вейерштрасса о монотонных последовательностях
Для возрастающей последовательности:
Если последовательность монотонно убывает и является ограниченной сверху $x_n$ ≤ $M$, при этом число $M$ является некоторой константой, а $n=1, 2, 3,…$, то эта последовательность обязательно имеет конечный предел.
Аналогичным образом звучит теорема для убывающей разновидности:
Последовательность $x_n$, ограниченная снизу некоторой величиной $m$ и монотонно убывающая, имеет некоторый конечный предел.
Исследовать на монотонность закономерность вида $y_n=\frac{n^2}{4^n}$.
Решение:
Рассмотрим члены последовательности $y_n=\frac{n^2}{4^n}$ и $y_{n+1}=\frac{(n+1)^2}{4^{n+1}}$.
Для того чтобы понять, как она ведёт себя, запишем разность данных элементов:
$y_{n+1}-y_{n}= \frac{(n+1)^2}{4^{n+1}} - \frac{n^2}{4^n}=\frac{(n^2+2n+1)-4n^2}{4^(n+1)}=\frac{1+2n-3n^2}{4^(n+1)}$.
Так как $n$ принадлежит множеству натуральных чисел, то $2n+1$
