Определение монотонности последовательности

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Для начала вспомним, что называют последовательностью и дадим ей определение:

Определение 1

Числовая последовательность — это некоторое множество элементов, каждый член которого изменяется по определённой закономерности, при этом каждому элементу приписывается некоторое число из натурального ряда.

В качестве примера для иллюстрации данной темы можно привести арифметическую прогрессию $a, a + d, a+2d, …,a+(n-1)d,…$ ,в ней каждому элементу соответствует номер $1, 2, 3,...n$ , являющийся целым и неотрицательным числом. Другой пример последовательности — геометрическая прогрессия, её элементы представлены ниже: $a, aq, aq^2,…,aq^{n-1},...$ .

Что такое монотонность последовательности

Монотонной называют последовательность, которая на всём своём промежутке всё время увеличивается или уменьшается.

Определение 2

Последовательность называется возрастающей, если соблюдается условие $x_1$ $n$ , то $x_{n’}$ > $x_n$ . Иными словами, подразумевается, что члену с более большим индексом соответствует большее значение, то есть при увеличении индекса элементы монотонно возрастают.

Также существует монотонно неубывающая разновидность, её можно описать неравенством $x_1$ ≤ $x_2$ ≤ $... x_i …$ ≤ $x_n$ ≤ $x_{n+1}$ ≤ $…$ .

Последовательность является монотонно убывающей, если соблюдается условие $x_1 > x_2 >... x_i...> x_n > x_{n+1} >…$ . Используем альтернативную формулировку: если $n’$ > $n$ , то $x_{n’}$

«Определение монотонности последовательности» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Найти

Для того чтобы понять, является ли функция монотонно убывающей или возрастающей, необходимо:

Записать, чему равны $y_n$ и $y_{n+1}$ .
Найти разность между $y_{n+1}$ и $y_n$ .
Рассмотреть знак полученного на втором этапе выражения, если он отрицательный — последовательность убывающая, а если положительный – возрастающая.

Теорема Вейерштрасса о монотонных последовательностях

Для возрастающей последовательности:

Определение 3

Если последовательность монотонно убывает и является ограниченной сверху $x_n$ ≤ $M$ , при этом число $M$ является некоторой константой, а $n=1, 2, 3,…$ , то эта последовательность обязательно имеет конечный предел.