Определение окружности
Окружность -- геометрическая фигура, состоящая из всех точек, расположенных на равном расстоянии от заданной точки.
В рамках определения 1, заданная точка называется центром окружности.
Отрезок, соединяющий центр окружности с любой ее точкой называется радиусом окружности (r) (Рис. 1).
Рисунок 1. Окружность с центром в точке O и радиусом r
Отрезок, соединяющий две любые точки окружности, называется хордой.
Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром (d).
d=2rВзаимное расположение прямой и окружности
Окружность имеет три возможных взаимных расположений относительно прямой:
-
Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса, то прямая имеет две точки пересечения с окружностью.
-
Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, то прямая имеет две точки пересечения с окружностью.
-
Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса, то прямая имеет две точки пересечения с окружностью.
Уравнение окружности
Выведем уравнение окружности в декартовой системе координат xOy. Пусть центр окружности C имеет координаты (x0,y0), а радиус окружности равен r. Пусть точка M с координатами (x,y) -- произвольная точка этой окружности (рис. 2).
Рисунок 2. Окружность в декартовой системе координат
Расстояние от центра окружности до точки M вычисляется следующим образом
Но, так как M лежит на окружности, то по определению 3, получаем CM=r. Тогда получим следующее
Уравнение (1) и есть уравнение окружности с центром в точке (x0,y0) и радиусом r.
В частности, если центр окружности совпадает с началом координат. То уравнение окружности имеет вид
Длина окружности
Выведем формулу длины окружности C через её радиус. Для этого рассмотрим две окружности с длинами C и C′ и радиусами R и R′. Впишем в ним правильные n−угольники с периметрами P и P′ и длинами сторон a и a′ соответственно. Как нам известно, сторона вписанного -угольника равна
Тогда, получим
Следовательно
Неограниченно увеличивая количество сторон правильных многоугольников n получим, что
Отсюда, получаем
То есть
Получили, что отношение длины окружности к её диаметру постоянное число для любой окружности. Эту константу принято обозначать числом π≈3,14. Таким образом, получим
Формула (2) и есть формула для вычисления длины окружности.
Пример задачи на понятие окружность
Найти уравнение окружности с центром в точке (1, 2). Проходящей через начало координат и найти длину данной окружности.
Решение.
Найдем сначала уравнение данной окружности. Для этого будем использовать формулу (1). Так как центр окружности лежит в точке (1, 2), получим
(x−1)2+(y−2)2=r2Найдем радиус окружности как расстояние от точки (1, 2) до точки (0,0)
r=√(1−0)2+(2−0)2=√5Получаем, уравнение окружности имеет вид:
(x−1)2+(y−2)2=5Найдем длину окружности по формуле (2). Получим
C=2πr=10πОтвет: (x−1)2+(y−2)2=5, C=10π
