Определение окружности
Окружность -- геометрическая фигура, состоящая из всех точек, расположенных на равном расстоянии от заданной точки.
В рамках определения 1, заданная точка называется центром окружности.
Отрезок, соединяющий центр окружности с любой ее точкой называется радиусом окружности $(r)$ (Рис. 1).
Рисунок 1. Окружность с центром в точке $O$ и радиусом $r$
Отрезок, соединяющий две любые точки окружности, называется хордой.
Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром $(d)$.
\[d=2r\]Взаимное расположение прямой и окружности
Окружность имеет три возможных взаимных расположений относительно прямой:
-
Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса, то прямая имеет две точки пересечения с окружностью.
-
Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, то прямая имеет две точки пересечения с окружностью.
-
Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса, то прямая имеет две точки пересечения с окружностью.
Уравнение окружности
Выведем уравнение окружности в декартовой системе координат $xOy$. Пусть центр окружности $C$ имеет координаты $(x_0,y_0)$, а радиус окружности равен $r$. Пусть точка $M$ с координатами $(x,y)$ -- произвольная точка этой окружности (рис. 2).
Рисунок 2. Окружность в декартовой системе координат
Расстояние от центра окружности до точки $M$ вычисляется следующим образом
Но, так как $M$ лежит на окружности, то по определению 3, получаем $CM=r$. Тогда получим следующее
Уравнение (1) и есть уравнение окружности с центром в точке $(x_0,y_0)$ и радиусом $r$.
В частности, если центр окружности совпадает с началом координат. То уравнение окружности имеет вид
Длина окружности
Выведем формулу длины окружности $C$ через её радиус. Для этого рассмотрим две окружности с длинами $C$ и $C'$ и радиусами $R$ и $R'$. Впишем в ним правильные $n-угольники$ с периметрами $P$ и $P'$ и длинами сторон $a$ и $a'$ соответственно. Как нам известно, сторона вписанного -угольника равна
Тогда, получим
Следовательно
Неограниченно увеличивая количество сторон правильных многоугольников $n$ получим, что
Отсюда, получаем
То есть
Получили, что отношение длины окружности к её диаметру постоянное число для любой окружности. Эту константу принято обозначать числом $\pi \approx 3,14$. Таким образом, получим
Формула (2) и есть формула для вычисления длины окружности.
Пример задачи на понятие окружность
Найти уравнение окружности с центром в точке $(1,\ 2)$. Проходящей через начало координат и найти длину данной окружности.
Решение.
Найдем сначала уравнение данной окружности. Для этого будем использовать формулу (1). Так как центр окружности лежит в точке $(1,\ 2)$, получим
\[{(x-1)}^2+{(y-2)}^2=r^2\]Найдем радиус окружности как расстояние от точки $(1,\ 2)$ до точки $(0,0)$
\[r=\sqrt{{(1-0)}^2+{(2-0)}^2}=\sqrt{5}\]Получаем, уравнение окружности имеет вид:
\[{(x-1)}^2+{(y-2)}^2=5\]Найдем длину окружности по формуле (2). Получим
\[C=2\pi r=10\pi \]Ответ: ${(x-1)}^2+{(y-2)}^2=5$, $C=10\pi $
