Как приводить дроби к общему знаменателю
Если у обыкновенных дробей одинаковые знаменатели, то говорят, что эти дроби приведены к общему знаменателю.
Например, дроби $\frac{3}{18}$ и $\frac{20}{18}$ имеют одинаковые знаменатели. Говорят, что они имеют общий знаменатель $18$. Дроби $\frac{1}{29}$, $\frac{7}{29}$ и $\frac{100}{29}$ имеют также одинаковые знаменатели. Говорят, что они имеют общий знаменатель $29$.
Если у дробей знаменатели не одинаковые, то их можно свести к общему знаменателю. Для этого необходимо умножить их числители и знаменатели на определенные дополнительные множители.
Как привести две дроби $\frac{6}{11}$ и $\frac{2}{7}$ к общему знаменателю.
Решение.
Умножим дроби $\frac{6}{11}$ и $\frac{2}{7}$ на дополнительные множители $7$ и $11$ соответственно и приведем их к общему знаменателю $77$:
$\frac{6\cdot 7}{11\cdot 7}=\frac{42}{77}$
$\frac{2\cdot 11}{7\cdot 11}=\frac{22}{77}$
Таким образом, приведением дробей к общему знаменателю называют умножение числителя и знаменателя данных дробей на дополнительные множители, которые в результате позволяют получить дроби с одинаковыми знаменателями.
Общий знаменатель
Любое положительное общее кратное всех знаменателей некоторого набора дробей называют общим знаменателем.
Другими словами, общий знаменатель заданных обыкновенных дробей – любое натуральное число, которое можно разделить на все знаменатели заданных дробей.
Из определения вытекает бесконечное множество общих знаменателей данного набора дробей.
Найти общие знаменатели дробей $\frac{3}{7}$ и $\frac{2}{13}$.
Решение.
Данные дроби имеют знаменатели, равные $7$ и $13$ соответственно. Положительные общие кратные чисел $2$ и $5$ равны $91, 182, 273, 364$ и т.д.
Любое из этих чисел можно использовать в качестве общего знаменателя дробей $\frac{3}{7}$ и $\frac{2}{13}$.
Определить, можно ли дроби $\frac{1}{2}$, $\frac{16}{7}$ и $\frac{11}{9}$ привести к общему знаменателю $252$.
Решение.
Чтобы определить, как привести дробь к общему знаменателю $252$, необходимо проверить является ли число $252$ общим кратным знаменателей $2, 7$ и $9$. Для этого разделим число $252$ на каждый из знаменателей:
$\frac{252}{2}=126,$ $\frac{252}{7}=36$, $\frac{252}{9}=28$.
Число $252$ делится нацело на все знаменатели, т.е. является общим кратным чисел $2, 7$ и $9$. Значит, данные дроби $\frac{1}{2}$, $\frac{16}{7}$ и $\frac{11}{9}$ можно свести к общему знаменателю $252$.
Ответ: можно.
Наименьший общий знаменатель
Среди всех общих знаменателей заданных дробей можно выделить наименьшее натуральное число, которое называют наименьшим общим знаменателем.
Т.к. НОК – наименьший положительный общий делитель данного набора чисел, то НОК знаменателей заданных дробей является наименьшим общим знаменателем данных дробей.
Следовательно, чтобы найти наименьший общий знаменатель дробей, нужно найти НОК знаменателей этих дробей.
Заданы дроби $\frac{4}{15}$ и $\frac{37}{18}$. Найти их наименьший общий знаменатель.
Решение.
Знаменатели данных дробей равны $15$ и $18$. Найдем наименьший общий знаменатель как НОК чисел $15$ и $18$. Используем для этого разложение чисел на простые множители:
$15=3\cdot 5$, $18=2\cdot 3\cdot 3$
$НОК(15, 18)=2\cdot 3\cdot 3\cdot 5=90$.
Ответ: $90$.
Правило приведения дробей к наименьшему общему знаменателю
Чаще всего при решении задач алгебры, геометрии, физики и т.п. принято обыкновенные дроби приводить к наименьшему общему знаменателю, а не к любому общему знаменателю.
Алгоритм:
- С помощью НОК знаменателей заданных дробей найти наименьший общий знаменатель.
- 2.Вычислить дополнительный множитель для заданных дробей. Для этого найденный наименьший общий знаменатель необходимо разделить на знаменатель каждой дроби. Полученное число и будет дополнительным множителем данной дроби.
- Умножить на найденный дополнительный множитель числитель и знаменатель каждой дроби.
Найти наименьший общий знаменатель дробей $\frac{4}{16}$ и $\frac{3}{22}$ и привести к нему обе дроби.
Решение.
Воспользуемся алгоритмом приведения дробей к наименьшему общему знаменателю.
Вычислим наименьшее общее кратное чисел $16$ и $22$:
Разложим знаменатели на простые множители: $16=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2$, $22=2\cdot 11$.
$НОК(16, 22)=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 11=176$.
Вычислим дополнительные множители для каждой дроби:
$176\div 16=11$ – для дроби $\frac{4}{16}$;
$176\div 22=8$ – для дроби $\frac{3}{22}$.
Умножим числители и знаменатели дробей $\frac{4}{16}$ и $\frac{3}{22}$ на дополнительные множители $11$ и $8$ соответственно. Получим:
$\frac{4}{16}=\frac{4\cdot 11}{16\cdot 11}=\frac{44}{176}$
$\frac{3}{22}=\frac{3\cdot 8}{22\cdot 8}=\frac{24}{176}$
Обе дроби приведены к наименьшему общему знаменателю $176$.
Ответ: $\frac{4}{16}=\frac{44}{176}$, $\frac{3}{22}=\frac{24}{176}$.
Иногда для того, чтобы находить наименьший общий знаменатель, нужно провести ряд трудоемких вычислений, что может не оправдывать цель решения задачи. В таком случае можно воспользоваться наиболее простым способ – свести дроби к общему знаменателю, который представляет собой произведение знаменателей данных дробей.
