Нормальный вектор плоскости - наиболее компактный и наглядный способ определить плоскость в трехмерной системе координат.
Вектор нормали к плоскости - любой ненулевой вектор, принадлежащий прямой, перпендикулярной к рассматриваемой плоскости. По отношению к такой прямой нормальный вектор является направляющим.
Для каждой плоскости существует бесконечное множество коллинеарных друг по отношению к другу нормальных векторов.
В качестве примера плоскостей, задаваемых нормальными векторами, можно рассматривать координатные плоскости системы координат $Oxyz$: $Oxy$, $Oxz$, $Oyz$. Для них нормальными векторами будут, векторы, направляющие оси, т.е., соответственно, $Oz$, $Oy$ и $Ox$ ($\vec{k}, \vec{j}, \vec{i}$).
Рисунок 1. Векторы в трехмерной системе координат. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Рассмотрим основные математические закономерности, показываюшие как найти вектор нормали к плоскости.
Формула нормального вектора выводится из общего уравнения плоскости, которое имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$.
Плоскости, в уравнениях которых один из коэффициентов равен $0$, соответствуют базовым плоскостям системы координат ($Oxy, Oxz, Oyz$).
Уравнения вида
$Ax + D = 0 \\ By + D = 0 \\ Cz + D = 0$
описывают плоскости, параллельные $Oxy, Oxz, Oyz$ и отстоящие от них на расстояние, равное отношению свободного члена $D$ к соответствующему коэффициенту, например:
$x = \frac{D}{A}$
Нормальный вектор плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ можно выразить как $\bar{n}(A; B; C)$. Существует бесконечное множество плоскостей, перпендикулярных данному вектору. Для определения плоскости нужна еще точка на ней. Через любую точку также можно провести бесконечное количество плоскостей (их совокупность называется связкой). Нормальный вектор и точка взаимодополняют друг друга, определяя единственную плоскость.
Точку на плоскости можно обозначить как $M_1(x; y; z)$. Вектор, соединяющий ее с любой другой точкой $M$ данной плоскости, при скалярном умножении на вектор нормали к плоскости $N$ дает ноль:
$\overline{M_1M} \cdot N = 0$
Переписав уравнение через проекции, получим
$\overline{M_1M} \cdot N = A(x - x_1) + B(y - y_1) + C(z - z_1) = 0$
Это дает нам возможность выводить уравнение плоскости через координаты точки и параметры нормального вектора плоскости.
Определить плоскость в пространстве можно и другими способами, например, с помощью указания координат трех ее точек, не лежащих на одной прямой, двух неколлинеарных векторов и точки и т.д. Однако форма записи с помощью нормального вектора плоскости и точки наиболее компактна. К ней другие методы задания плоскости можно привести путем алгебраических преобразований.
С помощью нормального вектора плоскости как ее определителя могут быть решены задачи на доказательство параллельности или перпендикулярности плоскостей, на составление уравнения плоскости, на нахождение угла между прямой и плоскостью, на нахождение угла между плоскостями.
Сформулируем уравнение плоскости, проходящей через точку с координатами $M(1; -2; 3)$ и перпендикулярной вектору $N = 2i + 4k$.
Для начала найдем коэффициенты, соответствующие координатам:
$A = 2 \\ B = 0 \\ C = 4$
Заметим, что $B = 0$ следует из того, что направляющий вектор $\vec{j}$ оси $Oy$ в исходном уравнении не упоминается.
Подставим значения в формулу:
$2(x - 1) + 0(y + 2) + 4(z - 3) = 0$
После стандартных преобразований получим ответ:
$x + 2z - 7 = 0$.
