Напомним, что вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал $(\alpha ,\beta )$ находится по формуле:
интегралэлементарных функцияхФункция вида $Ф\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int\limits^x_0{e^{\frac{-t^2}{2}}dx}$ называется интегральной функцией.
Приведем несколько элементарных свойств интегральной функции:
- $Ф\left(0\right)=0$.
- $\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int\limits^{+\infty }_0{e^{\frac{-t^2}{2}}dx}=\frac{1}{2}$.
- Функция $Ф\left(x\right)$ - нечетна.
График интегральной функции имеет вид (рис. 1):
Рис. 1. График интегральной функции $Ф\left(X\right).$
Продолжим рассуждения:
\[P\left(\alpha Итого, получаем, что вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал $(\alpha ,\beta )$ при нормальном распределении равна: \[P\left(\alpha Остается только вопрос, как найти значения функции распределения. Для этой функции составлена таблица её значений. Приведем некоторые значения для данной функции (таблица 1):Таблица 1. Значения интегральной функции $Ф(x)$.
Примеры решения задач на нахождение вероятности попадания случайной величины в заданный интервал
Случайная величина подчиняется нормальному закону распределения с параметрами $a=8,\ \sigma =5$.
Найти плотность распределения и вероятность попадания случайной величины в интервал $(6,7)$
Решение.
По определению нормального распределения плотность распределения имеет вид:
\[\varphi \left(x\right)=\frac{1}{5\sqrt{2\pi }}e^{\frac{-{(x-8)}^2}{50}}\]Для нахождения вероятность воспользуемся формулой
\[P\left(\alpha Так как интегральная функция нечетна, то получаем: \[P\left(6Из таблицы 1 находим: $Ф\left(0,4\right)=0,15542$, $Ф\left(0,2\right)=0,07926$. \[P\left(6Ответ: $0,07616$.Случайная величина подчиняется нормальному закону распределения с параметрами $a=15,\ \sigma =10$.
Найти плотность распределения и вероятность попадания случайной величины в интервал $(5,30)$
Решение.
По определению нормального распределения плотность распределения имеет вид:
\[\varphi \left(x\right)=\frac{1}{10\sqrt{2\pi }}e^{\frac{-{(x-15)}^2}{200}}\]Для нахождения вероятность воспользуемся формулой
\[P\left(\alpha Из таблицы 1 находим: $Ф\left(1,5\right)=0,43319$, $Ф\left(0,2\right)=0$. \[P\left(6Ответ: $0,43319$.
