Напомним, что вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал (α,β) находится по формуле:
интегралэлементарных функцияхФункция вида Ф(x)=1√2πx∫0e−t22dx называется интегральной функцией.
Приведем несколько элементарных свойств интегральной функции:
- Ф(0)=0.
- 1√2π+∞∫0e−t22dx=12.
- Функция Ф(x) - нечетна.
График интегральной функции имеет вид (рис. 1):
Рис. 1. График интегральной функции Ф(X).
Продолжим рассуждения:
\[P\left(\alpha Итого, получаем, что вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал (α,β) при нормальном распределении равна: \[P\left(\alpha Остается только вопрос, как найти значения функции распределения. Для этой функции составлена таблица её значений. Приведем некоторые значения для данной функции (таблица 1):Таблица 1. Значения интегральной функции Ф(x).
Примеры решения задач на нахождение вероятности попадания случайной величины в заданный интервал
Случайная величина подчиняется нормальному закону распределения с параметрами a=8, σ=5.
Найти плотность распределения и вероятность попадания случайной величины в интервал (6,7)
Решение.
По определению нормального распределения плотность распределения имеет вид:
φ(x)=15√2πe−(x−8)250Для нахождения вероятность воспользуемся формулой
\[P\left(\alpha Так как интегральная функция нечетна, то получаем: \[P\left(6Из таблицы 1 находим: Ф(0,4)=0,15542, Ф(0,2)=0,07926. \[P\left(6Ответ: 0,07616.Случайная величина подчиняется нормальному закону распределения с параметрами a=15, σ=10.
Найти плотность распределения и вероятность попадания случайной величины в интервал (5,30)
Решение.
По определению нормального распределения плотность распределения имеет вид:
φ(x)=110√2πe−(x−15)2200Для нахождения вероятность воспользуемся формулой
\[P\left(\alpha Из таблицы 1 находим: Ф(1,5)=0,43319, Ф(0,2)=0. \[P\left(6Ответ: 0,43319.
