Сложение и вычитание натуральных чисел

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Сложение натуральных чисел

Для получения числа, которое следует за натуральным, нужно прибавить к нему единицу.

Пример 1

$5 + 1 = 6;$

$48 + 1 = 49$

Для сложения чисел $9$ и $3$ нужно к числу $9$ прибавить $3$ раза единицу.

Получим:

$9 + 3 = 9 + 1 + 1 + 1 = 10 + 1 +1 = 11 + 1 = 12.$

Записывают короче:

$9 + 3 = 12.$

Числа, которые складывают, называют слагаемыми, а результат их сложения -- суммой.

Рисунок 1.

В примере $9 + 3 = 12$:

$9$ и $3$ -- слагаемые, $6$ -- сумма.

Свойства сложения

Переместительное свойство (коммутативность):

При перестановке слагаемых сумма не меняется

$1 + 5 = 5 + 1 = 6.$

В общем виде переместительное свойство записывается так:

$a + b = b + a$.
Сочетательное свойство (ассоциативность):

Сумма трех и более слагаемых не изменится, если изменить порядок их сложения

$2 + ( 8 + 3 ) = ( 2 + 8 ) + 3 = 13.$

В общем виде сочетательное свойство записывается так:

$a + ( b + c ) = ( a + b ) + c.$
Свойство прибавления нуля:

Если к числу прибавить нуль, то сумма будет равна самому числу

$7 + 0 = 7.$

К этому свойству можно применить переместительное свойство, получим:

Если к нулю прибавить число, то сумма будет равна прибавляемому числу

$0 + 7 = 7.$

В общем виде:

$a + 0 = 0 + a = a.$

Если точкой $C$ разделить отрезок $AB$, то сумма длин отрезков $AC$ и $CB$ будет равна длине отрезка $AB$.

Рисунок 2.

Записывается: $AB = AC + CB$.

Сложение чисел можно удобно выполнять «в столбик»:

Рисунок 3.

Вычитание натуральных чисел

Вычитание -- операция, обратная сложению.

Пример 2

На тарелке лежало $7$ яблок, съели $3$ яблока. Сколько яблок осталось на тарелке?

Очевидно, что если к оставшемуся числу яблок $(x)$ добавить $3$ яблока, то их станет $7$:

$x + 3 = 7.$

Таким образом, известно одно слагаемое и сумма, нужно найти второе слагаемое.

Для этого используется вычитание:

$x = 7 - 3 = 4$, т.к. $3 + 4 = 7.$

Число, из которого вычитают, называется уменьшаемым, а число, которое вычитают, -- вычитаемым. Результат вычитания называется разностью.

Из данной задачи получаем:

$7$ -- уменьшаемое, $3$ -- вычитаемое, $8$ -- разность.

В общем виде

Если $b + c = a$, то

Рисунок 4.

При вычитании натуральных чисел уменьшаемое обязательно должно быть больше вычитаемого:

$11 - 3 = 8; 8 > 3.$

Разность двух чисел находят, чтобы узнать на сколько уменьшаемое больше вычитаемого или на сколько вычитаемое меньше уменьшаемого:

$11$ больше $3$ на $8$.

«Сложение и вычитание натуральных чисел» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Найти

Свойства вычитания

Свойство вычитания суммы из числа:

$a - ( b + c ) = a - b - c.$

Например, нужно найти значение выражения:

$123 - ( 23 + 45 ) = 123 - 68 = 55.$

Однако намного удобнее считать так:

$123 - ( 23 + 45 ) = 123 - 23 - 45 = 100 - 45 = 55.$

В этом выражении нужно вычесть сумму из числа, а можно сначала вычесть из уменьшаемого одно слагаемое, а потом из полученной разности вычесть второе слагаемое.

Например, найдем результат выражения:

$217 - 33 - 27 = 184 - 27 = 157.$

Но гораздо легче найти сумму вычитаемых и вычесть ее из уменьшаемого:

$217 - 33 - 23 = 217 - ( 33 + 27 ) = 217 - 60 = 157.$
Свойство вычитания числа из суммы:

если $c

если $c

Рассмотрим три примера с одинаковыми результатами.

$( 6 + 5 ) - 4=11 - 4=7;$

$6 + ( 5 - 4 )=6 + 1=7;$

$( 6 - 4 ) + 5=2 + 5=7.$

Откуда получаем: $( 6 + 5 ) - 4=6 + ( 5 - 4 )=( 6 - 4 ) + 5.$

Если нужно вычесть число из суммы, можно вычесть его из любого слагаемого и к полученной разности прибавить другое слагаемое.

Вычитаемое обязательно должно быть меньше слагаемого, из которого его вычитают, или равным ему.

Пример 3

$( 234 + 123 ) - 134=357 - 134=223.$

Но намного удобнее считать так:

$( 234 + 123 ) - 134=234 - 134+ 123=100+ 123=223.$
Если из числа вычесть нуль, оно не изменится:

$a - 0 = a.$

Если из числа вычесть это же число, получим нуль:

$a - a = 0.$

Т.к. $9 + 0 = 9$, то по смыслу вычитания имеем:

$9 - 9 = 0$ или $9 - 0 = 9.$

Результат вычитания удобно находить «в столбик»:

Рисунок 5.

Если точкой $C$ разделяется отрезок $AB$, то разность длин отрезков $AB$ и CB$ равна длине отрезка $AC.$

Рисунок 6.

Записывается: $AB - CB = AC$ или $AB - AC = CB.$

Если $AB = 7$ см, а $CB = 4$ см, то $AC = 7 - 4 = 3$ см.

Пример 4

Решить уравнение $63 - x = 55.$

Решение:

$x = 63 - 55$, откуда $x = 8.$

Число $8$ называется корнем уравнения $63 - x = 55$, т.к. получаем верное равенство $63 - 8 = 55.$

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.