Сложение натуральных чисел
Для получения числа, которое следует за натуральным, нужно прибавить к нему единицу.
5+1=6;
48+1=49
Для сложения чисел 9 и 3 нужно к числу 9 прибавить 3 раза единицу.
Получим:
9+3=9+1+1+1=10+1+1=11+1=12.
Записывают короче:
9+3=12.
Числа, которые складывают, называют слагаемыми, а результат их сложения -- суммой.
Рисунок 1.
В примере 9+3=12:
9 и 3 -- слагаемые, 6 -- сумма.
Свойства сложения
-
Переместительное свойство (коммутативность):
При перестановке слагаемых сумма не меняется
1+5=5+1=6.
В общем виде переместительное свойство записывается так:
a+b=b+a.
-
Сочетательное свойство (ассоциативность):
Сумма трех и более слагаемых не изменится, если изменить порядок их сложения
2+(8+3)=(2+8)+3=13.
В общем виде сочетательное свойство записывается так:
a+(b+c)=(a+b)+c.
-
Свойство прибавления нуля:
Если к числу прибавить нуль, то сумма будет равна самому числу
7+0=7.
К этому свойству можно применить переместительное свойство, получим:
Если к нулю прибавить число, то сумма будет равна прибавляемому числу
0+7=7.
В общем виде:
a+0=0+a=a.
Если точкой C разделить отрезок AB, то сумма длин отрезков AC и CB будет равна длине отрезка AB.
Рисунок 2.Записывается: AB=AC+CB.
Сложение чисел можно удобно выполнять «в столбик»:
Рисунок 3.
Вычитание натуральных чисел
Вычитание -- операция, обратная сложению.
На тарелке лежало 7 яблок, съели 3 яблока. Сколько яблок осталось на тарелке?
Очевидно, что если к оставшемуся числу яблок (x) добавить 3 яблока, то их станет 7:
x+3=7.
Таким образом, известно одно слагаемое и сумма, нужно найти второе слагаемое.
Для этого используется вычитание:
x=7−3=4, т.к. 3+4=7.
Число, из которого вычитают, называется уменьшаемым, а число, которое вычитают, -- вычитаемым. Результат вычитания называется разностью.
Из данной задачи получаем:
7 -- уменьшаемое, 3 -- вычитаемое, 8 -- разность.
В общем виде
Если b+c=a, то
Рисунок 4.
При вычитании натуральных чисел уменьшаемое обязательно должно быть больше вычитаемого:
11−3=8;8>3.
Разность двух чисел находят, чтобы узнать на сколько уменьшаемое больше вычитаемого или на сколько вычитаемое меньше уменьшаемого:
11 больше 3 на 8.
Свойства вычитания
-
Свойство вычитания суммы из числа:
a−(b+c)=a−b−c.
Например, нужно найти значение выражения:
123−(23+45)=123−68=55.
Однако намного удобнее считать так:
123−(23+45)=123−23−45=100−45=55.
В этом выражении нужно вычесть сумму из числа, а можно сначала вычесть из уменьшаемого одно слагаемое, а потом из полученной разности вычесть второе слагаемое.
Например, найдем результат выражения:
217−33−27=184−27=157.
Но гораздо легче найти сумму вычитаемых и вычесть ее из уменьшаемого:
217−33−23=217−(33+27)=217−60=157.
-
Свойство вычитания числа из суммы:
если $c
если $c
Рассмотрим три примера с одинаковыми результатами.
(6+5)−4=11−4=7;
6+(5−4)=6+1=7;
(6−4)+5=2+5=7.
Откуда получаем: (6+5)−4=6+(5−4)=(6−4)+5.
Если нужно вычесть число из суммы, можно вычесть его из любого слагаемого и к полученной разности прибавить другое слагаемое.
Вычитаемое обязательно должно быть меньше слагаемого, из которого его вычитают, или равным ему.
Пример 3(234+123)−134=357−134=223.
Но намного удобнее считать так:
(234+123)−134=234−134+123=100+123=223.
-
Если из числа вычесть нуль, оно не изменится:
a−0=a.
Если из числа вычесть это же число, получим нуль:
a−a=0.
Т.к. 9+0=9, то по смыслу вычитания имеем:
9−9=0 или 9−0=9.
Результат вычитания удобно находить «в столбик»:
Рисунок 5.Если точкой C разделяется отрезок AB, то разность длин отрезков AB и CBравнадлинеотрезкаAC.$
Рисунок 6.Записывается: AB−CB=AC или AB−AC=CB.
Если AB=7 см, а CB=4 см, то AC=7−4=3 см.
Пример 4Решить уравнение 63−x=55.
Решение:
x=63−55, откуда x=8.
Число 8 называется корнем уравнения 63−x=55, т.к. получаем верное равенство 63−8=55.
Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.