Параллелепипед, сввойства прямоугольного параллелепипеда

Понятие параллелепипеда

Свойства параллелепипеда

Доказательство.

Параллельность противоположных граней сразу исходит из определения 1.

Докажем равенство противоположных граней. Для этого рассмотрим рисунок 2.

Рисунок 2.

Рассмотрим грани ${AA}_1B_1B$ и ${DD}_1C_1C$. Так как, по определению 1, грани параллелепипеда -- параллелограммы, то ${AA}_1={DD}_1$ и $AB=DC.$ Так же ${AA}_1||{DD}_1$ и $AB||DC$, следовательно, $\overrightarrow{{AA}_1}\uparrow \uparrow \overrightarrow{{DD}_1}$ и $\overrightarrow{AB}\uparrow \uparrow \overrightarrow{DC}$, то есть $\angle A_1AB=\angle D_1DC$. Значит, по I признаку равенства треугольников$\triangle A_1AB=\triangle D_1DC$. Аналогично доказывается, что $\triangle D_1C_1C=\triangle A_1B_1B$, следовательно, $D_1C_1CD=A_1B_1BA$. Аналогично доказывается равенство других противоположных граней.

Теорема доказана.

Доказательство.

Рассмотрим рисунок 3.

Рисунок 3.

Докажем вначале, что диагонали $A_1C$ и $D_1B$ делятся точкой пересечения $O$ пополам. По теореме 1, имеем $A_1D_1=BC$ и $A_1D_1||BC$. Следовательно, $A_1D_1CB$ -- параллелограмм. Тогда, по свойству параллелограмма, получим, что диагонали $A_1C$ и $D_1B$ делятся точкой пересечения $O$ пополам. Аналогично доказывается, что диагонали ${AC}_1$ и $D_1B$ и $A_1C$ и ${DB}_1$ делятся точками их пересечения пополам. Но, так как $O$ центр диагоналей $A_1C$ и $D_1B$, то все диагонали пересекаются в этой точке.

Теорема доказана.

Прямоугольный параллелепипед

Можно выделить два частных случая понятия параллелепипеда. Один из них -- понятие прямоугольного параллелепипеда.

Прямоугольный параллелепипед обладает теми же свойствами, что и произвольный, однако он помимо этого обладает отдельным свойством.

Доказательство.

Рассмотрим рисунок 5. Докажем, для примера, что

Рассмотрим треугольник $ADC$. По теореме Пифагора, имеем

Так как $ABCD$ -- прямоугольник, то $DC=AB$, следовательно

Рассмотрим треугольник $ACC_1$. По теореме Пифагора, имеем

Так как ${CC}_1=AA_1$, то

Куб

Пример задачи