Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Сумма и разность многочленов

Все предметы / Математика / Многочлены / Сумма и разность многочленов

Сумма многочленов

Многочлены можно складывать друг с другом. Рассмотрим следующий пример.

Пример 1

Сложим многочлены ${3ab}^5+\ {6b}^6+{13a}^5$ и ${6b}^6-{ab}^5+{3a}^5$

Первым шагом нам необходимо записать эти многочлены как сумму:

\[\left({3ab}^5+\ {6b}^6+{13a}^5\right)+({6b}^6-{ab}^5+{3a}^5)\]

Раскроем скобки:

\[{3ab}^5+\ {6b}^6+{13a}^5+{6b}^6-{ab}^5+{3a}^5\]

Приведем подобные слагаемые, в результате получим:

\[{2ab}^5+\ {12b}^6+{16a}^5\]

Видим, что результатом суммы этих двух многочленов получили также многочлен.

Однако при сложении в некоторых случаях мы можем получить одночлен.

Пример 2

Сложим многочлены ${3ab}^5-\ {6b}^6+{13a}^5$ и ${6b}^6+{ab}^5-1{3a}^5$

Запишем эти многочлены как сумму:

\[\left({3ab}^5-\ {6b}^6+{13a}^5\right)+({6b}^6+{ab}^5-1{3a}^5)\]

Раскроем скобки:

\[{3ab}^5-\ {6b}^6+{13a}^5+{6b}^6+{ab}^5-1{3a}^5\]

Приведем подобные слагаемые, в результате получим:

\[{4ab}^5\]

Получили одночлен.

Разность многочленов

Многочлены можно вычитать друг из друга. Рассмотрим пример.

Пример 3

Вычтем из многочлена ${3ab}^5+\ {6b}^6+{13a}^5$ многочлен ${6b}^6-{ab}^5+{3a}^5$.

Первым шагом нам необходимо записать эти многочлены как разность:

\[\left({3ab}^5+\ {6b}^6+{13a}^5\right)-({6b}^6-{ab}^5+{3a}^5)\]

Раскроем скобки:

Напомним, что если перед скобками стоит знак минус, то, при раскрытии скобок, знаки в скобках будут меняться на противоположные.

\[{3ab}^5+\ {6b}^6+{13a}^5-{6b}^6+{ab}^5-{3a}^5\]

Приведем подобные слагаемые, в результате получим:

\[{4ab}^5+{10a}^5\]

Видим, что результатом разности этих двух многочленов получили также многочлен.

Однако при вычитании одного многочлена из другого в некоторых случаях мы можем получить одночлен.

Пример 4

Вычтем из многочлена ${3ab}^5+\ {6b}^6+{13a}^5$ многочлен ${1{3a}^5-6b}^6+3{ab}^5$.

Запишем эти многочлены как разность:

\[\left({3ab}^5+\ {6b}^6+{13a}^5\right)-(1{3a}^5+-{6b}^6+3{ab}^5)\]

Раскроем скобки:

\[{3ab}^5+\ {6b}^6+{13a}^5+{6b}^6-3{ab}^5-1{3a}^5\]

Приведем подобные слагаемые, в результате получим:

\[{12b}^6\]

Получили одночлен.

Готовые работы на аналогичную тему

Примеры задач на сложение и вычитание многочленов

Пример 5

Упростить следующие выражения:

а) $\left(x^2-45x+12\right)+\left(8x^2-12x\right)-(16x^2-2x)$

б) $\left(a^2-a-3\right)-\left(a^2+4\right)-(2a-7)$

в) $\left(6ab-2a^2\right)-\left(3ab+4a^2+1\right)-(-ab-2a^2-1)$

г) $-\left(2xy^2-xy+y\right)+3xy^2-4y-(5xy-xy^2)$

д) $\left({8m}^3-3m^2\right)-(7+{8m}^3-2m^2)$

Решение:

а) $\left(x^2-45x+12\right)+\left(8x^2-12x\right)-(16x^2-2x)$

Для начала раскроем скобки:

\[x^2-45x+12+8x^2-12x-16x^2+2x\]

Теперь приведем подобные слагаемые, получим:

\[{-7x}^2-55x+12\]

б) $\left(a^2-a-3\right)-\left(a^2+4\right)-(2a-7)$

Раскроем скобки:

\[a^2-a-3-a^2-4-2a+7\]

Приведем подобные слагаемые, получим:

\[-3a\]

в) $\left(6ab-2a^2\right)-\left(3ab+4a^2+1\right)-(-ab-2a^2-1)$

Раскроем скобки:

\[6ab-2a^2-3ab-4a^2-1+ab+2a^2+1\]

Приведем подобные слагаемые, получим:

\[4ab-4a^2\]

г) $-\left(2xy^2-xy+y\right)+3xy^2-4y-(5xy-xy^2)$

Раскроем скобки:

\[-2xy^2+xy-y+3xy^2-4y-5xy+xy^2\]

Приведем подобные слагаемые, получим:

\[2xy^2-4xy-5y\]

д) $\left({8m}^3-3m^2\right)-(7+{8m}^3-2m^2)$

Раскроем скобки:

\[{8m}^3-3m^2-7-{8m}^3+2m^2\]

Приведем подобные слагаемые, получим:

\[-m^2-7\]
Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Александр Мельник

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис