Сумма многочленов
Многочлены можно складывать друг с другом. Рассмотрим следующий пример.
Сложим многочлены ${3ab}^5+\ {6b}^6+{13a}^5$ и ${6b}^6-{ab}^5+{3a}^5$
Первым шагом нам необходимо записать эти многочлены как сумму:
\[\left({3ab}^5+\ {6b}^6+{13a}^5\right)+({6b}^6-{ab}^5+{3a}^5)\]Раскроем скобки:
\[{3ab}^5+\ {6b}^6+{13a}^5+{6b}^6-{ab}^5+{3a}^5\]Приведем подобные слагаемые, в результате получим:
\[{2ab}^5+\ {12b}^6+{16a}^5\]Видим, что результатом суммы этих двух многочленов получили также многочлен.
Однако при сложении в некоторых случаях мы можем получить одночлен.
Сложим многочлены ${3ab}^5-\ {6b}^6+{13a}^5$ и ${6b}^6+{ab}^5-1{3a}^5$
Запишем эти многочлены как сумму:
\[\left({3ab}^5-\ {6b}^6+{13a}^5\right)+({6b}^6+{ab}^5-1{3a}^5)\]Раскроем скобки:
\[{3ab}^5-\ {6b}^6+{13a}^5+{6b}^6+{ab}^5-1{3a}^5\]Приведем подобные слагаемые, в результате получим:
\[{4ab}^5\]Получили одночлен.
Разность многочленов
Многочлены можно вычитать друг из друга. Рассмотрим пример.
Вычтем из многочлена ${3ab}^5+\ {6b}^6+{13a}^5$ многочлен ${6b}^6-{ab}^5+{3a}^5$.
Первым шагом нам необходимо записать эти многочлены как разность:
\[\left({3ab}^5+\ {6b}^6+{13a}^5\right)-({6b}^6-{ab}^5+{3a}^5)\]Раскроем скобки:
Напомним, что если перед скобками стоит знак минус, то, при раскрытии скобок, знаки в скобках будут меняться на противоположные.
\[{3ab}^5+\ {6b}^6+{13a}^5-{6b}^6+{ab}^5-{3a}^5\]Приведем подобные слагаемые, в результате получим:
\[{4ab}^5+{10a}^5\]Видим, что результатом разности этих двух многочленов получили также многочлен.
Однако при вычитании одного многочлена из другого в некоторых случаях мы можем получить одночлен.
Вычтем из многочлена ${3ab}^5+\ {6b}^6+{13a}^5$ многочлен ${1{3a}^5-6b}^6+3{ab}^5$.
Запишем эти многочлены как разность:
\[\left({3ab}^5+\ {6b}^6+{13a}^5\right)-(1{3a}^5+-{6b}^6+3{ab}^5)\]Раскроем скобки:
\[{3ab}^5+\ {6b}^6+{13a}^5+{6b}^6-3{ab}^5-1{3a}^5\]Приведем подобные слагаемые, в результате получим:
\[{12b}^6\]Получили одночлен.
Примеры задач на сложение и вычитание многочленов
Упростить следующие выражения:
а) $\left(x^2-45x+12\right)+\left(8x^2-12x\right)-(16x^2-2x)$
б) $\left(a^2-a-3\right)-\left(a^2+4\right)-(2a-7)$
в) $\left(6ab-2a^2\right)-\left(3ab+4a^2+1\right)-(-ab-2a^2-1)$
г) $-\left(2xy^2-xy+y\right)+3xy^2-4y-(5xy-xy^2)$
д) $\left({8m}^3-3m^2\right)-(7+{8m}^3-2m^2)$
Решение:
а) $\left(x^2-45x+12\right)+\left(8x^2-12x\right)-(16x^2-2x)$
Для начала раскроем скобки:
\[x^2-45x+12+8x^2-12x-16x^2+2x\]Теперь приведем подобные слагаемые, получим:
\[{-7x}^2-55x+12\]б) $\left(a^2-a-3\right)-\left(a^2+4\right)-(2a-7)$
Раскроем скобки:
\[a^2-a-3-a^2-4-2a+7\]Приведем подобные слагаемые, получим:
\[-3a\]в) $\left(6ab-2a^2\right)-\left(3ab+4a^2+1\right)-(-ab-2a^2-1)$
Раскроем скобки:
\[6ab-2a^2-3ab-4a^2-1+ab+2a^2+1\]Приведем подобные слагаемые, получим:
\[4ab-4a^2\]г) $-\left(2xy^2-xy+y\right)+3xy^2-4y-(5xy-xy^2)$
Раскроем скобки:
\[-2xy^2+xy-y+3xy^2-4y-5xy+xy^2\]Приведем подобные слагаемые, получим:
\[2xy^2-4xy-5y\]д) $\left({8m}^3-3m^2\right)-(7+{8m}^3-2m^2)$
Раскроем скобки:
\[{8m}^3-3m^2-7-{8m}^3+2m^2\]Приведем подобные слагаемые, получим:
\[-m^2-7\]
