Квадрат суммы и разности
Иногда приходится сталкиваться с умножением одинаковых многочленов друг на друга. Например $(4a-1)(4a-1)$, $(a-c)(a-c)$. Сначала вспомним, как умножают многочлен на многочлен.
Правило умножения многочлена на многочлен
Для того чтобы умножить многочлен на многочлен, надо умножить каждый член одного многочлена поочередно на каждый член другого многочлена и полученный произведения сложить.
Не трудно заметить, что при умножении многочлена на многочлен мы столкнемся с умножением одночленов, при котором необходимо пользоваться следующим алгоритмом действий:
Алгоритм умножения одночленов
-
Перемножить коэффициенты одночленов - полученный результат и будет коэффициентом итогового одночлена
-
Перемножить переменные входящие в состав обоих одночленов. Воспользоваться при этом свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$
-
Составить произведение из чисел и переменных, найденных в п. 1 и 2 и добавить к произведению переменные, входящие в один из одночленов
Квадрат суммы двух выражений
Найти произведение $(5a+2)(5a+2)$
Решение:
Сначала воспользуемся правилом умножения многочленов - умножим каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена и сложим результаты. Для этого сначала первый член первого многочлена - $5a$ - умножим на первый и второй член второго (на $5a$ и $2$),т.е. получим $5a\cdot 5a+2\cdot 5a$, затем второй член первого многочлена - $2$ - умножим на первый и второй члены второго многочлена (на $5a$ и $2$),т.е. получим $2\cdot 5a + 2\cdot 2$ и составим сумму получившихся выражений
$(5a+2)(5a+2)=5a\cdot 5a+2\cdot 5a+2\cdot 5a + 2\cdot 2$
Теперь воспользуемся правилом умножения одночленов, т. е умножим сначала коэффициенты одночленов, затем переменные, тогда последовательно получим:
$5a\cdot 5a=25\cdot a\cdot a=25a^2$
$2\cdot 5a=10a$
$2\cdot 2=4$
Тогда наш многочлен примет вид:
$(5a+2)(5a+2)=5a\cdot 5a+2\cdot 5a+2\cdot 5a + 2\cdot 2=25a^2+10a+10a+4$
Приведем подобные слагаемые, которыми в нашем многочлене будут одночлены $10a$:
$(5a+2)(5a+2)= 25a^2+10a+10a+4 = 25a^2+20a+4$
Теперь посмотрев на результат, попробуем записать его через исходные одночлены:
$(5a+2)(5a+2)= {(5а+2)}^2=25a^2+20a+4={(5a)}^2+2\cdot 5a\cdot 2+2^2$
или короче
${(5a+2)}^2={(5a)}^2+2\cdot 5a\cdot 2+2^2$, отсюда мы можем вывести правило возведения суммы в квадрат:
Квадрат суммы двух выражений равен сумме квадратов двух выражений плюс удвоенное произведение первого на второе.
Математическая запись будет выглядеть так ${(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2$
Алгоритм нахождения квадрата суммы двух выражений
-
Возвести первый и второй одночлен или числа в квадрат.
Если первое слагаемое является одночленом, то обязательно воспользоваться формулой возведения в степень произведения ${(ab)}^n=a^nb^n$ - при возведении в степень произведения каждый множитель возводится в эту степень
Например, ${(3a)}^2=3^2\cdot a^2=9a^2$
Если выражение является одночленом, степень которого больше первой так же необходимо воспользоваться и правилом возведения степени в степень: ${{(a}^n)}^m=a^{n \cdot m}$ - при возведении степени в степень основание остается без изменений, а показатели степени перемножаются
$({{2a}^2)}^2=2^2\cdot {(a^2)}^2=4a^4$
-
Найти удвоенное произведение первого и второго слагаемого выражения.
-
Составить сумму выражений найденных в п. 1,2.
Квадрат разности двух выражений
Аналогично можно вывести форму для нахождения квадрата разности двух выражений: ${(a-b)}^2=a^2-2ab+b^2$
Квадрат разности двух выражений равен сумме квадратов этих выражений минус удвоенное произведение первого выражения на второе
Алгоритм нахождения квадрата разности двух выражений:
-
Возвести первый и второй одночлен или числа в квадрат.
Если первое слагаемое является одночленом, то обязательно воспользоваться формулой возведения в степень произведения ${(ab)}^n=a^nb^n$ - при возведении в степень произведения каждый множитель возводится в эту степень.
Например, ${(9a)}^2=9^2\cdot a^2=81a^2$
Если выражение является одночленом, степень которого больше первой так же необходимо воспользоваться и правилом возведения степени в степень: ${{(a}^n)}^m=a^{n\cdot m}$ - при возведении степени в степень основание остается без изменений, а показатели степени перемножаются
$({{4a}^3)}^2=4^2\cdot {(a^3)}^2=16a^6$
-
Найти удвоенное произведение первого и второго выражения.
-
Составить сумму выражений найденных в п. 1 и вычесть из найденной суммы выражение, найденное в п.2
${(7-8a)}^2$
Решение: нам необходимо найти квадрат разности двух выражений.Бедем действовать согласно алгоритму:
-
Возвести первый и второй одночлен или числа в квадрат
$7^2=49$
${(8a)}^2=8^2\cdot a^2=64a^2$
-
Найти удвоенное произведение первого и второго выражения.
$2\cdot 7\cdot 8a=112a$
-
Составить сумму выражений найденных в п. 1 и вычесть из найденной суммы выражение, найденное в п.2
$49+64a^2-112a$
Значит, в более привычной записи решение будет выглядеть так:
\[{(7-8a)}^2=49-112a+64a^2\]
