Понятие многочлена
Для начала напомним следующее определение:
Одночлен - это числа, переменные, их степени и произведения.
Напомним, что одночлены можно складывать друг с другом. Результатом сложения одночленов может быть как одночлен, так и многочлен. Что же тогда такое многочлен?
Многочлен - это сумма одночленов.
Так как суммой одночленов может быть также одночлен, то понятие одночлена можно считать частным случаем понятия многочлена.
${3ab}^5+{6b}^6+{13aс}^5$.
Члены многочлена - это все одночлены, входящие в многочлен.
Многочлен ${3ab}^5+{6b}^6+{13aс}^5$ состоит из трех членов: ${3ab}^5,\ {6b}^6,{13aс}^5$.
Отметим, что, так как одночлен - частный случай многочлена, то его можно считать многочленом, состоящим из одного члена.
$xy^2z^5$.
Здесь можно выделить также следующие определения:
Двучлен - многочлен, состоящий из двух членов.
${6b}^6+{13aс}^5$.
Трехчлен - многочлен, состоящий из трех членов.
${xy}^5+y^6+{xz}^5$
Линейный двучлен - многочлен вида $ax+b$, где $a$ и $b$ конкретные числа отличные от нуля.
$\ 5x+3$.
Над многочленами можно проводить следующие действия: многочлены можно складывать друг с другом и вычитать друг из друга, перемножать между собой, а также умножать многочлен на одночлен.
Стандартный вид многочлена
Определим понятие стандартного вида многочлена. Напомним следующее определение:
Стандартный вид одночлена - запись одночлена в виде произведения числа и натуральных степеней переменных, входящих в одночлен.
Введем понятие многочлена стандартного вида:
Многочленом стандартного вида называют многочлен, состоящий из одночленов стандартного вида, который не имеет подобных членов.
${3x}^3+5x+89$.
Свободный член многочлена - член, не содержащий буквенных записей.
В многочлене ${3x}^3+5x+89$, число 89 - свободный член многочлена.
Степень многочлена
Для начала вспомним следующее определение:
Степень одночлена - сумма всех степеней переменных, входящих в одночлен.
Степень многочлена стандартного вида - наибольшая степень из степеней входящих в него одночленов.
Найдем степень следующего многочлена: ${3ab}^3+{6b}^6+{13aс}^6$.
Степень одночлена ${3ab}^3$ равна 4,
Степень одночлена ${6b}^6$ равна 6,
Степень одночлена ${13aс}^6$ равна 7,
Значит, степень данного многочлена стандартного вида равна 7.
Степень многочлена произвольного вида - степень соответствующего ему многочлена стандартного вида.
То есть, для того чтобы найти степень произвольного многочлена, сначала надо привести его к стандартному виду, а затем найти степень полученного многочлена стандартного вида.
Коэффициенты многочлена
Напомним определение:
Коэффициент одночлена - число, записанное слева в стандартной записи одночлена.
Пусть теперь все члены многочлена являются одночленами, записанными в стандартном виде. Тогда
Коэффициенты многочлена - числа, записанные слева в стандартной записи одночленов, входящих в данный многочлен.
Примеры задач на нахождение степени многочлена
Найти степень многочлена стандартного вида ${xy}^9+y^6+{xz}^7$.
Решение.
Найдем степени членов многочлена:
Степень одночлена ${xy}^5$ равна 10,
Степень одночлена $y^6$ равна 6,
Степень одночлена ${xz}^5$ равна 8,
Значит, степень данного многочлена стандартного вида равна 10.
Найти степень многочлена ${3xy}^5+xyz+{2xy}^5+{5xz}^7$.
Решение.
Вначале приведем многочлен к стандартному виду:
\[{3xy}^5+xyz+{2xy}^5+{5xz}^7=xyz+{5xy}^5+{5xz}^7\]Найдем степени членов многочлена:
Степень одночлена $xyz$ равна 3,
Степень одночлена ${5xy}^5$ равна 6,
Степень одночлена ${5xz}^7$ равна 8,
Значит, степень данного многочлена стандартного вида равна 8.
