Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/GeneralPunctuation.js
Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Метод прямоугольников

Рассмотрим задачу, в которой требуется вычислить определённый интеграл baf(x)dx, при этом функция f(x) является непрерывной на промежутке [a;b]. Обычно, если существует возможность, интегралы вычисляются через нахождение первообразной, но так как это не всегда возможно, прибегают к использованию приближённых методов.

К наиболее часто используемым приближённым методам относят:

В данной статье мы подробно расcмотрим метод прямоугольников.

Сущность метода прямоугольников

Рассмотрим нахождение определённого интеграла от функции f(x) с точки зрения геометрии. Интеграл baf(x)dx в данном случае есть не что иное, как площадь фигуры, ограниченной сверху графиком f(x), по бокам прямыми x=a и x=b, а снизу осью абсцисс.

Метод <a href=средних прямоугольников" />

Рисунок 1. Метод средних прямоугольников

Для того чтобы найти площадь всей фигуры, можно воспользоваться определением интеграла и разбить всю фигуру на равные сегменты одной и той же длины. Точки на оси абсцисс, которые будут разбивать фигуру, обозначим как xi. Нулевая точка при разбиении x0=a, а конечная точка xn=b. Для того чтобы вычислить длину одного сегмента, воспользуемся формулой:

Δxi=ban

В методе средних прямоугольников каждый сегмент заменяется на прямоугольник, за высоту которого принимается ордината середины отрезка. Получается, что площадь одного такого прямоугольника равна Si=banf(ξi), а площадь всей фигуры будет равна:

«Метод прямоугольников» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Помощь с рефератом от нейросети
Написать ИИ

baf(x)dx=ban(f(ξ0)+f(ξ1)+...+f(ξn1), где xiξixi+1

Эта формула позволяет не вычислять напрямую площадь искомой фигуры, ограниченной кривой линией, а заменить её приблизительной площадью ступенчатой фигуры, состоящей из прямоугольников.

При использовании метода средних прямоугольников так как ξi=xi+xi+12=xi+12, тогда f(ξi)=f(xi+12) обозначим как yi+12,

и формула примет вид:

Определение 1

baf(x)dx=ban(y12+y32+yn12(1)

Эта формула называется формулой средних прямоугольников.

Методы левых и правых прямоугольников

Данные методы отличаются от метода средних прямоугольников тем, что здесь в качестве ординаты для элементарного прямоугольника выбирается либо крайнее левое значение функции f(x) (и тогда метод называется методом левых прямоугольников), либо крайнее правое, и тогда метод носит название метода правых прямоугольников.

Определение 2

Формула для применения метода левых прямоугольников выглядит так:

baf(x)dx=ban(y0+y1+yn1)(2)

Определение 3

Формула для метода правых прямоугольников:

baf(x)dx=ban(y1+y2+yn)(3)

Формулы (1),(2),(3) иначе также называются квадратурными составными формулами.

Погрешность метода прямоугольников

Для того чтобы оценить общую погрешность метода прямоугольников, необходимо рассмотреть каждый из элементарных сегментов кривой по отдельности. Общая погрешность в таком случае представляет собой сумму погрешностей всех погрешностей сегментов.

Итак, рассмотрим, чему равна погрешность на одном сегменте.

Площадь одного сегмента вычисляется по приближённой формуле:

xixi1f(x)dxf(xi1+xixi12)(xixi1)(4)

Погрешность будем определять по разнице со значением первообразной, вычисленной с помощью формулы Ньютона-Лейбница: δi=xixi1f(x)dxf(xi1+xixi12)(xixi1)(5)

Так как в левой части равенства xixi1 есть не что иное как xixi1dx — длина элементарного отрезка, его можно заменить на dx. Перепишем правую часть равенства (4), используя это:

f(xi1+xixi12)(xixi1)=xixi1f(xi1+xixi12)dx

δi=xixi1f(x)dxxixi1f(xi1+xixi12)dx=xixi1(f(x)f(xi1+xixi12)dx(6)

Допуская, что фунцкия f(x) дважды дифференцируема в точке x=xixi1 и вокруг неё, разложим её в бесконечную сумму степенных функций, используя ряды Тейлора и формулу Лагранжа:

f(x)=f(xi1+Δx2)+f(xi1+Δx2)(x(xi1+Δx2))+f

Применим полученное для подстановки: f(x)-f(x_{i-1}+ \frac{Δx}{2})=f’(x_{i-1}+\frac{Δx}{2}) \cdot(x-(x_{i-1} + \frac{Δx}{2}))+f’’(ε_i) \cdot \frac{(x-(x_{i-1}+\frac{Δx}{2}))^2}{2}\left(7\right)

Проинтегрируем (7):

\int^{x_{i}}_{x_{i-1}}(f(x)-f(x_{i-1}+ \frac{Δx}{2})dx= \int^{x_{i}}_{x_{i-1}}f’(x_{i-1}+\frac{Δx}{2}) \cdot(x-(x_{i-1}+\frac{ Δx}{2}))dx+ \int^{x_{i}}_{x_{i-1}} f’’(ε_i) \cdot \frac{x-(x_{i-1}+ \frac{Δx}{2}))^2}{2}dx

В конечном итоге для элементарного сегмента \left[x_{i-1};x_i\right] имеем:

δ_i=\int^x{i}_{x_{i-1}} (f(x)-f(x_{i-1}+\frac{Δx}{2}))=\frac{f’’(ε_i) \cdot h^3}{24} и наконец,

|δ_i|≤max_{x\in \left[x_{i-1};x_i\right]}|f’’(x)| \cdot \frac{h^3}{24}.

Для всей же фигуры погрешность полученной площади составит:

δ_i=\sum^n_{i=1}\int^{x_i}_{x_{i-1}}(f(x)-f(x_{i-1}+\frac{Δx}{2}))dx

и в конечном виде:

Определение 4

|δ_i|≤max_{x\in \left[a;b\right]}|f’’(x)| \cdot \frac{(b-a)^3}{24n^2}

Данная формула используется для получения погрешности при использовании формулы для средних прямоугольников.

Формула для погрешности методов правых и левых прямоугольников выводится аналогичным способом и имеет следующий вид:

Определение 5

|δ_i|≤max_{x\in \left[a;b\right]}|f’(x)| \cdot \frac{(b-a)^2}{2n}

Погрешность, полученная с использованием метода правых или левых прямоугольников для вычисления интегралов больше, чем погрешность при использовании метода средних прямоугольников. Поэтому более предпочтительным для приближённого интегрирования является именно метод средних прямоугольников.

Пример 1

Вычислить интеграл \int_1^2 \frac{dx}{x}=ln2 с точностью до 0, 001 используя формулу средних прямоугольников.

Разобьём нашу функцию на 10 равных сегментов.

В начале оценим погрешность вычисления:

|δ_n|≤max_{x\in \left[a;b\right]}|(\frac{1}{x})’| \cdot \frac{(2-1)^3}{24 \cdot 10^2}

В данном случае погрешность меньше либо равна:

|δ_n|≤0.000042, следовательно, в данном случае для разбиения можно использовать 10 сегментов.

Разобьём подынтегральную функцию на 10 отрезков, длина каждого из которых Δx=\frac{2-1}{10}=0,1 и вычислим значение подынтегральной функции y(x)=\frac{1}{x} в середине каждого отрезка:

x_\frac{1}{2}=1,05; y_\frac{1}{2}=0,9524;

x_\frac{3}{2}=1,15; y_\frac{3}{2}=0,8696;

x_\frac{5}{2}=1,25; y_\frac{5}{2}=0,8;

x_\frac{7}{2}=1,35; y_\frac{7}{2}=0,7407;

x_\frac{9}{2}=1,45; y_\frac{9}{2}=0,6897;

x_\frac{11}{2}=1,55; y_\frac{11}{2}=0,6452;

x_\frac{13}{2}=1,65; y_\frac{13}{2}=0,6061;

x_\frac{15}{2}=1,75; y_\frac{15}{2}=0,5714;

x_\frac{17}{2}=1,85; y_\frac{17}{2}=0,5405;

x_\frac{19}{2}=1,95; y_\frac{19}{2}=0,5128;

Сумма всех вычисленных значений функции f(x) составит 6.9284, а само значение составит:

\int_1^2 \frac{dx}{x}=\frac{6,9284}{10}=0.69284 — что отвечает требуемому условию о погрешности.

Дата последнего обновления статьи: 25.02.2025
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Крупнейшая русскоязычная библиотека студенческих решенных задач
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Метод прямоугольников"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant