Рассмотрим задачу, в которой требуется вычислить определённый интеграл ∫baf(x)dx, при этом функция f(x) является непрерывной на промежутке [a;b]. Обычно, если существует возможность, интегралы вычисляются через нахождение первообразной, но так как это не всегда возможно, прибегают к использованию приближённых методов.
К наиболее часто используемым приближённым методам относят:
- Метод прямоугольников;
- Метод трапеций;
- Метод Симпсона или иначе метод парабол.
В данной статье мы подробно расcмотрим метод прямоугольников.
Сущность метода прямоугольников
Рассмотрим нахождение определённого интеграла от функции f(x) с точки зрения геометрии. Интеграл ∫baf(x)dx в данном случае есть не что иное, как площадь фигуры, ограниченной сверху графиком f(x), по бокам прямыми x=a и x=b, а снизу осью абсцисс.
средних прямоугольников" />
Рисунок 1. Метод средних прямоугольников
Для того чтобы найти площадь всей фигуры, можно воспользоваться определением интеграла и разбить всю фигуру на равные сегменты одной и той же длины. Точки на оси абсцисс, которые будут разбивать фигуру, обозначим как xi. Нулевая точка при разбиении x0=a, а конечная точка xn=b. Для того чтобы вычислить длину одного сегмента, воспользуемся формулой:
Δxi=b−an
В методе средних прямоугольников каждый сегмент заменяется на прямоугольник, за высоту которого принимается ордината середины отрезка. Получается, что площадь одного такого прямоугольника равна Si=b−an⋅f(ξi), а площадь всей фигуры будет равна:
∫baf(x)dx=b−an⋅(f(ξ0)+f(ξ1)+...+f(ξn−1), где xi≤ξi≤xi+1
Эта формула позволяет не вычислять напрямую площадь искомой фигуры, ограниченной кривой линией, а заменить её приблизительной площадью ступенчатой фигуры, состоящей из прямоугольников.
При использовании метода средних прямоугольников так как ξi=xi+xi+12=xi+12, тогда f(ξi)=f(xi+12) обозначим как yi+12,
и формула примет вид:
∫baf(x)dx=b−an⋅(y12+y32+yn−12(1)
Эта формула называется формулой средних прямоугольников.
Методы левых и правых прямоугольников
Данные методы отличаются от метода средних прямоугольников тем, что здесь в качестве ординаты для элементарного прямоугольника выбирается либо крайнее левое значение функции f(x) (и тогда метод называется методом левых прямоугольников), либо крайнее правое, и тогда метод носит название метода правых прямоугольников.
Формула для применения метода левых прямоугольников выглядит так:
∫baf(x)dx=b−an⋅(y0+y1+yn−1)(2)
Формула для метода правых прямоугольников:
∫baf(x)dx=b−an⋅(y1+y2+yn)(3)
Формулы (1),(2),(3) иначе также называются квадратурными составными формулами.
Погрешность метода прямоугольников
Для того чтобы оценить общую погрешность метода прямоугольников, необходимо рассмотреть каждый из элементарных сегментов кривой по отдельности. Общая погрешность в таком случае представляет собой сумму погрешностей всех погрешностей сегментов.
Итак, рассмотрим, чему равна погрешность на одном сегменте.
Площадь одного сегмента вычисляется по приближённой формуле:
∫xixi−1f(x)dx≈f(xi−1+xi−xi−12)⋅(xi−xi−1)(4)
Погрешность будем определять по разнице со значением первообразной, вычисленной с помощью формулы Ньютона-Лейбница: δi=∫xixi−1f(x)dx−f(xi−1+xi−xi−12)⋅(xi−xi−1)(5)
Так как в левой части равенства xi−xi−1 есть не что иное как ∫xixi−1dx — длина элементарного отрезка, его можно заменить на dx. Перепишем правую часть равенства (4), используя это:
f(xi−1+xi−xi−12)⋅(xi−xi−1)=∫xixi−1f(xi−1+xi−xi−12)dx
δi=∫xixi−1f(x)dx−∫xixi−1f(xi−1+xi−xi−12)dx=∫xixi−1(f(x)−f(xi−1+xi−xi−12)dx(6)
Допуская, что фунцкия f(x) дважды дифференцируема в точке x=xi−xi−1 и вокруг неё, разложим её в бесконечную сумму степенных функций, используя ряды Тейлора и формулу Лагранжа:
f(x)=f(xi−1+Δx2)+f′(xi−1+Δx2)⋅(x−(xi−1+Δx2))+f″(εi)⋅(x−(xi−1+Δx2))22
Применим полученное для подстановки: f(x)−f(xi−1+Δx2)=f′(xi−1+Δx2)⋅(x−(xi−1+Δx2))+f″(εi)⋅(x−(xi−1+Δx2))22(7)
Проинтегрируем (7):
∫xixi−1(f(x)−f(xi−1+Δx2)dx=∫xixi−1f′(xi−1+Δx2)⋅(x−(xi−1+Δx2))dx+∫xixi−1f″(εi)⋅x−(xi−1+Δx2))22dx
В конечном итоге для элементарного сегмента [xi−1;xi] имеем:
δi=∫xixi−1(f(x)−f(xi−1+Δx2))=f″(εi)⋅h324 и наконец,
|δi|≤maxx∈[xi−1;xi]|f″(x)|⋅h324.
Для всей же фигуры погрешность полученной площади составит:
δi=∑ni=1∫xixi−1(f(x)−f(xi−1+Δx2))dx
и в конечном виде:
|δi|≤maxx∈[a;b]|f″(x)|⋅(b−a)324n2
Данная формула используется для получения погрешности при использовании формулы для средних прямоугольников.
Формула для погрешности методов правых и левых прямоугольников выводится аналогичным способом и имеет следующий вид:
|δi|≤maxx∈[a;b]|f′(x)|⋅(b−a)22n
Погрешность, полученная с использованием метода правых или левых прямоугольников для вычисления интегралов больше, чем погрешность при использовании метода средних прямоугольников. Поэтому более предпочтительным для приближённого интегрирования является именно метод средних прямоугольников.
Вычислить интеграл ∫21dxx=ln2 с точностью до 0,001 используя формулу средних прямоугольников.
Разобьём нашу функцию на 10 равных сегментов.
В начале оценим погрешность вычисления:
|δn|≤maxx∈[a;b]|(1x)′|⋅(2−1)324⋅102
В данном случае погрешность меньше либо равна:
|δn|≤0.000042, следовательно, в данном случае для разбиения можно использовать 10 сегментов.
Разобьём подынтегральную функцию на 10 отрезков, длина каждого из которых Δx=2−110=0,1 и вычислим значение подынтегральной функции y(x)=1x в середине каждого отрезка:
x12=1,05;y12=0,9524;
x32=1,15;y32=0,8696;
x52=1,25;y52=0,8;
x72=1,35;y72=0,7407;
x92=1,45;y92=0,6897;
x112=1,55;y112=0,6452;
x132=1,65;y132=0,6061;
x152=1,75;y152=0,5714;
x172=1,85;y172=0,5405;
x192=1,95;y192=0,5128;
Сумма всех вычисленных значений функции f(x) составит 6.9284, а само значение составит:
∫21dxx=6,928410=0.69284 — что отвечает требуемому условию о погрешности.