Метод прямоугольников

Рассмотрим задачу, в которой требуется вычислить определённый интеграл $\int^b_a f(x)dx$, при этом функция $f(x)$ является непрерывной на промежутке $\left[a;b\right]$. Обычно, если существует возможность, интегралы вычисляются через нахождение первообразной, но так как это не всегда возможно, прибегают к использованию приближённых методов.

К наиболее часто используемым приближённым методам относят:

• Метод прямоугольников;
• Метод трапеций;
• Метод Симпсона или иначе метод парабол.

В данной статье мы подробно расcмотрим метод прямоугольников.

Сущность метода прямоугольников

Рассмотрим нахождение определённого интеграла от функции $f(x)$ с точки зрения геометрии. Интеграл $\int^b_a f(x)dx$ в данном случае есть не что иное, как площадь фигуры, ограниченной сверху графиком $f(x)$, по бокам прямыми $x=a$ и $x=b$, а снизу осью абсцисс.

средних прямоугольников" />

Рисунок 1. Метод средних прямоугольников

Для того чтобы найти площадь всей фигуры, можно воспользоваться определением интеграла и разбить всю фигуру на равные сегменты одной и той же длины. Точки на оси абсцисс, которые будут разбивать фигуру, обозначим как $x_i$. Нулевая точка при разбиении $x_0=a$, а конечная точка $x_n=b$. Для того чтобы вычислить длину одного сегмента, воспользуемся формулой:

$Δx_i=\frac{b-a}{n}$

В методе средних прямоугольников каждый сегмент заменяется на прямоугольник, за высоту которого принимается ордината середины отрезка. Получается, что площадь одного такого прямоугольника равна $S_i= \frac{b-a}{n} \cdot f(ξ_i)$, а площадь всей фигуры будет равна:

$\int^b_a f(x)dx=\frac{b-a}{n}\cdot (f( ξ_0)+f( ξ_1)+...+f( ξ_{n-1})$, где $x_i≤ ξ_i≤x_{i+1}$

Эта формула позволяет не вычислять напрямую площадь искомой фигуры, ограниченной кривой линией, а заменить её приблизительной площадью ступенчатой фигуры, состоящей из прямоугольников.

При использовании метода средних прямоугольников так как $ξ_i=\frac{x_i+x_{i+1}}{2}=x_{i+\frac{1}{2}}$, тогда $f( ξ_i)=f(x_{i+\frac{1}{2}})$ обозначим как $y_{i+ \frac{1}{2}}$,

и формула примет вид:

Методы левых и правых прямоугольников

Данные методы отличаются от метода средних прямоугольников тем, что здесь в качестве ординаты для элементарного прямоугольника выбирается либо крайнее левое значение функции $f(x)$ (и тогда метод называется методом левых прямоугольников), либо крайнее правое, и тогда метод носит название метода правых прямоугольников.

Формулы $(1), (2), (3)$ иначе также называются квадратурными составными формулами.

Погрешность метода прямоугольников

Для того чтобы оценить общую погрешность метода прямоугольников, необходимо рассмотреть каждый из элементарных сегментов кривой по отдельности. Общая погрешность в таком случае представляет собой сумму погрешностей всех погрешностей сегментов.

Итак, рассмотрим, чему равна погрешность на одном сегменте.

Площадь одного сегмента вычисляется по приближённой формуле:

$\int^{x_i}_{x_{i-1}} f(x)dx≈f(x_{i-1}+\frac{x_i-x_{i-1}}{2}) \cdot (x_i-x_{i-1})\left(4\right)$

Погрешность будем определять по разнице со значением первообразной, вычисленной с помощью формулы Ньютона-Лейбница: $δ_i= \int^{x_i}_{x_{i-1}} f(x)dx - f(x_{i-1}+\frac{x_{i}-x_{i-1}}{2}) \cdot (x_i-x_{i-1})\left(5\right)$

Так как в левой части равенства $x_{i}-x_{i-1}$ есть не что иное как $\int^x{i}_{x_{i-1}}dx$ — длина элементарного отрезка, его можно заменить на $dx$. Перепишем правую часть равенства $(4)$, используя это:

$f(x_{i-1}+\frac{x_i-x_{i-1}}{2}) \cdot (x_i-x_{i-1})=\int^{x_i}_{x_{i-1}} f(x_{i-1}+ \frac{x_{i}-x_{i-1}}{2})dx$

$δ_i=\int^{x_i}_{x_{i-1}} f(x)dx - \int^{x_i}_{x_{i-1}} f(x_{i-1}+ \frac{x_{i}-x_{i-1}}{2})dx =\int^{x_i}_{x_{i-1}}(f(x)-f(x_{i-1}+ \frac{x_i-x_{i-1}}{2})dx \left(6\right)$

Допуская, что фунцкия $f(x)$ дважды дифференцируема в точке $x=x_{i}-x_{i-1}$ и вокруг неё, разложим её в бесконечную сумму степенных функций, используя ряды Тейлора и формулу Лагранжа:

$f(x)=f(x_{i-1}+\frac{Δx}{2})+f’(x_{i-1}+\frac{Δx}{2}) \cdot (x-(x_{i-1}+\frac{Δx}{2}))+f’’(ε_i) \cdot \frac{(x-(x_{i-1}+\frac{Δx}{2}))^2}{2}$

Применим полученное для подстановки: $f(x)-f(x_{i-1}+ \frac{Δx}{2})=f’(x_{i-1}+\frac{Δx}{2}) \cdot(x-(x_{i-1} + \frac{Δx}{2}))+f’’(ε_i) \cdot \frac{(x-(x_{i-1}+\frac{Δx}{2}))^2}{2}\left(7\right)$

Проинтегрируем $(7)$:

$\int^{x_{i}}_{x_{i-1}}(f(x)-f(x_{i-1}+ \frac{Δx}{2})dx= \int^{x_{i}}_{x_{i-1}}f’(x_{i-1}+\frac{Δx}{2}) \cdot(x-(x_{i-1}+\frac{ Δx}{2}))dx+ \int^{x_{i}}_{x_{i-1}} f’’(ε_i) \cdot \frac{x-(x_{i-1}+ \frac{Δx}{2}))^2}{2}dx$

В конечном итоге для элементарного сегмента $\left[x_{i-1};x_i\right]$ имеем:

$δ_i=\int^x{i}_{x_{i-1}} (f(x)-f(x_{i-1}+\frac{Δx}{2}))=\frac{f’’(ε_i) \cdot h^3}{24}$ и наконец,

$|δ_i|≤max_{x\in \left[x_{i-1};x_i\right]}|f’’(x)| \cdot \frac{h^3}{24}.$

Для всей же фигуры погрешность полученной площади составит:

$δ_i=\sum^n_{i=1}\int^{x_i}_{x_{i-1}}(f(x)-f(x_{i-1}+\frac{Δx}{2}))dx$

и в конечном виде:

Данная формула используется для получения погрешности при использовании формулы для средних прямоугольников.

Формула для погрешности методов правых и левых прямоугольников выводится аналогичным способом и имеет следующий вид:

Погрешность, полученная с использованием метода правых или левых прямоугольников для вычисления интегралов больше, чем погрешность при использовании метода средних прямоугольников. Поэтому более предпочтительным для приближённого интегрирования является именно метод средних прямоугольников.