Рассмотрим задачу, в которой требуется вычислить определённый интеграл ∫baf(x)dx, при этом функция f(x) является непрерывной на промежутке [a;b]. Обычно, если существует возможность, интегралы вычисляются через нахождение первообразной, но так как это не всегда возможно, прибегают к использованию приближённых методов.
К наиболее часто используемым приближённым методам относят:
- Метод прямоугольников;
- Метод трапеций;
- Метод Симпсона или иначе метод парабол.
В данной статье мы подробно расcмотрим метод прямоугольников.
Сущность метода прямоугольников
Рассмотрим нахождение определённого интеграла от функции f(x) с точки зрения геометрии. Интеграл ∫baf(x)dx в данном случае есть не что иное, как площадь фигуры, ограниченной сверху графиком f(x), по бокам прямыми x=a и x=b, а снизу осью абсцисс.
средних прямоугольников" />
Рисунок 1. Метод средних прямоугольников
Для того чтобы найти площадь всей фигуры, можно воспользоваться определением интеграла и разбить всю фигуру на равные сегменты одной и той же длины. Точки на оси абсцисс, которые будут разбивать фигуру, обозначим как xi. Нулевая точка при разбиении x0=a, а конечная точка xn=b. Для того чтобы вычислить длину одного сегмента, воспользуемся формулой:
Δxi=b−an
В методе средних прямоугольников каждый сегмент заменяется на прямоугольник, за высоту которого принимается ордината середины отрезка. Получается, что площадь одного такого прямоугольника равна Si=b−an⋅f(ξi), а площадь всей фигуры будет равна:
∫baf(x)dx=b−an⋅(f(ξ0)+f(ξ1)+...+f(ξn−1), где xi≤ξi≤xi+1
Эта формула позволяет не вычислять напрямую площадь искомой фигуры, ограниченной кривой линией, а заменить её приблизительной площадью ступенчатой фигуры, состоящей из прямоугольников.
При использовании метода средних прямоугольников так как ξi=xi+xi+12=xi+12, тогда f(ξi)=f(xi+12) обозначим как yi+12,
и формула примет вид:
∫baf(x)dx=b−an⋅(y12+y32+yn−12(1)
Эта формула называется формулой средних прямоугольников.
Методы левых и правых прямоугольников
Данные методы отличаются от метода средних прямоугольников тем, что здесь в качестве ординаты для элементарного прямоугольника выбирается либо крайнее левое значение функции f(x) (и тогда метод называется методом левых прямоугольников), либо крайнее правое, и тогда метод носит название метода правых прямоугольников.
Формула для применения метода левых прямоугольников выглядит так:
∫baf(x)dx=b−an⋅(y0+y1+yn−1)(2)
Формула для метода правых прямоугольников:
∫baf(x)dx=b−an⋅(y1+y2+yn)(3)
Формулы (1),(2),(3) иначе также называются квадратурными составными формулами.
Погрешность метода прямоугольников
Для того чтобы оценить общую погрешность метода прямоугольников, необходимо рассмотреть каждый из элементарных сегментов кривой по отдельности. Общая погрешность в таком случае представляет собой сумму погрешностей всех погрешностей сегментов.
Итак, рассмотрим, чему равна погрешность на одном сегменте.
Площадь одного сегмента вычисляется по приближённой формуле:
∫xixi−1f(x)dx≈f(xi−1+xi−xi−12)⋅(xi−xi−1)(4)
Погрешность будем определять по разнице со значением первообразной, вычисленной с помощью формулы Ньютона-Лейбница: δi=∫xixi−1f(x)dx−f(xi−1+xi−xi−12)⋅(xi−xi−1)(5)
Так как в левой части равенства xi−xi−1 есть не что иное как ∫xixi−1dx — длина элементарного отрезка, его можно заменить на dx. Перепишем правую часть равенства (4), используя это:
f(xi−1+xi−xi−12)⋅(xi−xi−1)=∫xixi−1f(xi−1+xi−xi−12)dx
δi=∫xixi−1f(x)dx−∫xixi−1f(xi−1+xi−xi−12)dx=∫xixi−1(f(x)−f(xi−1+xi−xi−12)dx(6)
Допуская, что фунцкия f(x) дважды дифференцируема в точке x=xi−xi−1 и вокруг неё, разложим её в бесконечную сумму степенных функций, используя ряды Тейлора и формулу Лагранжа:
f(x)=f(xi−1+Δx2)+f′(xi−1+Δx2)⋅(x−(xi−1+Δx2))+f″
Применим полученное для подстановки: f(x)-f(x_{i-1}+ \frac{Δx}{2})=f’(x_{i-1}+\frac{Δx}{2}) \cdot(x-(x_{i-1} + \frac{Δx}{2}))+f’’(ε_i) \cdot \frac{(x-(x_{i-1}+\frac{Δx}{2}))^2}{2}\left(7\right)
Проинтегрируем (7):
\int^{x_{i}}_{x_{i-1}}(f(x)-f(x_{i-1}+ \frac{Δx}{2})dx= \int^{x_{i}}_{x_{i-1}}f’(x_{i-1}+\frac{Δx}{2}) \cdot(x-(x_{i-1}+\frac{ Δx}{2}))dx+ \int^{x_{i}}_{x_{i-1}} f’’(ε_i) \cdot \frac{x-(x_{i-1}+ \frac{Δx}{2}))^2}{2}dx
В конечном итоге для элементарного сегмента \left[x_{i-1};x_i\right] имеем:
δ_i=\int^x{i}_{x_{i-1}} (f(x)-f(x_{i-1}+\frac{Δx}{2}))=\frac{f’’(ε_i) \cdot h^3}{24} и наконец,
|δ_i|≤max_{x\in \left[x_{i-1};x_i\right]}|f’’(x)| \cdot \frac{h^3}{24}.
Для всей же фигуры погрешность полученной площади составит:
δ_i=\sum^n_{i=1}\int^{x_i}_{x_{i-1}}(f(x)-f(x_{i-1}+\frac{Δx}{2}))dx
и в конечном виде:
|δ_i|≤max_{x\in \left[a;b\right]}|f’’(x)| \cdot \frac{(b-a)^3}{24n^2}
Данная формула используется для получения погрешности при использовании формулы для средних прямоугольников.
Формула для погрешности методов правых и левых прямоугольников выводится аналогичным способом и имеет следующий вид:
|δ_i|≤max_{x\in \left[a;b\right]}|f’(x)| \cdot \frac{(b-a)^2}{2n}
Погрешность, полученная с использованием метода правых или левых прямоугольников для вычисления интегралов больше, чем погрешность при использовании метода средних прямоугольников. Поэтому более предпочтительным для приближённого интегрирования является именно метод средних прямоугольников.
Вычислить интеграл \int_1^2 \frac{dx}{x}=ln2 с точностью до 0, 001 используя формулу средних прямоугольников.
Разобьём нашу функцию на 10 равных сегментов.
В начале оценим погрешность вычисления:
|δ_n|≤max_{x\in \left[a;b\right]}|(\frac{1}{x})’| \cdot \frac{(2-1)^3}{24 \cdot 10^2}
В данном случае погрешность меньше либо равна:
|δ_n|≤0.000042, следовательно, в данном случае для разбиения можно использовать 10 сегментов.
Разобьём подынтегральную функцию на 10 отрезков, длина каждого из которых Δx=\frac{2-1}{10}=0,1 и вычислим значение подынтегральной функции y(x)=\frac{1}{x} в середине каждого отрезка:
x_\frac{1}{2}=1,05; y_\frac{1}{2}=0,9524;
x_\frac{3}{2}=1,15; y_\frac{3}{2}=0,8696;
x_\frac{5}{2}=1,25; y_\frac{5}{2}=0,8;
x_\frac{7}{2}=1,35; y_\frac{7}{2}=0,7407;
x_\frac{9}{2}=1,45; y_\frac{9}{2}=0,6897;
x_\frac{11}{2}=1,55; y_\frac{11}{2}=0,6452;
x_\frac{13}{2}=1,65; y_\frac{13}{2}=0,6061;
x_\frac{15}{2}=1,75; y_\frac{15}{2}=0,5714;
x_\frac{17}{2}=1,85; y_\frac{17}{2}=0,5405;
x_\frac{19}{2}=1,95; y_\frac{19}{2}=0,5128;
Сумма всех вычисленных значений функции f(x) составит 6.9284, а само значение составит:
\int_1^2 \frac{dx}{x}=\frac{6,9284}{10}=0.69284 — что отвечает требуемому условию о погрешности.