Тройной интеграл, вычисление тройного интеграла

Объем тела. Представим область $V$ как некоторое тело. Если везде в области $V$ положить $f\left(x,y,z\right)\equiv 1$, то тройной интеграл дает объем тела, а именно: $V=\iiint \limits _{V}dx\cdot dy\cdot dz $. Для цилиндрических и сферических кординат этот объем можно вычислить по формулами $V=\iiint \limits _{V}\rho \cdot d\rho \cdot d\phi \cdot dz $ и $V=\iiint \limits _{V}\rho ^{2} \cdot \sin \theta \cdot d\rho \cdot d\phi \cdot d\theta $ соответственно.

Масса тела. Масса неоднородного тело распределена в замкнутой области $V$ с объемной плотностью $\rho \left(x,y,z\right)\ge 0$. При этом тройной интеграл дает массу $M\; =\; \iiint \limits _{V}\rho \left(x,y,z\right)\cdot dx\cdot dy\cdot dz $ этого тела.

Координаты центра массы тела. Масса неоднородного тела распределена в замкнутой области $V$ с объемной плотностью $\rho \left(x,y,z\right)$. Координаты $x_{c} $, $y_{c} $, $z_{c} $ центра массы тела можно вычислить по следующим формулам:

\[x_{c} \; =\; \frac{\iiint \limits _{V}x\cdot \rho \left(x,y,z\right)\cdot \; dx\cdot \; dy\cdot \; dz }{M} ,\] \[y_{c} \; =\; \frac{\iiint \limits _{V}y\cdot \rho \left(x,y,z\right)\cdot \; dx\cdot \; dy\cdot \; dz }{M} ,\] \[z_{c} \; =\; \frac{\iiint \limits _{V}z\cdot \rho \left(x,y,z\right)\cdot \; dx\cdot \; dy\cdot \; dz }{M} .\]

Величины в числителях приведенных формул называются статическими моментами относительно плоскостей $yOz$, $xOz$ и $xOy$ соответственно.

В частном случае, когда тело однородное, то есть его плотность постоянна, формулы для координат центра массы упрощаются:

\[x_{c} \; =\; \frac{\iiint \limits _{V}x\cdot dx\cdot dy\cdot dz }{V} , y_{c} \; =\; \frac{\iiint \limits _{V}y\cdot dx\cdot dy\cdot dz }{V} , z_{c} \; =\; \frac{\iiint \limits _{V}z\cdot dx\cdot dy\cdot dz }{V} . \]

Моменты инерции тела. Масса неоднородного тело распределена в замкнутой области $V$ с объемной плотностью $\rho \left(x,y,z\right)$. Формулы для моментов инерции тела $I_{x} $, $I_{y} $, $I_{z} $ относительно осей координат и момента инерции $I_{O} $ относительно начала координат имеют вид:

\[I_{x} \; =\; \iiint \limits _{V}\left(y^{2} +z^{2} \right)\; \cdot \rho \left(x,y,z\right)\cdot dx\cdot dy\cdot dz ,\] \[I_{y} \; =\; \iiint \limits _{V}\left(x^{2} +z^{2} \right)\; \cdot \rho \left(x,y,z\right)\cdot dx\cdot dy\cdot dz ,\] \[I_{z} \; =\; \iiint \limits _{V}\left(x^{2} +y^{2} \right)\; \cdot \rho \left(x,y,z\right)\cdot dx\cdot dy\cdot dz ,\] \[I_{O} \; =\; \iiint \limits _{V}\left(x^{2} +y^{2} +z^{2} \right)\; \cdot \rho \left(x,y,z\right)\cdot dx\cdot dy\cdot dz .\]

Вычисление тройного интеграла

С целью вычисления тройного интеграла осуществляют его приведение к повторному. Вследствие этого результат удается получить путем последовательного вычисления трех обычных определенных интегралов.

Предположим, что область $V$ является правильной в направлении оси $Oz$. Это значит, что любая прямая, проведенная через внутреннюю точку области параллельно оси $Oz$, пересекает поверхность $S$, ограничивающую область $V$, в двух точках. Кроме того, вся область $V$ должна проецироваться на плоскость $xOy$ в правильную область $D$.

Пусть правильная область $V$ снизу и сверху ограничена поверхностями $z=z_{1} \left(x,y\right)$ и $z=z_{2} \left(x,y\right)$. По бокам область $V$ ограничена цилиндрической поверхностью $P$, образующая которой параллельная оси $Oz$. Область $V$ проецируется на плоскость $xOy$ в область $D$. Граница $L$ области $D$ является направляющой цилиндрической поверхности $P$.

Предположим также, что область $D$ является правильной в направлении оси $Oy$. Пусть она ограничена непрерывными кривыми $y=\vartheta _{1} \left(x\right)$ и $y=\vartheta _{2} \left(x\right)$, а также прямыми линиями $x=a$ и $x=b$, причем $\vartheta _{1} \left(x\right)

Тогда справедливая следующая формула:

Можно построить тройной интеграл и с другим порядком интегрирования, если это позволяют свойства области $V$.

Замена переменных в тройном интеграле осуществляется следующим образом.

Пусть при вычислении тройного интеграла оказалось целесообразным перейти к новым переменным $u$, $v$ и $w$ с помощью формул $x=\vartheta \left(u,v,w\right)$, $y=\psi \left(u,v,w\right)$ и $z=\chi \left(u,v,w\right)$. Пусть этими функциями устанавливается взаимно однозначное соответствие между точками заданной области $V$ в прямоугольных координатах $x$, $y$, $z$ и точками некоторой области $V^{*} $ в криволинейных кооодинатах $u$, $v$, $w$. В этих условиях формула общей замены переменных в тройном интеграле приобретает вид:

\[\iiint \limits _{V}f\left(x,y,z\right)\cdot dx\cdot dy\cdot dz =\] \[=\iiint \limits _{V^{*} }f\left(\vartheta \left(u,v,w\right),\psi \left(u,v,w\right),\chi \left(u,v,w\right)\right)\cdot \left|J\left(u,v,w\right)\right|\cdot du\cdot dv\cdot dw .\]

В этой формуле $J\left(u,v,w\right)=\left|\begin{array}{ccc} {{\partial \vartheta \mathord{\left/ {\vphantom {\partial \vartheta \partial u}} \right. } \partial u} } & {{\partial \vartheta \mathord{\left/ {\vphantom {\partial \vartheta \partial v}} \right. } \partial v} } & {{\partial \vartheta \mathord{\left/ {\vphantom {\partial \vartheta \partial w}} \right. } \partial w} } \\ {{\partial \psi \mathord{\left/ {\vphantom {\partial \psi \partial u}} \right. } \partial u} } & {{\partial \psi \mathord{\left/ {\vphantom {\partial \psi \partial v}} \right. } \partial v} } & {{\partial \psi \mathord{\left/ {\vphantom {\partial \psi \partial w}} \right. } \partial w} } \\ {{\partial \chi \mathord{\left/ {\vphantom {\partial \chi \partial u}} \right. } \partial u} } & {{\partial \chi \mathord{\left/ {\vphantom {\partial \chi \partial v}} \right. } \partial v} } & {{\partial \chi \mathord{\left/ {\vphantom {\partial \chi \partial w}} \right.} \partial w} } \end{array}\right|$ -- якобиан третьего порядка.

Переходы от прямоугольных координат к цилиндрическим и сферическим в тройном интеграле являются частными случаями общей замены переменных.

В случае цилиндрических координат имеем $x=\rho \cdot \cos \phi $, $y=\rho \cdot \sin \phi $, $z=z$. Согласуем обозначения: $u=\rho $, $v=\phi $ , $w=z$.

Итак, $x=\vartheta \left(\rho ,\phi ,z\right)=\rho \cdot \cos \phi $, $y=\psi \left(\rho ,\phi ,z\right)=\rho \cdot \sin \phi $, $z=\chi \left(\rho ,\phi ,z\right)=z$.

Якобиан преобразования прямоугольных координат $x$, $y$, $z$ в цилиндрические координаты $\rho $, $\phi $, $z$ приобретает следующий вид:

\[J\left(\rho ,\phi ,z\right)=\left|\begin{array}{ccc} {\cos \phi } & {-\rho \cdot \sin \phi } & {0} \\ {\sin \phi } & {\rho \cdot \cos \phi } & {0} \\ {0} & {0} & {1} \end{array}\right|=\] \[=\left|\begin{array}{cc} {\cos \phi } & {-\rho \cdot \sin \phi } \\ {\sin \phi } & {\rho \cdot \cos \phi } \end{array}\right|=\rho \cdot \cos ^{2} \phi +\rho \cdot \sin ^{2} \phi =\rho .\]

В случае сферических координат имеем $x=\rho \cdot \sin \theta \cdot \cos \phi $, $y=\rho \cdot \sin \theta \cdot \sin \phi $, $z=\rho \cdot \cos \theta $. Согласуем обозначения: $u=\rho $, $v=\phi $ , $w=\theta $.

Итак, $x=\vartheta \left(\rho ,\phi ,\theta \right)=\rho \cdot \sin \theta \cdot \cos \phi $, $y=\psi \left(\rho ,\phi ,\theta \right)=\rho \cdot \sin \theta \cdot \sin \phi $, $z=\chi \left(\rho ,\phi ,z\right)=\rho \cdot \cos \theta $.

Якобиан преобразования прямоугольных координат $x$, $y$, $z$ в сферические координаты $\rho $, $\phi $, $\theta $ приобретает следующий вид:

\[J\left(\rho ,\phi ,\theta \right)=\left|\begin{array}{ccc} {\sin \theta \cdot \cos \phi } & {-\rho \cdot \sin \theta \cdot \sin \phi } & {\rho \cdot \cos \theta \cdot \cos \phi } \\ {\sin \theta \cdot \sin \phi } & {\rho \cdot \sin \theta \cdot \cos \phi } & {\rho \cdot \cos \theta \cdot \sin \phi } \\ {\cos \theta } & {0} & {-\rho \cdot \sin \theta } \end{array}\right|=\] \[=\cos \theta \cdot \left|\begin{array}{cc} {-\rho \cdot \sin \theta \cdot \sin \phi } & {\rho \cdot \cos \theta \cdot \cos \phi } \\ {\rho \cdot \sin \theta \cdot \cos \phi } & {\rho \cdot \cos \theta \cdot \sin \phi } \end{array}\right|-\] \[-\rho \cdot \sin \theta \cdot \left|\begin{array}{cc} {\sin \theta \cdot \cos \phi } & {-\rho \cdot \sin \theta \cdot \sin \phi } \\ {\sin \theta \cdot \sin \phi } & {\rho \cdot \sin \theta \cdot \cos \phi } \end{array}\right|=-\rho ^{2} \cdot \sin \theta .\]