Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Разложение многочлена на множители

Рассмотрим основные определения и теоремы о многочленах.

Определение 1

Функция

f(x)=A0xn+A1xn1+...+An,

где nZ, называется многочленом, число n -- степень многочлена. Коэффициенты A0,A1,...,Anпри переменных являются действительными или комплексными числами.

Определение 2

Корень многочлена -- это значение переменной x, при котором заданный многочлен обращается в ноль.

Теорема 1

При делении многочлена f(x) на xa получается остаток, который равен f(a).

Следствие 1

Если a есть корень заданного многочлена, т.е. f(a)=0, то заданный многочлен представляется в виде следующего произведения

f(x)=(xa)f1(x),

где f1(x) -- многочлен.

Теорема 2

Любая целая рациональная функция f(x) имеет хотя бы один корень, вещественный (действительный) или комплексный.

Теорема 3

Любой многочлен степени n может быть представлен как разложение многочлена на n линейных сомножителей вида xa и множитель, который равен коэффициенту при xn:

f(x)=A0(xa1)(xa2)...(xan),

где a1,a2,...,an -- корни многочлена.

Пример 1

Записать разложение заданного многочлена f(x)=x36x2+11x6 на множители.

«Разложение многочлена на множители» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Помощь с рефератом от нейросети
Написать ИИ

Решение:

При x=1 получаем f(1)=0. Следовательно, исходный многочлен делится на x1 без остатка. После деления получаем разложение многочлена следующего вида:

x36x2+11x6=(x1)(x25x+6).

Найдем корни второго сомножителя, который является квадратным многочленом:

x25x+6=0
D=(5)2416=2524=1
x1=512=2,x2=5+12=3

Получим разложение многочлена:

x36x2+11x6=(x1)(x2)(x3).
Теорема 4

Если заданный многочлен тождественно равен нулю, то все коэффициенты этого многочлена равны нулю.

Теорема 5

Если два заданных многочлена тождественно равны друг другу, то коэффициенты одного из этих многочленов равны соответствующим коэффициентам другого.

Пример 2

Определить коэффициенты многочлена ax3+bx2+cx+d тождественно равного многочлену 2x2+3x.

Решение:

На основании теоремы 5 получаем, что a=0,b=2,c=3,d=0.

Если в разложении многочлена степени n на линейные множители

f(x)=A0(xa1)(xa2)...(xan), (*)

некоторые линейные сомножители оказываются одинаковыми, то данные множители можно объединить, и тогда разложение данного многочлена на множители будет иметь следующий вид:

f(x)=A0(xa1)k1(xa2)k2...(xan)km (k1+k2+...+km=n).

В формуле (*) корни многочлена a1,a2,...,an могут быть не только вещественными, но и комплексными числами.

Пример 3

Записать разложение на множители многочлена, имеющего корень x=1 кратности 2, корень x=3 кратности 3.

Решение:

Искомое разложение запишется следующим образом:

f(x)=(x1)2(x+3)3.
Определение 2

Многочленом n-ой степени называется функция

Pn(z)=anzn+an1zn1+an2zn2+...+a1z+a0,

где коэффициенты a0,a1,a2,...,an1,an -- постоянные комплексные числа, an0, zZ -- комплексная переменная. Число z0, при котором многочлен принимает нулевое значение (Pn(z0)=0), называется корнем многочлена.

Теорема 6

Любой многочлен, степень которого n1, имеет комплексный корень.

Пример 4

Найти корни заданного многочлена P(z)=z2+2z+2 и разложить на множители.

Решение:

z2+2z+2=0
D=22412=48=4
z1=242=2212=22i2=1i,z2=2+42=2+212=2+2i2=1+i

z1=1i,z2=1+i - комплексные корни многочлена

Искомое разложение запишется следующим образом:

P(z)=z2+2z+2=(z(1i))(z(1+i)).

Многочлен Pn(z) комплексной переменной z с действительными коэффициентами a0,a1,a2,...,an1,an обладает следующими свойствами:

  • Если ˉz - число, комплексно-сопряженное для числа z, то имеет место равенство Pn(ˉz)=_____Pn(z).
  • Если некоторое число z1=a+bi является корнем заданного многочлена Pn(z), то число z2=ˉz1=abi тоже является корнем заданного многочлена.
  • Если некоторое число z1=a+bi является корнем заданного многочлена с действительными коэффициентами Pn(z), то Pn(z) без остатка делится на квадратный трехчлен z2+pz+q, где p=2a,q=a2+b2.
  • Если некоторое число z1=a+bi является корнем заданного многочлена Pn(z) кратности k, то число z2=ˉz1=abi так же является корнем данного многочлена и той же кратности. В разложение заданного многочлена на множители наряду с линейными множителями x(a+bi) входит столько же линейных множителей x(abi).
Пример 5

Найти комплексные корни заданного многочлена P(z)=z2+2z+5, используя свойства многочленов.

Решение:

z2+2z+5=0
D=22415=420=16

z1=2162=2412=24i2=12i - комплексный корень многочлена.

Следовательно, на основании свойств число z2=1+2i является корнем заданного многочлена.

Пример 6

Проверить выполнимость свойства Pn(ˉz)=_____Pn(z) для многочлена P(z)=z2+2z+5 и комплексного числа z=1+i.

Решение:

P2(z)=P(1+i)=(1+i)2+2(1+i)+5=1+2i+i2+2+2i+5=7+4i
P2(¯z)=P(1i)=(1i)2+2(1i)+5=12i+i2+22i+5=74i
¯P2(z)=74i

Следовательно, равенство P2(ˉz)=_____P2(z) является верным.

Примечание

Для многочленов определены следующие операции: сложение, вычитание, умножение. Операция деления многочленов определена не для любых двух многочленов, однако, как и для целых чисел, имеется возможность выполнить деление с остатком.

Пример 7

Вычислить сумму и разность двух многочленов:

f1(z)=(1+i)z3+3z2+(1i)z+5 и f2(z)=(13i)z3+2z2+(1+2i)z+1.

Решение:

f1(z)+f2(z)=((1+i)z3+3z2+(1i)z+5)+((13i)z3+2z2+(1+2i)z+1)==(1+i+13i)z3+(3+2)z2+(1i+1+2i)z+(5+1)=(22i)z3+5z2+(2+i)z+6
f1(z)f2(z)=((1+i)z3+3z2+(1i)z+5)((13i)z3+2z2+(1+2i)z+1)==(1+i1+3i)z3+(32)z2+(1i12i)z+(51)=4iz3+z2+(3i)z+4
Дата последнего обновления статьи: 13.11.2024
Получи помощь с рефератом от ИИ-шки
ИИ ответит за 2 минуты
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Разложение многочлена на множители"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant