Рассмотрим основные определения и теоремы о многочленах.
где $n\in Z$, называется многочленом, число $n$ -- степень многочлена. Коэффициенты $A_{0} ,A_{1} ,...,A_{n} $при переменных являются действительными или комплексными числами.
Корень многочлена -- это значение переменной $x$, при котором заданный многочлен обращается в ноль.
При делении многочлена $f(x)$ на $x-a$ получается остаток, который равен $f(a)$.
Если $a$ есть корень заданного многочлена, т.е. $f(a)=0$, то заданный многочлен представляется в виде следующего произведения
где $f_{1} (x)$ -- многочлен.
Любая целая рациональная функция $f(x)$ имеет хотя бы один корень, вещественный (действительный) или комплексный.
Любой многочлен степени $n$ может быть представлен как разложение многочлена на $n$ линейных сомножителей вида $x-a$ и множитель, который равен коэффициенту при $x^{n} $:
где $a_{1} ,a_{2} ,...,a_{n} $ -- корни многочлена.
Записать разложение заданного многочлена $f(x)=x^{3} -6x^{2} +11x-6$ на множители.
Решение:
При $x=1$ получаем $f(1)=0$. Следовательно, исходный многочлен делится на $x-1$ без остатка. После деления получаем разложение многочлена следующего вида:
Найдем корни второго сомножителя, который является квадратным многочленом:
Получим разложение многочлена:
Если заданный многочлен тождественно равен нулю, то все коэффициенты этого многочлена равны нулю.
Если два заданных многочлена тождественно равны друг другу, то коэффициенты одного из этих многочленов равны соответствующим коэффициентам другого.
Определить коэффициенты многочлена $ax^{3} +bx^{2} +cx+d$ тождественно равного многочлену $2x^{2} +3x$.
Решение:
На основании теоремы 5 получаем, что $a=0,\, \, b=2,\, \, c=3,\, \, d=0$.
Если в разложении многочлена степени $n$ на линейные множители
$f(x)=A_{0} \cdot (x-a_{1} )\cdot (x-a_{2} )\cdot ...\cdot (x-a_{n} )$, (*)
некоторые линейные сомножители оказываются одинаковыми, то данные множители можно объединить, и тогда разложение данного многочлена на множители будет иметь следующий вид:
$f(x)=A_{0} \cdot (x-a_{1} )^{k_{1} } \cdot (x-a_{2} )^{k_{2} } \cdot ...\cdot (x-a_{n} )^{k_{m} } $ ($k_{1} +k_{2} +...+k_{m} =n$).
В формуле (*) корни многочлена $a_{1} ,a_{2} ,...,a_{n} $ могут быть не только вещественными, но и комплексными числами.
Записать разложение на множители многочлена, имеющего корень $x=1$ кратности 2, корень $x=-3$ кратности 3.
Решение:
Искомое разложение запишется следующим образом:
Многочленом $n$-ой степени называется функция
где коэффициенты $a_{0} ,a_{1} ,a_{2} ,...,a_{n-1} ,a_{n} $ -- постоянные комплексные числа, $a_{n} \ne 0$, $z\in Z$ -- комплексная переменная. Число $z_{0} $, при котором многочлен принимает нулевое значение ($P_{n} (z_{0} )=0$), называется корнем многочлена.
Любой многочлен, степень которого $n\ge 1$, имеет комплексный корень.
Найти корни заданного многочлена $P(z)=z^{2} +2z+2$ и разложить на множители.
Решение:
$z_{1} =-1-i,z_{2} =-1+i$ - комплексные корни многочлена
Искомое разложение запишется следующим образом:
Многочлен $P_{n} (z)$ комплексной переменной $z$ с действительными коэффициентами $a_{0} ,a_{1} ,a_{2} ,...,a_{n-1} ,a_{n} $ обладает следующими свойствами:
- Если $\bar{z}$ - число, комплексно-сопряженное для числа $z$, то имеет место равенство $P_{n} (\bar{z})=\mathop{P_{n} (z)}\limits^{\_ \_ \_ \_ \_ } $.
- Если некоторое число $z_{1} =a+b\cdot i$ является корнем заданного многочлена $P_{n} (z)$, то число $z_{2} =\bar{z}_{1} =a-b\cdot i$ тоже является корнем заданного многочлена.
- Если некоторое число $z_{1} =a+b\cdot i$ является корнем заданного многочлена с действительными коэффициентами $P_{n} (z)$, то $P_{n} (z)$ без остатка делится на квадратный трехчлен $z^{2} +pz+q$, где $p=-2a,\; q=a^{2} +b^{2} $.
- Если некоторое число $z_{1} =a+b\cdot i$ является корнем заданного многочлена $P_{n} (z)$ кратности $k$, то число $z_{2} =\bar{z}_{1} =a-b\cdot i$ так же является корнем данного многочлена и той же кратности. В разложение заданного многочлена на множители наряду с линейными множителями $x-(a+bi)$ входит столько же линейных множителей $x-(a-bi)$.
Найти комплексные корни заданного многочлена $P(z)=z^{2} +2z+5$, используя свойства многочленов.
Решение:
$z_{1} =\frac{-2-\sqrt{-16} }{2} =\frac{-2-4\sqrt{-1} }{2} =\frac{-2-4i}{2} =-1-2i$ - комплексный корень многочлена.
Следовательно, на основании свойств число $z_{2} =-1+2i$ является корнем заданного многочлена.
Проверить выполнимость свойства $P_{n} (\bar{z})=\mathop{P_{n} (z)}\limits^{\_ \_ \_ \_ \_ } $ для многочлена $P(z)=z^{2} +2z+5$ и комплексного числа $z=1+i$.
Решение:
Следовательно, равенство $P_{2} (\bar{z})=\mathop{P_{2} (z)}\limits^{\_ \_ \_ \_ \_ } $ является верным.
Вычислить сумму и разность двух многочленов:
$f_{1} (z)=(1+i)z^{3} +3z^{2} +(1-i)\cdot z+5$ и $f_{2} (z)=(1-3i)\cdot z^{3} +2z^{2} +(1+2i)\cdot z+1$.
Решение:
