Processing math: 100%
Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Показательная форма комплексного числа

Определение 1

Выражение вида z=a+bi , где a и b - вещественные числа, а i - «мнимая единица», называется комплексным числом z. Мнимая единица определяется равенством i=1 или i2=1.

Определение 2

Запись некоторого комплексного числа z в виде z=r(cosφ+isinφ) называется тригонометрической формой записи, при этом число r - модуль данного комплексного числа z, φ - аргумент данного комплексного числа z.

Модуль некоторого комплексного числа вычисляется по следующей формуле:

r=|z|=|a+bi|= sqrta2+b2

Аргумент φ некоторого комплексного числа z=a+bi можно вычислить, используя следующие формулы:

φ=tgba;cosφ=aa2+b2;sinφ=ba2+b2

На практике для вычисления значения аргумента заданного комплексного числа z=a+bi обычно пользуются формулой:

$$ \varphi = arg z = \begin{equation*} \begin{cases} arctg \frac {b}{a}, a \ge 0, (*) \\ arctg \frac{b} {a} + \pi, a или решают систему уравнений {cosφ=aa2+b2,()sinφ=ba2+b2

Рассмотрим комплексное число в тригонометрической форме

z=r(cosφ+isinφ)

Используя формулу Эйлера, получим:

cosφ+isinφ=eiφ

Подставим полученное значение в тригонометрическую запись некоторого комплексного числа и получим:

z=reiφ
Определение 3

Запись комплексного числа z в виде z=reiφ называется показательной формой записи, где число r - модуль комплексного числа z, φ - аргумент комплексного числа z.

Комплексное число, представленное в показательной форме, так же как и число в тригонометрической форме, легко изображается на комплексной плоскости с помощью аргумента и модуля заданного числа. При этом угол отсчитывается от положительного направления оси Ox по/против часовой стрелки (в зависимости от знака аргумента) и от начала координат на полученном луче откладывается отрезок длины равной модулю комплексного числа (рис.1).

Комплексное число в показательной форме

Рис. 1.

Пример 1

Представить в показательной форме заданные комплексные числа, для которых:

1) r=0,φ=5π; 2) r=10,φ=π2 ; 3) r=2,φ=π3; 4)r=3,φ=0.
«Показательная форма комплексного числа» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Найти

Решение:

Показательная форма записи некоторого комплексного числа имеет вид z=reiφ.

Для r=0,φ=5π получаем комплексное число z=0ei5π.

Для r=10,φ=π2 получаем комплексное число z=10ei(π3).

Для r=2,φ=π3 получаем комплексное число z=3ei0.

Для получаем комплексное число z=3ei0 .

Алгоритм 1

Чтобы комплексное число z, записанное в тригонометрической форме, привести к показательной форме записи, необходимо выполнить следующее:

  • определить из тригонометрической записи числа значения модуля и аргумента;
  • подставить полученные значения в выражение z=reiφ.
Пример 2

Представить заданные комплексные числа в показательной форме: 1) z=3(cosπ3+isinπ3; 2)z=6(cosπ+isinπ).

Решение:

Показательная форма записи некоторого комплексного числа имеет вид z=reiφ.

1) Определим значения модуля и аргумента: r=3,φ=π3.

Запись числа в показательной форме имеет вид: z=3eπ3i.

2) Определим значения модуля и аргумента: r=6;φ=π.

Запись числа в показательной форме имеет вид: z=6eπi.

Определение 4

Запись некоторого комплексного числа z в виде z=a+bi называется алгебраической формой записи (или алгебраической записью) комплексного числа. При этом:

  • a - вещественная (действительная) часть, обозначение Re z=a;
  • b - мнимая часть, обозначение Im z=b.
Алгоритм 1

Чтобы комплексное число z, записанное в алгебраической форме, привести к тригонометрической форме записи, необходимо выполнить следующее:

  • вычислить модуль и аргумент;
  • подставить полученные значения в выражение z=reiφ.
Пример 3

Представить заданные комплексные числа в показательной форме:

1) z=2+0i; 2) z=12+12i.

Решение:

Показательная форма записи некоторого комплексного числа имеет вид z=reiφ.

1) По условию a=2,b=0.

Вычислим модуль исходного комплексного числа:

r= sqrt22+02=2

Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):

φ=argz=zrctg02=arctg0=0

Подставим полученные значения и получим:

z=2ei0

Следовательно, z=2ei0 - искомая запись комплексного числа.

2) По условию a=12,b=12.

Вычислим модуль исходного комплексного числа:

r=122+122=14+14=12=22

Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):

φ=argz=arctg1/21/2=arctgl=π4

Подставим полученные значения и получим:

z=22eiπ4

Следовательно, z=22eiπ4 - искомая запись комплексного числа.

Вывод

Таким образом, можно сделать вывод о том, что в каком бы виде не было записано комплексное число z , его всегда можно представить в показательной форме записи z=reiφ.

Дата последнего обновления статьи: 12.11.2024
Получи помощь с рефератом от ИИ-шки
ИИ ответит за 2 минуты
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Показательная форма комплексного числа"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant