Выражение вида z=a+bi , где a и b - вещественные числа, а i - «мнимая единица», называется комплексным числом z. Мнимая единица определяется равенством i=√−1 или i2=−1.
Запись некоторого комплексного числа z в виде z=r⋅(cosφ+isinφ) называется тригонометрической формой записи, при этом число r - модуль данного комплексного числа z, φ - аргумент данного комплексного числа z.
Модуль некоторого комплексного числа вычисляется по следующей формуле:
r=|z|=|a+bi|= sqrta2+b2Аргумент φ некоторого комплексного числа z=a+bi можно вычислить, используя следующие формулы:
φ=tgba;cosφ=a√a2+b2;sinφ=b√a2+b2На практике для вычисления значения аргумента заданного комплексного числа z=a+bi обычно пользуются формулой:
$$ \varphi = arg z = \begin{equation*} \begin{cases} arctg \frac {b}{a}, a \ge 0, (*) \\ arctg \frac{b} {a} + \pi, a или решают систему уравнений {cosφ=a√a2+b2,(∗∗)sinφ=b√a2+b2Рассмотрим комплексное число в тригонометрической форме
z=r⋅(cosφ+isinφ)Используя формулу Эйлера, получим:
cosφ+isinφ=eiφПодставим полученное значение в тригонометрическую запись некоторого комплексного числа и получим:
z=r⋅eiφЗапись комплексного числа z в виде z=r⋅eiφ называется показательной формой записи, где число r - модуль комплексного числа z, φ - аргумент комплексного числа z.
Комплексное число, представленное в показательной форме, так же как и число в тригонометрической форме, легко изображается на комплексной плоскости с помощью аргумента и модуля заданного числа. При этом угол отсчитывается от положительного направления оси Ox по/против часовой стрелки (в зависимости от знака аргумента) и от начала координат на полученном луче откладывается отрезок длины равной модулю комплексного числа (рис.1).
Рис. 1.
Представить в показательной форме заданные комплексные числа, для которых:
1) r=0,φ=5π; 2) r=10,φ=π2 ; 3) r=√2,φ=−π3; 4)r=3,φ=0.Решение:
Показательная форма записи некоторого комплексного числа имеет вид z=r⋅eiφ.
Для r=0,φ=5π получаем комплексное число z=0⋅ei⋅5π.
Для r=10,φ=π2 получаем комплексное число z=10⋅ei(−π3).
Для r=√2,φ=−π3 получаем комплексное число z=3⋅ei⋅0.
Для получаем комплексное число z=3⋅ei⋅0 .
Чтобы комплексное число z, записанное в тригонометрической форме, привести к показательной форме записи, необходимо выполнить следующее:
- определить из тригонометрической записи числа значения модуля и аргумента;
- подставить полученные значения в выражение z=r⋅eiφ.
Представить заданные комплексные числа в показательной форме: 1) z=3⋅(cosπ3+isinπ3; 2)z=6⋅(cosπ+isinπ).
Решение:
Показательная форма записи некоторого комплексного числа имеет вид z=r⋅eiφ.
1) Определим значения модуля и аргумента: r=3,φ=π3.
Запись числа в показательной форме имеет вид: z=3⋅eπ3i.
2) Определим значения модуля и аргумента: r=6;φ=π.
Запись числа в показательной форме имеет вид: z=6⋅eπ⋅i.
Запись некоторого комплексного числа z в виде z=a+bi называется алгебраической формой записи (или алгебраической записью) комплексного числа. При этом:
- a - вещественная (действительная) часть, обозначение Re z=a;
- b - мнимая часть, обозначение Im z=b.
Чтобы комплексное число z, записанное в алгебраической форме, привести к тригонометрической форме записи, необходимо выполнить следующее:
- вычислить модуль и аргумент;
- подставить полученные значения в выражение z=r⋅eiφ.
Представить заданные комплексные числа в показательной форме:
1) z=2+0⋅i; 2) z=12+12⋅i.Решение:
Показательная форма записи некоторого комплексного числа имеет вид z=r⋅eiφ.
1) По условию a=2,b=0.
Вычислим модуль исходного комплексного числа:
r= sqrt22+02=2
Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):
φ=argz=zrctg02=arctg0=0Подставим полученные значения и получим:
z=2⋅ei⋅0Следовательно, z=2⋅ei⋅0 - искомая запись комплексного числа.
2) По условию a=12,b=12.
Вычислим модуль исходного комплексного числа:
r=√122+122=√14+14=√12=√22Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):
φ=argz=arctg1/21/2=arctgl=π4Подставим полученные значения и получим:
z=√22⋅eiπ4Следовательно, z=√22⋅eiπ4 - искомая запись комплексного числа.
Таким образом, можно сделать вывод о том, что в каком бы виде не было записано комплексное число z , его всегда можно представить в показательной форме записи z=r⋅eiφ.