Формула Эйлера для комплексных чисел

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Формула Эйлера названа именем известного математика Л. Эйлера, который ввел данную формулу. Формула Эйлера позволяет связать комплексную экспоненту (показательную функцию) с тригонометрическими функциями.

Формула Эйлера утверждает, что для любого вещественного (действительного) и комплексного числа $x$ выполняется следующее равенство:

$e^{ix} =\cos x+i\cdot \sin x,$

где $e$ -- экспонента, $i$ -- мнимая единица.

Экспонента определяется следующей формулой:

$e=\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \left(1+\frac{1}{x} \right)^{x} .$

Для некоторого комплексного числа $z=x+yi$ выполняется:

$e^{z} =e^{x+yi} =e^{x} \cdot e^{iy} .$

В случае, когда $z$ является вещественным числом $(Imz=0)$ , получаем

$e^{z} =e^{x+0i} =e^{x} \cdot e^{0} =e^{x} .$

Если $z$ является чисто мнимым числом $(Rez=0)$ , получаем:

$e^{z} =e^{0+yi} =e^{0} \cdot e^{iy} =e^{iy} .$

Далее используя формулу Эйлера, получаем следующее:

$e^{z} =e^{x+yi} =e^{x} \cdot e^{iy} =e^{x} \cdot (\cos y+i\cdot \sin y).$

Рассмотрим некоторое комплексное число $z$ , записанное в тригонометрической форме $z=r(\cos \varphi +i\cdot \sin \varphi )$ , где $r=|z|=\sqrt{x^{2} +y^{2} }$ является модулем этого комплексного числа. С помощью формулы Эйлера, получаем

$z=r\cdot (\cos \varphi +i\cdot \sin \varphi )=r\cdot e^{i\cdot \varphi } .$

С помощью формулы Эйлера появляется возможность определить функции $\sin$ и $\cos$ следующими формулами:

$\sin x=\frac{e^{ix} -e^{-ix} }{2i}$

$\cos x=\frac{e^{ix} +e^{-ix} }{2}$

Введем понятие тригонометрических функций от комплексной переменной. Для $x=iy$ получаем следующие формулы:

$\sin iy=\frac{e^{-y} -e^{y} }{2i} =i\cdot shy$

$\cos iy=\frac{e^{-y} +e^{y} }{2} =chy$

Известное тождество Эйлера, которое связывает пять фундаментальных математических констант:

$e^{i\pi } +1=0$

является частным случаем формулы Эйлера при значении переменной $x=\pi$ .

Благодаря формуле Эйлера появились тригонометрическая и показательная формы представления комплексного числа.

$z=a+bi=|z|\cdot (\cos \varphi +i\cdot \sin \varphi )=r\cdot (\cos \varphi +i\cdot \sin \varphi ).$

Определение 1

Представление некоторого комплексного числа $z$ в виде $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )$ называется тригонометрической формой записи, где число $r$ является модулем комплексного числа $z$ , который определяется по формуле $r=|z|=|a+bi|=\sqrt{a^{2} +b^{2} }$ , $\varphi$ является аргументом комплексного числа $z$ , который определяется по формуле $\varphi =arctg\frac{b}{a}$ .

Рассмотрим комплексное число, представленное в тригонометрической форме

$z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi ).$

С помощью формулы Эйлера, получим:

$\cos \varphi +i\sin \varphi =e^{i\varphi } .$

Подставим полученное значение в тригонометрическую запись некоторого комплексного числа и получим:

$z=r\cdot e^{i\varphi } .$

Определение 2

Представление некоторого комплексного числа $z$ в виде $z=r\cdot e^{i\varphi }$ называется показательной формой записи, где число $r$ является модулем комплексного числа $z$ , который определяется по формуле $r=|z|=|a+bi|=\sqrt{a^{2} +b^{2} }$ , $\varphi$ является аргументом комплексного числа $z$ , который определяется по формуле $\varphi =arctg\frac{b}{a}$ .

«Формула Эйлера для комплексных чисел» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Помощь с рефератом от нейросети

Написать ИИ

Значительным следствием из формулы Эйлера считаются формулы возведения некоторого комплексного числа в степень с произвольным показателем:

$z=r\cdot e^{i\cdot \varphi } , z^{n} =r^{n} \cdot e^{n\cdot i\cdot \varphi } .$

Геометрический смысл последней формулы таков: при возведении некоторого числа $z$ в заданную степень $n$ его модуль (расстояние до центра) возводится в заданную степень $n$ , а аргумент (угол поворота относительно оси $OX$ ) увеличивается соответственно в $n$ раз (рис. 1).

Геометрический смысл формулы

Рис. 1.

Формула возведения в степень заданного комплексного числа верна не только для целых $n$ , но и для действительных чисел. В частности, комплексная форма представления числа позволяет найти корни любой степени из произвольного комплексного числа.

Пример 1

Представить заданные комплексные числа в показательной форме:

1) $z=2+0\cdot i$ ; 2) $z=\frac{3}{2} +\frac{3}{2} \cdot i$ .

Решение:

Показательная форма представления некоторого комплексного числа имеет следующий вид $z=r\cdot e^{i\varphi }$ .

1) По условию $a=2,b=0$ .

Вычислим модуль исходного комплексного числа:

$r=\sqrt{2^{2} +0^{2} } =2$

Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):

$\varphi =\arg z=arctg\frac{0}{2} =arctg0=0.$

Подставим полученные значения и получим:

$z=2\cdot e^{i\cdot 0} .$

Следовательно, $z=2\cdot e^{i\cdot 0}$ - искомое представление комплексного числа.

2) По условию $a=\frac{3}{2} ,b=\frac{3}{2}$ .

Вычислим модуль исходного комплексного числа:

$r=\sqrt{\left(\frac{3}{2} \right)^{2} +\left(\frac{3}{2} \right)^{2} } =\sqrt{\frac{9}{4} +\frac{9}{4} } =\sqrt{\frac{18}{4} } =\frac{3\sqrt{2} }{2}$

Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):

$\varphi =\arg z=arctg\frac{3/2}{3/2} =arctg1=\frac{\pi }{4} .$

Подставим полученные значения и получим:

$z=\frac{3\sqrt{2} }{2} \cdot e^{i\cdot \frac{\pi }{4} } .$

Следовательно, $z=\frac{3\sqrt{2} }{2} \cdot e^{i\cdot \frac{\pi }{4} }$ - искомое представление комплексного числа.

Пример 2

Представить заданные комплексные числа в показательной форме:

1) $z=\sqrt{3} \cdot (\cos \frac{\pi }{6} +i\sin \frac{\pi }{6} )$ ; 2) $z=5\cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi )$ .

Решение:

Показательная форма представления некоторого комплексного числа имеет следующий вид $z=r\cdot e^{i\varphi }$ .

1) Определим значения модуля и аргумента: $r=\sqrt{3} ,\, \, \varphi =\frac{\pi }{6}$ .

Представление числа в показательной форме имеет следующий вид: $z=\sqrt{3} \cdot e^{\frac{\pi }{6} \cdot i}$ .

2) Определим значения модуля и аргумента: $r=5,\, \, \varphi =2\pi$ .

Представление числа в показательной форме имеет следующий вид: $z=5\cdot e^{2\pi \cdot i}$ .

Пример 3

Представить заданные комплексные числа в алгебраической форме:

1) $z=3\cdot e^{\frac{\pi }{3} \cdot i}$ ; 2) $z=6\cdot e^{\pi \cdot i}$ .

Решение:

Алгебраическая форма представления некоторого комплексного числа имеет следующий вид $z=a+bi$ .

1) Запись числа в тригонометрической форме имеет следующий вид: $z=3\cdot (\cos \frac{\pi }{3} +i\sin \frac{\pi }{3} )$ .

По таблице косинусов и синусов $\cos \frac{\pi }{3} =\frac{1}{2} ;\sin \frac{\pi }{3} =\frac{\sqrt{3} }{2}$ .

Подставим значения и выполним преобразования и вычисления:

$z=3\cdot \left(\frac{1}{2} +i\frac{\sqrt{3} }{2} \right)=\frac{3}{2} +\frac{3\sqrt{3} }{2} \cdot i.$

Следовательно, $z=\frac{3}{2} +\frac{3\sqrt{3} }{2} \cdot i$ - искомая запись комплексного числа.

2) Запись числа в тригонометрической форме представления имеет следующий вид: $z=6\cdot (\cos \pi +i\sin \pi )$ .

По таблице косинусов и синусов $\cos \pi =-1;\sin \pi =0$ .

Подставим значения и выполним преобразования и вычисления:

$z=3\cdot \left(-1+0\cdot i\right)=-1+0\cdot i.$

Следовательно, $z=-1+0\cdot i$ - искомое представление комплексного числа.

Дата последнего обновления статьи: 13.11.2024

Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot