Предположим, что существует определенный комплекс условий, который можно воспроизводить сколько угодно раз. Каждое однократное воспроизведение этого комплекса условий называется проведением испытания. Проведение испытания имеет определенный результат, который называется событием. События обозначают прописными буквами латинского алфавита $A$, $B$, ... .
Проводим испытание с однократным подбрасыванием монеты. Комплекс условий включает наличие настоящей монеты, возможность беспрепятственно подбросить ее, а также беспрепятственное ее падение одной из двух сторон на ровную поверхность. Результатом испытания является падения монеты определенной стороной. Предположим, что нас интересует событие $A$, которое заключается в том, что монета падает гербом. Вследствие испытания монета может упасть или гербом, или наоборот, то есть указанное событие может состояться или не состояться.
Достоверное событие $V$. Это то, которое обязательно наступает вследствие испытания. Например, если урна содержит только белые шары, то извлечение из урны белого шара является достоверным событием.
Невозможное событие $H$. Это то, которое никогда не наступает вследствие данного испытания. Например, если урна содержит только белые шары, то извлечение из урны черного шара является невозможным событием.
Случайное событие $A$. Это то, которое может состояться или не состояться в данном испытании. Например, в испытании с однократным подбрасыванием монеты ее падения гербом является случайным событием.
Совместные события $A$ и $B$. Два события полагают совместными, если в одном и том же испытании появление одного из них не исключает появление второго. Например, при испытании оружия выстрел в мишень и промах являются событиями совместными.
Несовместные события $A$ и $B$. Два события являются несовместными, если в одном и том же испытании они никогда не могут состояться вместе. Например, при испытании оружия осечка и попадание в мишень являются событиями несовместными.
Полная группа событий. Несколько событий образуют полную группу, если вследствие испытания непременно происходит хотя бы одно из них.
Испытанием является использования огнетушителя. Полную группу образуют два события: "огнетушитель срабатывает"', "огнетушитель не срабатывает'".
Испытанием является последовательное использование двух огнетушителей. Теперь полную группу образуют уже четыре события: "оба не срабатывают", "срабатывает только первый", "срабатывает только второй", "срабатывают оба".
Противоположные события. Это два несовместных случайных события, которые образуют полную группу. Противоположные события обозначают $A$ и $\overline{A}$ (не $A$).
При использовании одного огнетушителя противоположными являются события "огнетушитель срабатывает" и "огнетушитель не срабатывает".
Событие $A$ заключается в том, что в течение часа на диспетчерский пункт не поступает ни одного вызова подразделения пожарной охраны. Тогда противоположное событие $\overline{A}$ значит, что в течение часа на диспетчерский пункт поступает по крайней мере один вызов.
Равновозможные события. Это такие события, когда условия испытания не создают преимуществ никакому из них. Например, в испытании с однократным подбрасыванием обычной монеты ее падение гербом и падение цифрой являются равновозможными событиями.
Элементарные события. Это несовместные события, которые образуют полную группу. Например, в испытании с однократным подбрасыванием игрального кубика выпадение каждой из шести цифр является элементарным событием.
Благоприятствующее событие. Событие $A$ называется благоприятствующим событию $B$, если за наступлением события $A$ обязательно наступает и событие $B$. Например, в испытании с однократным подбрасыванием игрального кубика событием $A$ является "выпадения цифры 2", а событием $B$ -- "выпадение четной цифры". Очевидно, что событие $A$ благоприятствует событию $B$.
Рассмотрим операции над событиями.
Суммой двух событий $A$ и $B$ называется событие $C=A+B$, которое состоит в наступлении хотя бы одного из них (или события $A$, или события $B$, или обоих событий вместе).
Событие $A$ -- "выпадение цифры 1 при однократном подбрасывании игрального кубика''. Событие $B$ -- "выпадение цифры 2 при однократном подбрасывании игрального кубика". Суммой $A+B$ указанных событий является событие $C$ -- "выпадение цифры, не большей двух, при однократном подбрасывании игрального кубика".
Свойства суммы событий следующие:
- Сумма противоположных событий $A$ и $\overline{A}$ является достоверным событием $V$, то есть $A+\overline{A}=V$.
- Сумма события $A$ и достоверного события $V$ является достоверным событием $V$, то есть $A+V=V$.
- Суммой события $A$ и невозможного события $H$ является событие $A$, то есть $A+H=A$.
Произведением двух событий $A$ и $B$ называется событие $C=A\cdot B$, которое состоит в совместном наступлении события $A$ и события $B$.
Событие $A$ -- "студент получил экзаменационный билет с четным номером". Событие $B$ -- "студент получил экзаменационный билет с номером, кратным трем". Произведением $A\cdot B$ указанных событий является событие $C$ -- "студент получил экзаменационный билет с номером, кратным шести".
Свойства произведения событий следующие:
- Произведение противоположных событий $A$ и $\overline{A}$ является невозможным событием $H$, то есть $A\cdot \overline{A}=H$.
- Произведение события $A$ и достоверного события $V$ является событием $A$, то есть $A\cdot V=A$.
- Произведением события $A$ и невозможного события $H$ является невозможное событие $H$, то есть $A\cdot H=H$.
- Произведение несовместных событий $A$ и $B$ является невозможным событием $H$, то есть $A\cdot B=H$.
Основные понятия теории вероятностей
Любые процессы, которые происходят в природе, в технике или в человеческом обществе, является следствием взаимодействия многих факторов. Чтобы уметь влиять на тот или иной процесс, желательно выяснить, какую роль в нем играет каждый фактор в отдельности. Например, для предотвращения чрезвычайных ситуаций нужно знать, какие факторы их вызывают, а которые прекращают. Для прогнозирования колебаний курса рубля необходимо изучить влияние на него различных экономических и социальных факторов.
Все найденные факторы стремятся выразить количественно, чтобы для оценивания их роли можно было применять математические методы. Именно поэтому для получения числовых данных проводят наблюдение и эксперименты.
Но, к сожалению, в любом реальном эксперименте никогда не удается отделить влияние главных факторов от влияния второстепенных. Например:
- В химических явлениях не приходится встречаться с абсолютно чистыми веществами.
- При прогнозировании чрезвычайных ситуаций не удается избавиться от непредусмотренного влияния погодных условий.
- При проведении заводских испытаний технической продукции на их результаты могут влиять такие незначительные факторы, как микродефекты материала, температурные условия, предыдущие условия хранения и транспортировки.
- Самолет летит с заданной скоростью, на заданной высоте и в заданном направлении только теоретически. Фактически его полет сопровождается отклонениями, связанными с непредусмотренным характером турбулентности атмосферы.
- Промежутки между двумя очередными сбоями в работе персонального компьютера все время разные, даже при внешне одинаковых условиях работы. Это объясняется тем, что разные его элементы постоянно испытывают неконтролируемые изменения.
Именно поэтому результаты отдельных наблюдений и экспериментов невозможно предусмотреть абсолютно точно, они являются случайными. Вместе с тем, практический опыт показывает, что при проведении массовых наблюдений и экспериментов разные случайности нивелируются, взаимно уничтожаются. Средний результат массовых случайных явлений оказывается целиком предсказуемым и практически не случайным. Например, результат отдельного подбрасывания монеты является случайным. Но совсем не случайным является то, что при большом количестве подбрасываний монета будет падать разными своими сторонами одинаково часто.
Математическая наука, которая изучает закономерности случайных явлений, называется теорией вероятностей. Использование методов теории вероятностей позволяет избежать слишком сложных исследований частных явлений. Методы теории вероятностей направлены на практическое применение тех свойств случайных явлений, которые проявляются в массовых масштабах.
