В практике и в учебниках наиболее распространены нижеперечисленные способы нахождения точки пересечения различных графиков функций.
Первый способ
Первый и самый простой – это воспользоваться тем, что в этой точке координаты будут равны и приравнять графики, а из того что получится можно найти $x$. Затем найденный $x$ подставить в любое из двух уравнений и найти координату игрек.
Найдём точку пересечения двух прямых $y=5x + 3$ и $y=x-2$, приравняв функции:
$5x = x- 2$;
$4x = -2$;
$x=-\frac{1}{2}$
Теперь подставим полученный нами икс в любой график, например, выберем тот, что попроще — $y=x-2$:
$y=-\frac{1}{2} – 2 = - 2\frac12$.
Точка пересечения будет $(-\frac{1}{2};- 2\frac12)$.
Второй способ
Второй способ заключается в том, что составляется система из имеющихся уравнений, путём преобразований одну из координат делают явной, то есть, выражают через другую. После это выражение в приведённой форме подставляется в другое.
Узнайте, в каких точках пересекаются графики параболы $y=2x^2-2x-1$ и пересекающей её прямой $y=x+1$.
Решение:
Составим систему:
$\begin{cases} y=2x^2-2x-1 \\ y= x + 1 \\ \end{cases}$
Второе уравнение проще первого, поэтому подставим его вместо $y$:
$x+1 = 2x^2 – 2x-1$;
$2x^2 – 3x – 2 = 0$.
Вычислим, чему равен x, для этого найдём корни, превращающие равенство в верное, и запишем полученные ответы:
$x_1=2; x_2 = -\frac{1}{2}$
Подставим наши результаты по оси абсцисс по очереди во второе уравнение системы:
$y_1= 2 + 1 = 3; y_2=1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
Точки пересечения будут $(2;3)$ и $(-\frac{1}{2}; \frac{1}{2})$.
Третий способ
Перейдём к третьему способу — графическому, но имейте в виду, что результат, который он даёт, не является достаточно точным.
Для применения метода оба графика функций строятся в одном масштабе на одном чертеже, и затем выполняется визуальный поиск точки пересечения.
Данный способ хорош лишь в том случае, когда достаточно приблизительного результата, а также если нет каких-либо данных о закономерностях рассматриваемых зависимостей.
Найдите точку пересечения графиков на общем рисунке.
Рисунок 1. Точка пересечения двух функций. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Решение:
Тут всё просто: ищем точки пересечения пунктиров, опущенных с графиков с осями абсцисс и ординат и записываем по порядку. Здесь точка пересечения равна $(2;3)$.
