Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Интегралы. Внесение под знак дифференциала

В рамках данной статьи мы разберём следующие понятия:

Первообразная и неопределённый интеграл

Интеграл является одним из ключевых понятий математического анализа. Чтобы задать понятие интеграла нужно дать определение производной функции.

Определение 1

Первообразной функция F(x) для функции y=f(x) называется тогда, когда на некотором промежутке (a,b) для любого x(a,b) выполняется равенство F(x)=f(x).

Рассмотрим пример.

Пример 1

Задание. Найти первообразную f(x)=x5.

Решение. F(x)=(x66)=16(x6)=166x5=x5.

Обратим внимание, что функции g1(x)=x66+7;g2(x)=x66+322 также имеют первообразную, которая равна x5. То есть к выражению x66 можно прибавить любую постоянную C. Получается, что решение задачи нахождение первообразной не единственно, и решений много.

Дадим определения.

Определение 2

Неопределённый интеграл для непрерывной функции y=f(x) - это выражение f(x)dx, которое объединяет множество всех первообразных функций.

f(x)dx=F(x)+C, где F(x)=f(x).

Интегрирование функции - это операция нахождения неопределённого интеграла.

Это действие является обратным операции дифференцирования (то есть обратным действию нахождения производной).

Пример интеграла: x2dx=x2+C.

Интегрирование по частям

Действие внесения функции под знак дифференциала относится к одному из основных методов интегрирования - интегрированию по частям. Для применения этого метода используется следующее равенство:

«Интегралы. Внесение под знак дифференциала» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Помощь с рефератом от нейросети
Написать ИИ

u(x)dv(x)=u(x)v(x)v(x)du(x).

Для рассмотрения примеров вычисления интегралов данным методом, необходимо привести некоторые формулы неопределённых интегралов:

xadx=xa+1a+1+C,x>0,a1;

exdx=ex+c.

Пример 2

Условие. Вычислить интеграл xexdx.

Решение. Занесём функцию ex под знак дифференциала:

xexdx=xd(ex)=xexexdx=xexex+C.

Это и есть ответ.

Рассмотрим другой пример.

Пример 3

Условие. Вычислить интеграл x2lnxdx.

Решение. Заносим x2 под знак дифференциала:

x2lnxdx=xd(x33).

Выведем ответ:

lnxd(x33)=x33lnxx33d(lnx)=x33lnxx331xdx=x33lnxx39+C.

Таким образом, в данной статье мы дали определения первообразной, неопределённому интегралу и разобрали метод интегрирования по частям с внесением функции под знак дифференциала.

Дата последнего обновления статьи: 17.04.2024
Получи помощь с рефератом от ИИ-шки
ИИ ответит за 2 минуты
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Интегралы. Внесение под знак дифференциала"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant