В рамках данной статьи мы разберём следующие понятия:
- первообразная;
- неопределённый интеграл;
- интегрирование по частям.
Первообразная и неопределённый интеграл
Интеграл является одним из ключевых понятий математического анализа. Чтобы задать понятие интеграла нужно дать определение производной функции.
Первообразной функция $F(x)$ для функции $y=f(x)$ называется тогда, когда на некотором промежутке $(a,b)$ для любого $x\in (a,b)$ выполняется равенство $F'(x)=f(x)$.
Рассмотрим пример.
Задание. Найти первообразную $f(x)=x^5$.
Решение. $F'(x)=(\frac{x^6}{6})'=\frac{1}{6}(x^6)'=\frac{1}{6}6x^5=x^5.$
Обратим внимание, что функции $g_1(x)=\frac{x^6}{6}+7; g_2(x)=\frac{x^6}{6}+322$ также имеют первообразную, которая равна $x^5$. То есть к выражению $\frac{x^6}{6}$ можно прибавить любую постоянную $C$. Получается, что решение задачи нахождение первообразной не единственно, и решений много.
Дадим определения.
Неопределённый интеграл для непрерывной функции $y=f(x)$ - это выражение $\int f(x)dx$, которое объединяет множество всех первообразных функций.
$\int f(x)dx=F(x)+C$, где $F'(x)=f(x)$.
Интегрирование функции - это операция нахождения неопределённого интеграла.
Это действие является обратным операции дифференцирования (то есть обратным действию нахождения производной).
Пример интеграла: $\int x^2 dx=x^2+C$.
Интегрирование по частям
Действие внесения функции под знак дифференциала относится к одному из основных методов интегрирования - интегрированию по частям. Для применения этого метода используется следующее равенство:
$\int u(x)dv(x)=u(x)v(x)-\int v(x)du(x)$.
Для рассмотрения примеров вычисления интегралов данным методом, необходимо привести некоторые формулы неопределённых интегралов:
$\int x^adx=\frac{x^{a+1}}{a+1}+C, x>0, a\neq -1$;
$\int e^x dx=e^x + c$.
Условие. Вычислить интеграл $\int x e^xdx$.
Решение. Занесём функцию $e^x$ под знак дифференциала:
$\int xe^xdx = \int xd(e^x)=xe^x-\int e^xdx=xe^x-e^x+C$.
Это и есть ответ.
Рассмотрим другой пример.
Условие. Вычислить интеграл $\int x^2\ln x dx$.
Решение. Заносим $x^2$ под знак дифференциала:
$\int x^2\ln xdx=\int xd \left(\frac{x^3}{3}\right)$.
Выведем ответ:
$\int \ln xd\left (\frac{x^3}{3} \right ) = \frac{x^3}{3}\ln x-\int\frac{x^3}{3}d(\ln x)= \frac{x^3}{3}\ln x -\int\frac{x^3}{3}\frac{1}{x}dx=\frac{x^3}{3}\ln x-\frac{x^3}{9}+C.$
Таким образом, в данной статье мы дали определения первообразной, неопределённому интегралу и разобрали метод интегрирования по частям с внесением функции под знак дифференциала.
