В рамках данной статьи мы разберём следующие понятия:
- первообразная;
- неопределённый интеграл;
- интегрирование по частям.
Первообразная и неопределённый интеграл
Интеграл является одним из ключевых понятий математического анализа. Чтобы задать понятие интеграла нужно дать определение производной функции.
Первообразной функция F(x) для функции y=f(x) называется тогда, когда на некотором промежутке (a,b) для любого x∈(a,b) выполняется равенство F′(x)=f(x).
Рассмотрим пример.
Задание. Найти первообразную f(x)=x5.
Решение. F′(x)=(x66)′=16(x6)′=166x5=x5.
Обратим внимание, что функции g1(x)=x66+7;g2(x)=x66+322 также имеют первообразную, которая равна x5. То есть к выражению x66 можно прибавить любую постоянную C. Получается, что решение задачи нахождение первообразной не единственно, и решений много.
Дадим определения.
Неопределённый интеграл для непрерывной функции y=f(x) - это выражение ∫f(x)dx, которое объединяет множество всех первообразных функций.
∫f(x)dx=F(x)+C, где F′(x)=f(x).
Интегрирование функции - это операция нахождения неопределённого интеграла.
Это действие является обратным операции дифференцирования (то есть обратным действию нахождения производной).
Пример интеграла: ∫x2dx=x2+C.
Интегрирование по частям
Действие внесения функции под знак дифференциала относится к одному из основных методов интегрирования - интегрированию по частям. Для применения этого метода используется следующее равенство:
∫u(x)dv(x)=u(x)v(x)−∫v(x)du(x).
Для рассмотрения примеров вычисления интегралов данным методом, необходимо привести некоторые формулы неопределённых интегралов:
∫xadx=xa+1a+1+C,x>0,a≠−1;
∫exdx=ex+c.
Условие. Вычислить интеграл ∫xexdx.
Решение. Занесём функцию ex под знак дифференциала:
∫xexdx=∫xd(ex)=xex−∫exdx=xex−ex+C.
Это и есть ответ.
Рассмотрим другой пример.
Условие. Вычислить интеграл ∫x2lnxdx.
Решение. Заносим x2 под знак дифференциала:
∫x2lnxdx=∫xd(x33).
Выведем ответ:
∫lnxd(x33)=x33lnx−∫x33d(lnx)=x33lnx−∫x331xdx=x33lnx−x39+C.
Таким образом, в данной статье мы дали определения первообразной, неопределённому интегралу и разобрали метод интегрирования по частям с внесением функции под знак дифференциала.