Интеграл от константы

Интеграл от константы получают благодаря небольшим преобразованиям одного из самых простейших табличных интегралов, запишем его:

$\int 1 \cdot dx = \int dx = x + C \left(1\right)$

Данная формула иллюстрирует правило взятия интеграла от единицы, константа же представляет собой единицу, помноженную на какое-либо число.

В случае наличия множителя воспользуемся правилами дифференцирования функции и выведем формулу для интеграла:

$d(a \cdot \int f(x))dx = a \cdot d(\int f(x) dx) = a \cdot f(x) dx \left(2\right)$.

Соответственно правилу, доказанному в формуле $(2)$ получается, что постоянный множитель можно выносить из-под знака интеграла:

$\int a \cdot f(x)dx = a \cdot \int f(x) dx \left(2\right)$.

Применим формулу $(2)$ и формулу $(1)$ для получения первообразной от константы $K$ и получим:

$\int K \cdot dx = \int 1 \cdot K \cdot dx = K \cdot \int 1 \cdot dx = K \cdot (x + C) \left(1\right)$.

Данное правило справедливо как для неопределённого интеграла, так и для определённого, но при взятии определённого интеграла константа $C$ уничтожается во время вычитания.