Производная сложной функции, полная производная и полный дифференциал сложной функции

Записать $z(u,v)$ и виде $z(x,y)$, если:

$$z=u^{2} v+u, u=x+1, v=x+e^{y} .$$

Решение:

Подставим в выражение для $z(u,v)$ выражения $u=x+1$ и $v=x+e^{y}$, получим:

$\begin{array}{l} {z=u^{2} v+u=(x+1)^{2} \cdot (x+e^{y} )+x+1=(x+1)\cdot ((x+1)\cdot (x+e^{y} )+1)=} \\ {=(x+1)\cdot (x^{2} +x+x\cdot e^{y} +e^{y} +1)=(x+1)\cdot (x^{2} +x\cdot (1+e^{y} )+e^{y} +1)=(x+1)\cdot (x^{2} +(x+1)\cdot (1+e^{y} ))} \end{array}$ Таким образом,

$$z=(x+1)\cdot (x^{2} +(x+1)\cdot (1+e^{y} )).$$

Пусть функции $F(u,v),\varphi (x,y),\psi (x,y)$ имеют непрерывные частные производные по все своим аргументам. Тогда:

• $\frac{\partial z}{\partial x} =\frac{\partial F}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial F}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x}$ - частная производная функции $z$ по аргументу $x$;

• $\frac{\partial z}{\partial y} =\frac{\partial F}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} +\frac{\partial F}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial y}$ - частная производная функции $z$ по аргументу $y$.

Найти частные производные заданной функции $z(u,v)$, если:

$$z=u^{2} v+u, u=x+1, v=x+e^{y} .$$

Решение:

Частные производные $\frac{\partial z}{\partial u} ,\frac{\partial z}{\partial v}$ имеют вид:

$$\frac{\partial z}{\partial u} =2uv+1,\frac{\partial z}{\partial v} =u^{2} .$$

Частные производные $\frac{\partial u}{\partial x} ,\frac{\partial u}{\partial y}$ имеют вид:

$$\frac{\partial u}{\partial x} =1,\frac{\partial u}{\partial y} =0.$$

Частные производные $\frac{\partial v}{\partial x} ,\frac{\partial v}{\partial y}$ имеют вид:

$$\frac{\partial v}{\partial x} =1,\frac{\partial v}{\partial y} =e^{y} .$$

Частные производные заданной функции $z(u,v)$ имеют вид:

$$\begin{array}{l} {\frac{\partial z}{\partial x} =(2uv+1)\cdot 1+u^{2} \cdot 1=u^{2} +2uv,} \\ {\frac{\partial z}{\partial y} =(2uv+1)\cdot 0+u^{2} \cdot e^{y} =u^{2} \cdot e^{y} } \end{array}$$

Пусть функция $w$ задана уравнением

$$w=F(z,u,v,s),$$

в котором $z,u,v,s$ - функции независимых переменных $x$ и $y$, называется сложной функцией от аргументов $x,y$.

Тогда формулы для нахождения частных производных запишутся следующим образом:

• $\frac{\partial w}{\partial x} =\frac{\partial w}{\partial z} \cdot \frac{\partial z}{\partial x} +\frac{\partial w}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial w}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x} +\frac{\partial w}{\partial s} \cdot \frac{\partial s}{\partial x}$ - частная производная функции $z$ по аргументу $x$;

• $\frac{\partial w}{\partial y} =\frac{\partial w}{\partial z} \cdot \frac{\partial z}{\partial y} +\frac{\partial w}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} +\frac{\partial w}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial y} +\frac{\partial w}{\partial s} \cdot \frac{\partial s}{\partial y}$ - частная производная функции $z$ по аргументу $y$.

Найти частные производные заданной функции $w=F(z,u,v)$, если:

$$w=zuv, z=x^{2} +y, u=x+1, v=x+e^{y} .$$

Решение:

Частные производные $\frac{\partial w}{\partial z} ,\frac{\partial w}{\partial u} ,\frac{\partial w}{\partial v}$ имеют вид:

$$\frac{\partial w}{\partial z} =uv,\frac{\partial w}{\partial u} =zv,\frac{\partial w}{\partial v} =zu.$$

Частные производные $\frac{\partial z}{\partial x} ,\frac{\partial z}{\partial y}$ имеют вид:

$$\frac{\partial z}{\partial x} =2x,\frac{\partial z}{\partial y} =1.$$

Частные производные $\frac{\partial u}{\partial x} ,\frac{\partial u}{\partial y}$ имеют вид:

$$\frac{\partial u}{\partial x} =1,\frac{\partial u}{\partial y} =0.$$

Частные производные $\frac{\partial v}{\partial x} ,\frac{\partial v}{\partial y}$ имеют вид:

$$\frac{\partial v}{\partial x} =1,\frac{\partial v}{\partial y} =e^{y} .$$

Частные производные заданной функции $w=F(z,u,v)$ имеют вид:

$$\frac{\partial w}{\partial x} =uv\cdot 2x+zv\cdot 1+zu\cdot 1=2uvx+zv+zu,$$ $$\frac{\partial w}{\partial y} =uv\cdot 1+zv\cdot 0+zu\cdot e^{y} =uv+zu\cdot e^{y} =u\cdot (v+ze^{y} )$$

Рассмотрим функцию $z=F(x,y,u,v)$, в которой $y,u,v$ зависят от одного аргумента $x$, т.е.

$$y=f(x),u=\varphi (x),v=\psi (x).$$

Данная функция является функцией одного аргумента $x$. Значит, можно рассматривать вопрос о поиске производной $\frac{dz}{dx}$.

Найти полную производную заданной функции $z(y,u,v)$, если:

$$z=u^{2} v+uy, y=x^{2} , u=x+1, v=\ln x.$$

Решение:

Частные производные $\frac{\partial z}{\partial y} ,\frac{\partial z}{\partial u} ,\frac{\partial z}{\partial v}$ имеют вид:

$$\frac{\partial z}{\partial x} =0,\frac{\partial z}{\partial y} =u,\frac{\partial z}{\partial u} =2uv+y,\frac{\partial z}{\partial v} =u^{2} .$$

Производные $\frac{dy}{dx} ,\frac{du}{dx} ,\frac{dv}{dx}$ имеют вид:

$$\frac{dy}{dx} =2x,\frac{du}{dx} =1,\frac{dv}{dx} =\frac{1}{x} .$$

Полная производная заданной функции $z(y,u,v)$ имеет вид:

$$\frac{dz}{dx} =u\cdot 2x+(2uv+y)\cdot 1+u^{2} \cdot \frac{1}{x} =2ux+2uv+y+\frac{u^{2} }{x} .$$

Найти полный дифференциал заданной функции $z(u,v)$, если:

$$z=u^{2} v+v, u=x+y^{2} , v=\ln x+e^{y} .$$

Решение:

Частные производные $\frac{\partial z}{\partial u} ,\frac{\partial z}{\partial v}$ имеют вид:

$$\frac{\partial z}{\partial u} =2uv+1,\frac{\partial z}{\partial v} =u^{2} +1.$$

Частные производные $\frac{\partial u}{\partial x} ,\frac{\partial u}{\partial y}$ имеют вид:

$$\frac{\partial u}{\partial x} =1,\frac{\partial u}{\partial y} =2y.$$

Частные производные $\frac{\partial v}{\partial x} ,\frac{\partial v}{\partial y}$ имеют вид:

$$\frac{\partial v}{\partial x} =\frac{1}{x} ,\frac{\partial v}{\partial y} =e^{y} .$$

Дифференциалы $du,dv$ имеют вид:

$$du=1\cdot dx+2ydy=dx+2ydy,$$ $$dv=\frac{1}{x} \cdot dx+e^{y} \cdot dy.$$

Полный дифференциал заданной функции $z(u,v)$ имеет вид:

$$dz=(2uv+1)\cdot (dx+2ydy)+(u^{2} +1)\cdot (\frac{1}{x} \cdot dx+e^{y} dy)=$$ $$=\left(2uv+1+\frac{u^{2} +1}{x} \right)\cdot dx+\left((2uv+1)\cdot 2y+(u^{2} +1)\cdot e^{y} \right)dy.$$

Таким образом,

$$dz=\left(2uv+1+\frac{u^{2} +1}{x} \right)\cdot dx+\left((2uv+1)\cdot 2y+(u^{2} +1)\cdot e^{y} \right)dy.$$