Системой линейных уравнений называется система вида: {a11⋅x1+...+a1n⋅xn=b1...am1⋅x1+amn⋅xn=bm
Здесь каждая буква относится к своей группе обозначений, x1...xn — это неизвестные числа или переменные, подлежащие поиску, a11...amn — множители, содержащиеся при неизвестных, b1...bm — свободные члены таблицы из чисел, получаемой на основе приведённой СЛАУ.
В компактной форме СЛАУ принято записывать в виде формулы вида A⋅X=B. В этой формуле под большой буквой A подразумевается матрица множителей при неизвестных системы, а буквами X и B обозначены вектор-столбец неизвестных системы и свободных членов.
Матрица A называется основной матрицей системы, вот как она будет выглядеть:
A=(a11…a1n⋮…⋮am1…amn), b=(b1⋮bm)
Если через длинную черту после матрицы множителей при неизвестных записан столбец свободных членов, то матрицу называют расширенной матрицей системы.
Необходимая терминология
Решением системы называют такие n значений неизвестных x1=c1,x2=c2…xn−cn, что при их использовании все её уравнения становятся верными соблюдающимися равенствами. Найденное решение системы можно записать в виде таблицы неизвестных одним столбцом:
C=(c1c2⋮cn).
В зависимости от количеств групп переменных, подходящих для соблюдения всей системы, различают совместные и несовместные СЛАУ. Объединённая в систему группа равенств называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение и несовместной, если она не имеет решений.
Среди первого типа существуют определённые СЛАУ, имеющие только одно решение и неопределённые, под такие подпадают все, которые можно решить с получением больше одного ответа.
Однородные и неоднородные системы линейных уравнений
Система линейных уравнений называется однородной, если все её свободные члены равны нулю. Если в системе хотя бы один из свободных членов ненулевой, то она называется неоднородной, другие же СЛАУ с нулевым B наоборот однородны.
Однородные системы совместны, так как x1=x2=...xn=0 будет решением для систем, имеющих особенность в виде нулевого столбца B. Иначе такая группа ответов называется нулевым или тривиальным способом решения.
Нетривиальными же называются ответы на СЛАУ, детерминант матрицы которой не 0. В группе ответов таких систем хотя бы одно из неизвестных подходит под xi ≠ 0. Для поиска детерминанта можно воспользоваться LU разложениями, гаусовым методом или его модификацией в виде способа Жордана-Гаусса.
Общее, частное и фундаментальное решения
Частным решением системы называется индивидуальное записанное в одну строчку, тогда как общее Xo записывается через свободные переменные в одну строчку, оно представляет собой некое множество чисел, подходящих под данные условия. Общее Xo включает в себя все индивидуальные.
Фундаментальной же системой решений (ФСР) называется совокупность (n−r) векторов, являющихся линейно независимыми векторами системы. Здесь r — это ранг исследуемой матрицы, согласно теореме Капелли, он равен количеству её основных неизвестных. Найти его можно путём разрешённых преобразований над изучаемым объектом, в частности, можно использовать метод Гаусса или другие.
Фундаментальная система решений частенько представлена как сумма всех возможных решений:
X=C1X1+C2X2+...Cn−rXn−r.
Здесь С1,C2,...Cn−r — некоторые постоянные.
Приведена пример, в котором все свободные члены ненулевые:
{x1–x2+x3−x4=4x1+x2+2x3+3x4=82x1+4x2+5x3+10x4=202x1−4x2+x3−6x4=4.
Ранг всех матриц соответсвует двойке, рассчитаем базисный минор:
M=1−111=2
Избавимся от двух нижних равенств из примера и получим:
{x1–x2=4−c3+c4x1+x2=8−2c3−3c4
Общим решением системы будет строчка (6−32c3−c4;2−12c3−2c4;c3;c4).
Теперь посмотрим, что буде в случае с нулевым столбцом за чертой:
{x1–x2+x3−x4=0x1+x2+2x3+3x4=02x1+4x2+5x3+10x4=02x1−4x2+x3−6x4=0.
Ранг также соответствует двойке, а её решениями будут
c1=−32c3−c4;c2=−12c3−2c4. Константы же c3 и c4 выберем любые, например, возьмём их равными c3=0;c4=1.
Итак, используя приведённые выше значения c3=0;c4=1:
X1=(−32;−12;1;0);
X2=(−1;−2;0;1).
Фундаментальное решение системы можно записать так:
X=C1(−32;−12;1;0)+C2(−1;−2;0;1).
