Системой линейных уравнений называется система вида: $\begin{cases} a_{11} \cdot x_1 +...+ a_{1n} \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_{m1} \cdot x_1 + a_{mn} \cdot x_n = b_m \end{cases}$
Здесь каждая буква относится к своей группе обозначений, $x_1...x_n$ — это неизвестные числа или переменные, подлежащие поиску, $a_11...a_{mn}$ — множители, содержащиеся при неизвестных, $b_1...b_m$ — свободные члены таблицы из чисел, получаемой на основе приведённой СЛАУ.
В компактной форме СЛАУ принято записывать в виде формулы вида $A \cdot X = B$. В этой формуле под большой буквой $A$ подразумевается матрица множителей при неизвестных системы, а буквами $X$ и $B$ обозначены вектор-столбец неизвестных системы и свободных членов.
Матрица $A$ называется основной матрицей системы, вот как она будет выглядеть:
$A = \begin{pmatrix} a_{11} & … & a_{1n} \\ \vdots & … & \vdots \\ a_{m1} & … & a_{mn} \end{pmatrix}$, $b=\begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}$
Если через длинную черту после матрицы множителей при неизвестных записан столбец свободных членов, то матрицу называют расширенной матрицей системы.
Необходимая терминология
Решением системы называют такие $n$ значений неизвестных $x_1=c_1, x_2=c_2…x_n-c_n$, что при их использовании все её уравнения становятся верными соблюдающимися равенствами. Найденное решение системы можно записать в виде таблицы неизвестных одним столбцом:
$C= \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_n \end{pmatrix}$.
В зависимости от количеств групп переменных, подходящих для соблюдения всей системы, различают совместные и несовместные СЛАУ. Объединённая в систему группа равенств называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение и несовместной, если она не имеет решений.
Среди первого типа существуют определённые СЛАУ, имеющие только одно решение и неопределённые, под такие подпадают все, которые можно решить с получением больше одного ответа.
Однородные и неоднородные системы линейных уравнений
Система линейных уравнений называется однородной, если все её свободные члены равны нулю. Если в системе хотя бы один из свободных членов ненулевой, то она называется неоднородной, другие же СЛАУ с нулевым $B$ наоборот однородны.
Однородные системы совместны, так как $x_1=x_2=...x_n=0$ будет решением для систем, имеющих особенность в виде нулевого столбца $B$. Иначе такая группа ответов называется нулевым или тривиальным способом решения.
Нетривиальными же называются ответы на СЛАУ, детерминант матрицы которой не $0$. В группе ответов таких систем хотя бы одно из неизвестных подходит под $x_i$ ≠ $0$. Для поиска детерминанта можно воспользоваться $LU$ разложениями, гаусовым методом или его модификацией в виде способа Жордана-Гаусса.
Общее, частное и фундаментальное решения
Частным решением системы называется индивидуальное записанное в одну строчку, тогда как общее $X_o$ записывается через свободные переменные в одну строчку, оно представляет собой некое множество чисел, подходящих под данные условия. Общее $X_o$ включает в себя все индивидуальные.
Фундаментальной же системой решений (ФСР) называется совокупность $(n-r)$ векторов, являющихся линейно независимыми векторами системы. Здесь $r$ — это ранг исследуемой матрицы, согласно теореме Капелли, он равен количеству её основных неизвестных. Найти его можно путём разрешённых преобразований над изучаемым объектом, в частности, можно использовать метод Гаусса или другие.
Фундаментальная система решений частенько представлена как сумма всех возможных решений:
$X=C_1X_1 + C_2X_2+...C_{n-r}X_{n-r}$.
Здесь $С_1, C_2,...C_{n-r}$ — некоторые постоянные.
Приведена пример, в котором все свободные члены ненулевые:
$\begin{cases} x_1 – x_2 + x_3-x_4=4 \\ x_1+x_2+2x_3+3x_4=8 \\ 2x_1+4x_2+5x_3+10x_4=20 \\ 2x_1-4x_2+x_3-6x_4=4\\ \end{cases}$.
Ранг всех матриц соответсвует двойке, рассчитаем базисный минор:
$M=\begin{array}{|cc|} 1 & -1 \\ 1 &1 \\ \end{array}=2$
Избавимся от двух нижних равенств из примера и получим:
$\begin{cases} x_1 – x_2=4-c_3+c_4 \\ x_1+x_2=8-2c_3-3c_4 \\ \end{cases}$
Общим решением системы будет строчка $(6-\frac{3}{2}c_3-c_4; 2-\frac{1}{2}c_3-2c_4;c_3; c_4)$.
Теперь посмотрим, что буде в случае с нулевым столбцом за чертой:
$\begin{cases} x_1 – x_2 + x_3-x_4=0 \\ x_1+x_2+2x_3+3x_4=0 \\ 2x_1+4x_2+5x_3+10x_4=0 \\ 2x_1-4x_2+x_3-6x_4=0 \end{cases}$.
Ранг также соответствует двойке, а её решениями будут
$c_1=-\frac{3}{2} c_3-c_4; c_2=-\frac{1}{2}c_3-2c_4$. Константы же $c_3$ и $c_4$ выберем любые, например, возьмём их равными $c_3=0;c_4=1$.
Итак, используя приведённые выше значения $c_3=0;c_4=1$:
$X_1=(-\frac32;-\frac12;1;0)$;
$X_2=(-1;-2;0;1)$.
Фундаментальное решение системы можно записать так:
$X=C_1 (-\frac{3}{2};-\frac{1}{2};1;0)+C_2(-1;-2;0;1)$.
