Processing math: 100%
Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Куб разности

Формула куба разности является одной из формул сокращенного умножения. В основном, такие формулы основаны на таком понятии как Бином Ньютона. Поэтому сначала познакомимся с ним.

Бином Ньютона

Интересующая нас формула, как и многие другие, находятся с помощью формулы Бинома Ньютона.

Она будет иметь следующий вид:

(α+β)z=C0zαz+C1zαz1β+C2zαz2β2++Cz1zαβz1+Czzβz

Здесь числа C0z,C1z,,Cz1z,Czz называются коэффициентами Бинома Ньютона. Чаще всего эти коэффициенты находятся с помощью треугольника Паскаля (Таблица 1).

Вычисленные коэффициентов треугольника паскаля вы можете увидеть в таблице 2.

Формула куба разности через Бином Ньютона

Теперь, используя формулу Бинома Ньютона рассмотренную выше, мы можем вывести формулу куба разности (αβ)3, учитывая, что

(αβ)3=(α+(β))3 Из этой формулы получаем:

(αβ)3=C03α3+C13α2(β)+C23a(β)2+C33(β)3

Из таблицы 2, получаем:

C03α3+C13α2(β)+C23a(β)2+C33(β)3=α33α2β+3aβ2β3

Следовательно, получаем что, куб разности двух выражений равняется разности кубов этих выражений, сложенным с произведением квадрата второго с первым, умноженного на три и с вычетом произведения квадрата первого со вторым, также умноженного на три, то есть:

«Куб разности» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Помощь с рефератом от нейросети
Написать ИИ

(αβ)3=α33α2β+3aβ2β3

Формула куба суммы через другие формулы

Помимо нахождения описанным выше способ, формулу куба разности можно также найти с помощью другой формулы сокращенного умножения, а именно квадрата разности:

(αβ)2=α22aβ+β2

Итак, получаем:

(αβ)3=(αβ)2(αβ)=(α22aβ+β2)(αβ)

Далее, перемножая последние скобки, будем иметь:

(α22aβ+β2)(αβ)=α3α2β2α2β+2aβ2+aβ2β3=α33α2β+3aβ2β3

Следовательно, получаем что, куб разности двух выражений равняется разности кубов этих выражений, сложенным с произведением квадрата второго с первым, умноженного на три и с вычетом произведения квадрата первого со вторым, также умноженного на три, то есть:

(αβ)3=α33α2β+3aβ2β3

Примеры задач

Пример 1

Найти куб выражения (2x3y)

Решения

Из формулы куба разности, получаем:

(2x3y)3=(2x)33(2x)23y+32x(3y)2(3y)3=8x336x2y+54xy227y3

Замечание 1

Замечание: Особое внимание нужно обращать на то, что формулу необходимо применять к одночленам, входящим в сумму, целиком. Частой ошибкой в таком случае бывает, что в куб возводится только часть одночлена (к примеру, возводят не 3y целиком, а только y, что приводит к ошибке!!!)

Пример 2

Возвести в куб:

а) (8α+5β)3

б) (q2+7)3

Решение.

а) (8α+5β)3

Так как у нас нечетная степень, то мы можем вынести знак «минус» за скобки, получим:

(8α+5β)2=(8α5β)3

Используем формулу куба суммы:

(8α5β)3=(8α)33(8α)25β+38α(5β)2(5β)3=512α3960α2β+600αβ2125β3

Окончательно

(8α+5β)3=125β3512α3+960α2β600αβ2

б) (q27)2

Используем формулу куба суммы:

(q27)2=(q2)33(q2)27+3q27273=q621q4+147q2343

Пример 3

Представить в виде куба 8x312x2+6x1

Решение.

Это выражение можно записать следующим образом:

8x312x2+6x1=(2x)33(2x)21+32x113

Следовательно, по формуле куба суммы

8x312x2+6x1=(2x1)3

Пример 4

Вывести формулу куба разности трех выражений.

Решение.

По условию задачи нам нужно раскрыть скобки в следующем выражении

(αβγ)3

Считая (αβ) за первый член суммы, а γ за второй, по формуле куба имеем

(αβγ)3=(αβ)33(αβ)2γ+3(αβ)γ2γ3

По формулам куба и квадрата разности, подставляя и раскрывая скобки, будем получать

(α+β+γ)3=α33α2β+3aβ2β33α2γ+6αβγ3β2γ+3αγ23βγ2γ3

Окончательно

(αβγ)3=α3β3γ33α2β3α2γ3β2γ3βγ2+3aβ2+3αγ2+6αβγ

Таким образом, используя различные такие формулы можно вывести еще множество формул для сокращенного умножения и рационального преобразования выражений. В частности они помогают и при решений конкретных математический уравнений и задач.

Дата последнего обновления статьи: 25.06.2024
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Крупнейшая русскоязычная библиотека студенческих решенных задач
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Куб разности"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant