Формула куба разности является одной из формул сокращенного умножения. В основном, такие формулы основаны на таком понятии как Бином Ньютона. Поэтому сначала познакомимся с ним.
Бином Ньютона
Интересующая нас формула, как и многие другие, находятся с помощью формулы Бинома Ньютона.
Она будет иметь следующий вид:
(α+β)z=C0zαz+C1zαz−1β+C2zαz−2β2+⋯+Cz−1zαβz−1+Czzβz
Здесь числа C0z,C1z,…,Cz−1z,Czz называются коэффициентами Бинома Ньютона. Чаще всего эти коэффициенты находятся с помощью треугольника Паскаля (Таблица 1).
Вычисленные коэффициентов треугольника паскаля вы можете увидеть в таблице 2.
Формула куба разности через Бином Ньютона
Теперь, используя формулу Бинома Ньютона рассмотренную выше, мы можем вывести формулу куба разности (α−β)3, учитывая, что
(α−β)3=(α+(−β))3 Из этой формулы получаем:
(α−β)3=C03α3+C13α2(−β)+C23a(−β)2+C33(−β)3
Из таблицы 2, получаем:
C03α3+C13α2(−β)+C23a(−β)2+C33(−β)3=α3−3α2β+3aβ2−β3
Следовательно, получаем что, куб разности двух выражений равняется разности кубов этих выражений, сложенным с произведением квадрата второго с первым, умноженного на три и с вычетом произведения квадрата первого со вторым, также умноженного на три, то есть:
(α−β)3=α3−3α2β+3aβ2−β3
Формула куба суммы через другие формулы
Помимо нахождения описанным выше способ, формулу куба разности можно также найти с помощью другой формулы сокращенного умножения, а именно квадрата разности:
(α−β)2=α2−2aβ+β2
Итак, получаем:
(α−β)3=(α−β)2(α−β)=(α2−2aβ+β2)(α−β)
Далее, перемножая последние скобки, будем иметь:
(α2−2aβ+β2)(α−β)=α3−α2β−2α2β+2aβ2+aβ2−β3=α3−3α2β+3aβ2−β3
Следовательно, получаем что, куб разности двух выражений равняется разности кубов этих выражений, сложенным с произведением квадрата второго с первым, умноженного на три и с вычетом произведения квадрата первого со вторым, также умноженного на три, то есть:
(α−β)3=α3−3α2β+3aβ2−β3
Примеры задач
Найти куб выражения (2x−3y)
Решения
Из формулы куба разности, получаем:
(2x−3y)3=(2x)3−3⋅(2x)2⋅3y+3⋅2x⋅(3y)2−(3y)3=8x3−36x2y+54xy2−27y3
Возвести в куб:
а) (−8α+5β)3
б) (q2+7)3
Решение.
а) (−8α+5β)3
Так как у нас нечетная степень, то мы можем вынести знак «минус» за скобки, получим:
(−8α+5β)2=−(8α−5β)3
Используем формулу куба суммы:
(8α−5β)3=(8α)3−3⋅(8α)2⋅5β+3⋅8α⋅(5β)2−(5β)3=512α3−960α2β+600αβ2−125β3
Окончательно
(−8α+5β)3=125β3−512α3+960α2β−600αβ2
б) (q2−7)2
Используем формулу куба суммы:
(q2−7)2=(q2)3−3⋅(q2)2⋅7+3⋅q2⋅72−73=q6−21q4+147q2−343
Представить в виде куба 8x3−12x2+6x−1
Решение.
Это выражение можно записать следующим образом:
8x3−12x2+6x−1=(2x)3−3⋅(2x)2⋅1+3⋅2x⋅1−13
Следовательно, по формуле куба суммы
8x3−12x2+6x−1=(2x−1)3
Вывести формулу куба разности трех выражений.
Решение.
По условию задачи нам нужно раскрыть скобки в следующем выражении
(α−β−γ)3
Считая (α−β) за первый член суммы, а γ за второй, по формуле куба имеем
(α−β−γ)3=(α−β)3−3(α−β)2γ+3(α−β)γ2−γ3
По формулам куба и квадрата разности, подставляя и раскрывая скобки, будем получать
(α+β+γ)3=α3−3α2β+3aβ2−β3−3α2γ+6αβγ−3β2γ+3αγ2−3βγ2−γ3
Окончательно
(α−β−γ)3=α3−β3−γ3−3α2β−3α2γ−3β2γ−3βγ2+3aβ2+3αγ2+6αβγ
Таким образом, используя различные такие формулы можно вывести еще множество формул для сокращенного умножения и рационального преобразования выражений. В частности они помогают и при решений конкретных математический уравнений и задач.