Прямоугольник, ромб, квадрат

Предварительные сведения

Для начала разберемся с таким понятием, как параллелограмм.

Четырехугольник имеет $4$ стороны, $4$ вершины и $4$ угла. Стороны, не имеющие общих вершин, называют противоположными сторона четырехугольника, в противном случае они называются смежными. Углы, не имеющие общих сторон, также называют смежными.

Введем теперь, непосредственно, определение параллелограмма.

Напомним основные свойства параллелограмма.

Свойство 1: Противоположные стороны и углы параллелограмма равны, соответственно, между собой.

Свойство 2: Диагонали, проведенные в параллелограмме, делятся пополам их точкой пересечения.

Рассмотрим далее подробно понятия прямоугольника, ромба и квадрата.

Прямоугольник

Очевидно, что в прямоугольнике все четыре угла равняются ${90}^0$

Рассмотрим два свойства прямоугольника.

Свойство 3: Обе диагонали прямоугольника равны между собой.

Доказательство.

Пусть нам дан прямоугольник $ABCD$. Проведем в нем диагонали $AC$ и $BD$ (рис. 2). Докажем, что $AC=BD$.

Рисунок 2.

Так как прямоугольник по определению $1$ является параллелограммом, то по свойству $1$ параллелограмма, имеем

Так как $\angle B=\angle A={90}^0$, а $AB$ - общая сторона, то по I признаку равенства треугольников, $\triangle ABD=\triangle ABC$. Следовательно

Свойство доказано.

Свойство 4 (признак прямоугольника): Если обе диагонали параллелограмма равны между собой, то он является прямоугольником.

Доказательство.

Пусть нам дан прямоугольник $ABCD$. Проведем в нем диагонали $AC$ и $BD$. Пусть они пересекаются в точке $R$ (рис. 2).

Из свойства $2$ параллелограмма и равенства его диагоналей, получим

Так как $\angle DRC=\angle ARB$, как вертикальные, то по $I$ признаку равенства треугольников $\triangle DRC=\triangle ARB$. Значит, $\angle RDC=\angle RCD=\angle RAB={\rm \ }\angle RBA$.

Так как $\angle DRA=\angle CRB$, как вертикальные, то по I признаку равенства треугольников $\triangle DRA=\triangle CRB$. Значит, $\angle RDA=\angle RAD=\angle RCB={\rm \ }\angle RBC$.

Следовательно, $\angle A=\angle B=\angle C=\angle D$.

Так как сумма углов четырехугольника равняется ${360}^0$, то

Значит, по определению $3$, $ABCD$ является прямоугольником.

Свойство доказано.

Ромб

Рассмотрим свойство ромба.

Свойство 5: Диагонали ромба являются биссектрисами его углов и перпендикулярны друг другу.

Доказательство.

Пусть нам дан ромб $ABCD$. Проведем в нем диагонали $AC$ и $BD$. Пусть они пересекаются в точке $E$ (рис. 4).

Рисунок 4.

Так как ромб является прямоугольником с равными сторонами, то

Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников,

Это доказывает, что диагонали являются биссектрисами углов ромба.

Так как $AB=AD$, то треугольник $ABD$ равнобедренный, а так как $AE$ - медиана треугольника $ABD$, то $AC$ перпендикулярно $BD$.

Свойство доказано.

Квадрат

Прямоугольник, у которого все его четыре стороны равны между собой, называется квадратом (рис. 5).

Рисунок 5. Квадрат

Очевидно, что квадрат -- частный случай ромба. Следовательно, квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба.

Пример задачи