Эмпирическая функция распределения

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Определение эмпирической функции распределения

Пусть $X$ -- случайная величина. $F(x)$ - функция распределения данной случайной величины. Будем проводить в одних и тех же независимых друг от друга условий $n$ опытов над данной случайной величиной. При этом получим последовательность значений $x_1,\ x_2\$ , ... , $\ x_n$ , которая и называется выборкой.

Определение 1

Каждое значение $x_i$ ( $i=1,2\$ , ... , $\ n$ ) называется вариантой.

Определение 2

Функция распределения $F(x)$ генеральной совокупности называется теоретической функцией распределения.

Одной из оценок теоретической функции распределения является эмпирическая функция распределения.

Определение 3

Эмпирической функцией распределения $F_n(x)$ называется функция, которая определяет для каждого значения $x$ относительную частоту события $X

$F_n\left(x\right)=\frac{n_x}{n}$

где $n_x$ - число вариант, меньших $x$ , $n$ -- объем выборки.

Отличие эмпирической функции от теоретической состоит том, что теоретическая функция определяет вероятность события $X

Свойства эмпирической функции распределения

Рассмотрим теперь несколько основных свойств функции распределения.

Область значений функции $F_n\left(x\right)$ -- отрезок $[0,1]$ .
$F_n\left(x\right)$ неубывающая функция.
$F_n\left(x\right)$ непрерывная слева функция.
$F_n\left(x\right)$ кусочно-постоянная функция и возрастает только в точках значений случайной величины $X$
Пусть $X_1$ -- наименьшая, а $X_n$ -- наибольшая варианта. Тогда $F_n\left(x\right)=0$ при ${x\le X}_1$ и $F_n\left(x\right)=1$ при $x\ge X_n$ .

«Эмпирическая функция распределения» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Помощь с рефератом от нейросети

Написать ИИ

Введем теорему, которая связывает между собой теоретическую и эмпирическую функции.

Теорема 1

Пусть $F_n\left(x\right)$ -- эмпирическая функция распределения, а $F\left(x\right)$ -- теоретическая функция распределения генеральной выборки. Тогда выполняется равенство:

${\mathop{lim}_{n\to \infty } {|F}_n\left(x\right)-F\left(x\right)|=0\ }$

Примеры задач на нахождение эмпирической функции распределения

Пример 1

Пусть распределение выборки имеет следующие данные, записанные с помощью таблицы:

Рисунок 1.

Найти объем выборки, составить эмпирическую функцию распределения и построить её график.

Решение:

Объем выборки: $n=5+10+15+20=50$ .

По свойству 5, имеем, что при $x\le 1$ $F_n\left(x\right)=0$ , а при $x>4$ $F_n\left(x\right)=1$ .

Значение $x

Таким образом, получаем:

Рисунок 2.

Построим график эмпирического распределения:

Рисунок 3.

Пример 2

Из городов центральной части России случайным образом выбрано 20 городов, для которых получены следующие данные по стоимости проезда в общественном транспорте: 14, 15, 12, 12, 13, 15, 15, 13, 15, 12, 15, 14, 15, 13, 13, 12, 12, 15, 14, 14.

Составить эмпирическую функцию распределения данной выборки и построить её график.

Решение:

Запишем значения выборки в порядке возрастания и посчитаем частоту каждого значения. Получаем следующую таблицу:

Рисунок 4.