Общий метод решения
Дифференциальное уравнение первого порядка $y'=f\left(x,y\right)$, которое можно представить в стандартном виде $y'=f_{1} \left(x\right)\cdot f_{2} \left(y\right)$, где $f_{1} \left(x\right)$ и $f_{2} \left(x\right)$ -- заданные непрерывные функции, називают дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Особенность такого уравнения состоит в том, что его правая часть представляет собой произведение двух сомножителей $f\left(x,\; y\right)=f_{1} \left(x\right)\cdot f_{2} \left(y\right)$, каждый из которых зависит только от "своей" переменной (один только от $x$, другой -- тольки от $y$).
Решение дифференциальных уравнением с разделяющимися переменными состоит в конкретном разделении переменных. При этом используем соотношение $y'=\frac{dy}{dx} $. Предположив, что $f_{2} \left(y\right)\ne 0$, обе части уравнения $\frac{dy}{dx} =f_{1} \left(x\right)\cdot f_{2} \left(y\right)$ делим на $f_{2} \left(y\right)$ и умножаем на $dx$.
В результате уравнение принимает вид $\frac{dy}{f_{2} \left(y\right)} =f_{1} \left(x\right)\cdot dx$. В этом уравнении переменная $x$ входит только в правую часть, а переменная $y$ -- только в левую. Таким образом, переменные разделены. Получено дифференциальное уравнение с разделёнными переменными.
Интегрируем левую и правую части этого уравнения: $\int \frac{dy}{f_{2} \left(y\right)} =\int f_{1} \left(x\right)\cdot dx $. После вычисления интегралов остается только выполнить упрощающие тождественные преобразования.
Общий метод решения можно представить в виде следующего алгоритма:
- Представить данное дифференциальное уравнение в стандартном виде $y'=f_{1} \left(x\right)\cdot f_{2} \left(y\right)$. Если это оказалось невозможным, то дифференциальное уравнение должно решаться иным методом.
- Вычислить интеграл $I_{1} =\int f_{1} \left(x\right)\cdot dx $.
- Вычислить интеграл $I_{2} =\int \frac{dy}{f_{2} \left(y\right)} $.
- Записать общее решение в виде $I_{2} -I_{1} =C$ и выполнить упрощающие тождественные преобразования. По данному начальному условию записать частное решение дифференциального уравнения.
- Решив уравнение $f_{2} \left(y\right)=0$, найти особые точки.
Решение типичных задач
Найти общее решение дифференциального уравнения $\left(2+x^{2} \right)\cdot \sqrt{y} \cdot y'=x$.
Путем тождественных преобразований получаем: $y'=\frac{x}{2+x^{2} } \cdot y^{-\frac{1}{2} } $. Здесь $f_{1} \left(x\right)=\frac{x}{2+x^{2} } $; $f_{2} \left(y\right)=y^{-\frac{1}{2} } $; $2+x^{2} \ne 0$; $y\ne 0$.
Вычисляем интеграл $I_{1} $:
\[I_{1} =\int f_{1} \left(x\right)\cdot dx =\int \frac{x}{2+x^{2} } \cdot dx =\frac{1}{2} \cdot \int \frac{d\left(2+x^{2} \right)}{2+x^{2} } =\frac{1}{2} \cdot \ln \left(2+x^{2} \right)=\ln \sqrt{2+x^{2} } .\]Вычисляем интеграл $I_{2} =\int \frac{dy}{f_{2} \left(y\right)} =\int y^{\frac{1}{2} } \cdot dy =\frac{y^{\frac{1}{2} +1} }{\frac{1}{2} +1} =\frac{2}{3} \cdot y\cdot \sqrt{y} $.
Записываем общее решение в виде $I_{2} -I_{1} =-\ln C$, избрав для произвольной постоянной более удобную форму.
Получаем: $\frac{2}{3} \cdot y\cdot \sqrt{y} -\ln \sqrt{2+x^{2} } =-\ln C$ или $\frac{2}{3} \cdot y\cdot \sqrt{y} =\ln \frac{\sqrt{2+x^{2} } }{C} $.
Найти частное решение дифференциального уравнения $\left(3+e^{x} \right)\cdot y\cdot y'=e^{x} $, удовлетворяющее начальному условию $y\left(0\right)=1$.
Путем тождественных преобразований получаем: $y'=\frac{e^{x} }{3+e^{x} } \cdot \frac{1}{y} $. Здесь $f_{1} \left(x\right)=\frac{e^{x} }{3+e^{x} } $; $f_{2} \left(y\right)=\frac{1}{y} $; $3+e^{x} \ne 0$; $y\ne 0$.
Вычисляем интеграл $I_{1} $:
\[I_{1} =\int f_{1} \left(x\right)\cdot dx =\int \frac{e^{x} }{3+e^{x} } \cdot dx =\int \frac{d\left(3+e^{x} \right)}{3+e^{x} } =\ln \left(3+e^{x} \right).\]Вычисляем интеграл $I_{2} =\int \frac{dy}{f_{2} \left(y\right)} =\int y\cdot dy =\frac{y^{2} }{2} $.
Записываем общее решение в виде $I_{2} -I_{1} =-\ln C$, избрав для произвольной постоянной более удобную форму.
Получаем: $\frac{y^{2} }{2} -\ln \left(3+e^{x} \right)=-\ln C$; $\frac{y^{2} }{2} =\ln \frac{3+e^{x} }{C} $.
Для нахождения частного решения данного дифференциального уравнения подставляем в общее решение начальное условие $y\left(0\right)=1$.
Получаем $\frac{1^{2} }{2} =\ln \frac{3+e^{0} }{C} $, откуда $C=\frac{4}{\sqrt{e} } $.
Таким образом, частное решение имеет вид: $\frac{y^{2} }{2} =\ln \frac{3+e^{x} }{4} +\frac{1}{2} $.
Решить задачу Коши $\left(x^{2} -1\right)\cdot y'+2\cdot x\cdot y^{2} =0$, $y\left(0\right)=1$.
Путем тождественных преобразований получаем: $y'=-\frac{2\cdot x}{x^{2} -1} \cdot y^{2} $. Здесь $f_{1} \left(x\right)=\frac{2\cdot x}{x^{2} -1} $; $f_{2} \left(y\right)=-y^{2} $; $x^{2} -1\ne 0$.
Вычисляем интеграл $I_{1} $:
\[I_{1} =\int f_{1} \left(x\right)\cdot dx =\int \frac{2\cdot x}{x^{2} -1} \cdot dx =\int \frac{d\left(x^{2} -1\right)}{x^{2} -1} =\ln \left|x^{2} -1\right|.\]Вычисляем интеграл $I_{2} =\int \frac{dy}{f_{2} \left(y\right)} =-\int \frac{1}{y^{2} } \cdot dy =\frac{1}{y} $.
Записываем общее решение в виде $I_{2} -I_{1} =\ln C$, избрав для произвольной постоянной более удобную форму.
Получаем: $\frac{1}{y} -\ln \left|x^{2} -1\right|=\ln C$; $\frac{1}{y} =\ln \left(C\cdot \left|x^{2} -1\right|\right)$.
Частное решение находим, используя начальное условие $y\left(0\right)=1$.
Получаем: $\frac{1}{1} =\ln \left(C\cdot \left|0^{2} -1\right|\right)$; $1=\ln C$, откуда $C=e$.
Таким образом, решение задачи Коши имеет вид: $\frac{1}{y} =\ln \left(e\cdot \left|x^{2} -1\right|\right)$.
Кроме этого, решения дифференциального уравнения могут находиться среди решений уравнения $x^{2} -1=0$, а также $f_{2} \left(y\right)=-y^{2} =0$. Из второго уравнения следует $y=0$, которое превращает данное дифференциальное уравнение в тождество, то есть является его особым решением.
Найти общее решение дифференциального уравнения $y'=\left(2\cdot x^{2} -3\cdot x-3\right)\cdot \frac{\left(y-5\right)\cdot \left(y-3\right)^{2} }{2\cdot y^{2} -3\cdot y-3} $.
Данное дифференциальное уравнение имеет стандартный вид для решения его методом разделения переменных. В нём правая часть $f\left(x,\; y\right)$ имеет вид $f_{1} \left(x\right)\cdot f_{2} \left(y\right)$, где $f_{1} \left(x\right)=2\cdot x^{2} -3\cdot x-3$, $f_{2} \left(y\right)=\frac{\left(y-5\right)\cdot \left(y-3\right)^{2} }{2\cdot y^{2} -3\cdot y-3} $.
Вычисляем интеграл $I_{1} $:
\[I_{1} =\int f_{1} \left(x\right)\cdot dx =\int \left(2\cdot x^{2} -3\cdot x-3\right)\cdot dx =2\cdot \int x^{2} \cdot dx -3\cdot \int x\cdot dx -3\cdot \int dx =\] \[=2\cdot \frac{x^{3} }{3} -3\cdot \frac{x^{2} }{2} -3\cdot x=\frac{2}{3} \cdot x^{3} -\frac{3}{2} \cdot x^{2} -3\cdot x.\]Вычисляем интеграл $I_{2} $: $I_{2} =\int \frac{dy}{f_{2} \left(y\right)} =\int \frac{2\cdot y^{2} -3\cdot y-3}{\left(y-5\right)\cdot \left(y-3\right)^{2} } \cdot dy $.
Рациональная дробь $\frac{2\cdot y^{2} -3\cdot y-3}{\left(y-5\right)\cdot \left(y-3\right)^{2} } $ является правильной. Разложим её на сумму элементарных рациональных дробей методом неопределенных коэффициентов: $\frac{2\cdot y^{2} -3\cdot y-3}{\left(y-5\right)\cdot \left(y-3\right)^{2} } =\frac{D_{1} }{y-5} +\frac{D_{2} }{y-3} +\frac{D_{3} }{\left(y-3\right)^{2} } $, где $D_{1} $, $D_{2} $, $D_{3} $ -- неопределенные коэффициенты.
Умножаем равенство на общий знаменатель $\left(y-5\right)\cdot \left(y-3\right)^{2} $:
\[2\cdot y^{2} -3\cdot y-3=D_{1} \cdot \left(y-3\right)^{2} +D_{2} \cdot \left(y-5\right)\cdot \left(y-3\right)+D_{3} \cdot \left(y-5\right).\]В правой части равенства раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:
\[2\cdot y^{2} -3\cdot y-3=\left(D_{1} +D_{2} \right)\cdot y^{2} +\left(-6\cdot D_{1} -8\cdot D_{2} +D_{3} \right)\cdot y+\left(9\cdot D_{1} +15\cdot D_{2} -5\cdot D_{3} \right).\]Многочлены слева и справа равны тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях неизвестных. Получаем систему уравнений относительно неопределенных коэффициентов:
\[\left\{\begin{array}{c} {D_{1} +D_{2} =2} \\ {-6\cdot D_{1} -8\cdot D_{2} +D_{3} =-3} \\ {9\cdot D_{1} +15\cdot D_{2} -5\cdot D_{3} =-3} \end{array}\right. \]Решаем систему (например, по формулам Крамера) и получаем:
\[D_{1} =8; D_{2} =-6; D_{3} =-3.\]Записываем интеграл $I_{2} $:
\[I_{2} =\int \frac{2\cdot y^{2} -3\cdot y-3}{\left(y-5\right)\cdot \left(y-3\right)^{2} } \cdot dy =\int \left(\frac{D_{1} }{y-5} +\frac{D_{2} }{y-3} +\frac{D_{3} }{\left(y-3\right)^{2} } \right)\cdot dy =\] \[=\int \left(\frac{8}{y-5} +\frac{-6}{y-3} +\frac{-3}{\left(y-3\right)^{2} } \right)\cdot dy =\int \frac{8}{y-5} \cdot dy +\int \frac{-6}{y-3} \cdot dy +\int \frac{-3}{\left(y-3\right)^{2} } \cdot dy =\] \[=8\cdot \int \frac{dy}{y-5} -6\cdot \int \frac{dy}{y-3} -3\cdot \int \frac{dy}{\left(y-3\right)^{2} } =8\cdot \ln \left|y-5\right|-6\cdot \ln \left|y-3\right|+\frac{3}{y-3} .\]Записываем общее решение дифференциального уравнения $I_{2} -I_{1} =C$:
\[8\cdot \ln \left|y-5\right|-6\cdot \ln \left|y-3\right|+\frac{3}{y-3} -\frac{2}{3} \cdot x^{3} +\frac{3}{2} \cdot x^{2} +3\cdot x=C.\]Кроме этого, решения дифференциального уравнения могут находиться среди решений уравнения $f_{2} \left(y\right)=\frac{\left(y-5\right)\cdot \left(y-3\right)^{2} }{2\cdot y^{2} -3\cdot y-3} =0$. Из этого уравнения следуют $y=5$ и $y=3$, которые являются его особыми решениями.
