Дифференциальные уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной.
В общем виде дифференциальные уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной, записываются как $F\left(x,y,y'\right)=0$.
Основной метод решения таких дифференциальных уравнений состоит в том, чтобы выполнить некоторые преобразования, приводящие к уравнениям, разрешенным относительно производной. В дальнейшем могут применяться любые из известных методов, соответствующие тому, что в результате получилось: или уравнение с разделяющимися переменными, или однородное уравнение, или линейное уравнение и т.п.
Решить дифференциальное уравнение $y'^{3} -y'^{2} \cdot x+2\cdot y'=2\cdot x$.
Данное дифференциальное уравнение не разрешено относительно производной, поэтому известные методы для его решения применить не удается.
Поэтому выполняем следующие преобразования:
- все слагаемые переносим в одну сторону $y'^{3} -y'^{2} \cdot x+2\cdot y'-2\cdot x=0$;
- выражение слева разлагаем на множители $\left(y'^{2} +2\right)\cdot \left(y'-x\right)=0$;
- так как $y'^{2} +2\ne 0$, то исходное уравнение эквивалентно $y'-x=0$.
Получено дифференциальное уравнение, допускающее непосредственное интегрирование: $\frac{dy}{dx} =x$.
Отсюда: $y=\int x\cdot dx $; $y=\frac{x^{2} }{2} +C$.
Решить дифференциальное уравнение
\[y'^{2} -y'\cdot y+\cos x\cdot \left(y'-y\right)=0.\]Данное дифференциальное уравнение не разрешено относительно производной, поэтому выполняем преобразования:
\[y'\cdot \left(y'-y\right)+\cos x\cdot \left(y'-y\right)=0;\] \[\left(y'-y\right)\cdot \left(y'+\cos x\right)=0.\]Таким образом, данное дифференциальное уравнение эквивалентно двум другим: $y'-y=0$ и $y'+\cos x=0$.
Первое дифференциальное уравнение $y'-y=0$ решается посредством разделения переменных:
\[y'-y=0; \frac{dy}{y} =dx; \ln \left|y\right|=x+\ln C; \ln \frac{\left|y\right|}{C} =x; y=C\cdot e^{x} . \]Второе дифференциальное уравнение $y'+\cos x=0$ допускает непосредственное интегрирование: $\frac{dy}{dx} =-\cos x$, откуда $y=-\sin x+C$.
Метод введения параметра
В ряде случаев дифференциальное уравнение вида $F\left(x,y,y'\right)=0$ не удается разрешить относительно производной. Но вполне возможно, что оно разрешимо или относительно $y$, или относительно $x$. Тогда мы получаем дифференциальное уравнение общего вида $y=u\left(x,y'\right)$ или $x=v\left(y,y'\right)$. Некоторые из дифференциальных уравнений подобного вида можно решить методом введения параметра.
Рассмотрим пример дифференциального уравнения вида $x=f\left(y'\right)$.
Решается введением параметра $\frac{dy}{dx} =p$.
В результате имеем решение данного дифференциального уравнения в параметрической форме, задаваемое следующими выражениями:
\[\left\{\begin{array}{c} {x=f\left(p\right)} \\ {y=\int \frac{df\left(p\right)}{dp} \cdot p\cdot dp +C} \end{array}\right. \]Решить дифференциальное уравнение $8\cdot y'^{3} =27\cdot x$.
Здесь мы имеем дифференциальное уравнение вида $x=f\left(y'\right)$, не разрешенное относительно производной.
Вводим параметр $\frac{dy}{dx} =p$ и записываем уравнение в виде $x=\frac{8}{27} \cdot p^{3} $.
Здесь $f\left(p\right)=\frac{8}{27} \cdot p^{3} $, откуда $\frac{df\left(p\right)}{dp} =\frac{8}{27} \cdot 3\cdot p^{2} =\frac{8}{9} \cdot p^{2} $.
Таким образом, решение данного дифференциального уравнения в параметрической форме задается следующими выражениями:
\[\left\{\begin{array}{c} {x=\frac{8}{27} \cdot p^{3} } \\ {y=\int \frac{8}{9} \cdot p^{2} \cdot p\cdot dp +C} \end{array}\right. .\]Отсюда получаем: $\left\{\begin{array}{c} {x=\frac{8}{27} \cdot p^{3} } \\ {y=\frac{8}{9} \cdot \frac{1}{4} \cdot p^{4} +C} \end{array}\right. $ или $\left\{\begin{array}{c} {x=\frac{8}{27} \cdot p^{3} } \\ {y=\frac{2}{9} \cdot p^{4} +C} \end{array}\right. $ -- решение данного дифференциального уравнения в параметрической форме.
Параметр $p$ из этой системы уравнений можно исключить:
из $x=\frac{8}{27} \cdot p^{3} $ получаем $p^{3} =\frac{27}{8} \cdot x$ или $p=\frac{3}{2} \cdot x^{\frac{1}{3} } $;
подставляем в $y=\frac{2}{9} \cdot p^{4} +C$ и получаем $y=\frac{2}{9} \cdot \left(\frac{3}{2} \cdot x^{\frac{1}{3} } \right)^{4} +C$ или $y=\frac{9}{8} \cdot x^{\frac{4}{3} } +C$.
Таким образом, получено общее решение $y=\frac{9}{8} \cdot x^{\frac{4}{3} } +C$ данного дифференциального уравнения $8\cdot y'^{3} =27\cdot x$ в явной форме.
Решение уравнения Клеро
Уравнение Клеро имеет вид $y=x\cdot y'+\psi \left(y'\right)$ и относится к более сложным видам дифференциальных уранений, не разрешенных относительно производной.
Введим параметр $\frac{dy}{dx} =p$, в результате чего имеем $y=x\cdot p+\psi \left(p\right)$.
После дифференцирования и простых преобразований получаем уравнение $\frac{dp}{dx} \cdot \left(x+\psi '\left(p\right)\right)=0$, которое распадается на два дифференциальных уравнения $\frac{dp}{dx} =0$ и $x+\psi '\left(p\right)=0$.
Уравнение $\frac{dp}{dx} =0$.
Из этого уравнения следует $p=C$. Отсюда получаем общее решение дифференциального уравнения Клеро $y=x\cdot C+\psi \left(C\right)$. Иначе говоря, общее решение можно получить из данного уравнения $y=x\cdot y'+\psi \left(y'\right)$ формальной заменой $y'$ на $C$.
Уравнение $x+\psi '\left(p\right)=0$.
Это уравнение дает особое решение в параметрической форме:
\[\left\{\begin{array}{c} {x=-\frac{d\psi \left(p\right)}{dp} } \\ {y=-p\cdot \frac{d\psi \left(p\right)}{dp} +\psi \left(p\right)} \end{array}\right. .\]Оно представляет собой огибающую семейства кривых общего решения.
Решить дифференциальное уравнение $y=x\cdot y'+y'$.
Имеем уравнение Клеро, в котором $\psi \left(y'\right)=y'$.
Вводим параметр $\frac{dy}{dx} =p$ и получаем $y=x\cdot p+p$, где $\psi \left(p\right)=p$.
Формально заменив в данном дифференциальном уравнении $y'$ на $C$, получим его общее решение $y=x\cdot C+C$ или $y=C\cdot \left(x+1\right)$.
Находим особое решение.
Так как $\psi \left(p\right)=p$ и $\frac{d\psi \left(p\right)}{dp} =1$, то особое решение в параметрической форме преобразуется к виду: $\left\{\begin{array}{c} {x=-1} \\ {y=0} \end{array}\right. $. Это значит, что особые решения для данного дифференциального уравнения отсутствуют.
