Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Основные понятия

Рассмотрим разновидности систем обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ).

  1. Каноническая СОДУ содержит k дифференциальных уравнений (ДУ), связывающих независимую переменную x и k неизвестных функций y1(x),y2(x),,yk(x). Каноническая СОДУ разрешена относительно старших производных этих функций y(p1)1(x),y(p2)2(x),,y(pk)k(x).
  2. Общий вид канонической СОДУ:

    {y(p1)1(x)=f1(x,y1,,yk,y1,,yk,,y(p11)1,,y(p11)k)y(p2)2(x)=f2(x,y1,,yk,y1,,yk,,y(p11)1,,y(p11)k)y(pk)k(x)=fk(x,y1,,yk,y1,,yk,,y(p11)1,,y(p11)k).
  3. СОДУ первого порядка, как правило, записывают в следующем виде: {F1(x,y1,,yn,y1,,yn)=0F2(x,y1,,yn,y1,,yn)=0Fn(x,y1,,yn,y1,,yn)=0.

    Здесь, как обычно, x -- независимая переменная, y1(x),y2(x),,yn(x) -- искомые функции от x, а F1,F2,,Fn -- заданные функции. Число n -- порядок системы.

  4. Нормальной называется СОДУ первого порядка, которая разрешена относительно производных всех функций. Она имеет следующий вид: {y1=f1(x,y1,,yn)y2=f2(x,y1,,yn)yn=fn(x,y1,,yn).
  5. Нормальная СОДУ первого порядка, в которой правые части представляют собой линейные комбинации неизвестных функций y1(x),y2(x),,yn(x), записывается так:
  6. {y1=a11(x)y1+a12(x)y2++a1n(x)yny2=a21(x)y1+a22(x)y2++a2n(x)ynyn=an1(x)y1+an2(x)y2++ann(x)yn.

    Такая нормальная СОДУ называется линейной однородной.

  7. Нормальная линейная неоднородная СОДУ первого порядка имеет вид: {y1=a11(x)y1+a12(x)y2++a1n(x)yn+f1(x)y2=a21(x)y1+a22(x)y2++a2n(x)yn+f2(x)yn=an1(x)y1+an2(x)y2++ann(x)yn+fn(x).
  8. В ней хотя бы одна из функций fk(x) тождественно не равна нулю.

  9. Нормальная СОДУ, имеющая вид{y1=a11y1+a12y2++a1nyny2=a21y1+a22y2++a2nynyn=an1y1+an2y2++annyn,
  10. где коэффициенты ajk,1j,kn -- заданные действительные числа, называется линейной однородной с постоянными коэффициентами.

Решение нормальной СОДУ

Решением нормальной СОДУ

{y1=f1(x,y1,,yn)y2=f2(x,y1,,yn)yn=fn(x,y1,,yn)

на некотором интервале (a,b) называется совокупность функций y1=y1(x),y2=y2(x),,yn=yn(x), определенных и непрерывно дифференцируемых на этом интервале, если она обращает все уравнения системы в тождества, справедливые для всех значений x из этого интервала.

Задача Коши для нормальной СОДУ состоит в том, чтобы найти её решение y1=y1(x),y2=y2(x),,yn=yn(x), удовлетворяющее начальным условиям y1(x0)=y01,y2(x0)=y02,,yn(x0)=y0n, где y01,y02,,y0n -- заданные числа. Если все функции fi(x,y1,,yn),i=1,2,,n, а также все их частные производные по yj,j=1,2,,n -- непрерывны, то решение задачи Коши существует и является единственным.

«Системы обыкновенных дифференциальных уравнений» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Найти

Совокупность функций yi=yi(x,C1,C2,,Cn),i=1,2,,n, зависящая не только от аргумента x, но и от n произвольных постоянных, называется общим решением нормальной СОДУ. Частные решения, как обычно, получают из общего при конкретных значениях произвольных постоянных.

Значения произвольных постоянных можно получить с помощью начальных условий, решив следующую систему:

Рассмотрим общий метод решения нормальной СОДУ.

Предположим, что задано ДУ n-го порядка, разрешенное относительно старшей производной, то есть y(n)=f(x,y,y,,y(n1)).

Выполним замены: y=z1, y=z2, \dots , y(n1)=zn.

Благодаря этим заменам мы получаем возможность записать следующую совокупность соотношений:

Теперь отсюда можем получить нормальную СОДУ:

Отсюда следует вывод, что любое ДУ n-го порядка, разрешенное относительно старшей производной, эквивалентно нормальной СОДУ.

Справедливо и обратное: любая нормальная СОДУ эквивалентна одному ДУ n-го порядка.

Вывод

Таким образом, общий метод решения нормальной СОДУ состоит в преобразовании её в одно ДУ n-го порядка, которое затем решают известными методами. Этот метод называется методом исключения.

Дата последнего обновления статьи: 19.01.2025
Получи помощь с рефератом от ИИ-шки
ИИ ответит за 2 минуты
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Системы обыкновенных дифференциальных уравнений"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant