Основные понятия
Рассмотрим разновидности систем обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ).
- Каноническая СОДУ содержит k дифференциальных уравнений (ДУ), связывающих независимую переменную x и k неизвестных функций y1(x),y2(x),…,yk(x). Каноническая СОДУ разрешена относительно старших производных этих функций y(p1)1(x),y(p2)2(x),…,y(pk)k(x).
- СОДУ первого порядка, как правило, записывают в следующем виде: {F1(x,y1,…,yn,y′1,…,y′n)=0F2(x,y1,…,yn,y′1,…,y′n)=0…Fn(x,y1,…,yn,y′1,…,y′n)=0.
Здесь, как обычно, x -- независимая переменная, y1(x),y2(x),…,yn(x) -- искомые функции от x, а F1,F2,…,Fn -- заданные функции. Число n -- порядок системы.
- Нормальной называется СОДУ первого порядка, которая разрешена относительно производных всех функций. Она имеет следующий вид: {y′1=f1(x,y1,…,yn)y′2=f2(x,y1,…,yn)…y′n=fn(x,y1,…,yn).
- Нормальная СОДУ первого порядка, в которой правые части представляют собой линейные комбинации неизвестных функций y1(x),y2(x),…,yn(x), записывается так:
- Нормальная линейная неоднородная СОДУ первого порядка имеет вид: {y′1=a11(x)⋅y1+a12(x)⋅y2+…+a1n(x)⋅yn+f1(x)y′2=a21(x)⋅y1+a22(x)⋅y2+…+a2n(x)⋅yn+f2(x)…y′n=an1(x)⋅y1+an2(x)⋅y2+…+ann(x)⋅yn+fn(x).
- Нормальная СОДУ, имеющая вид{y′1=a11⋅y1+a12⋅y2+…+a1n⋅yny′2=a21⋅y1+a22⋅y2+…+a2n⋅yn…y′n=an1⋅y1+an2⋅y2+…+ann⋅yn,
Общий вид канонической СОДУ:
{y(p1)1(x)=f1(x,y1,…,yk,y′1,…,y′k,…,y(p1−1)1,…,y(p1−1)k)y(p2)2(x)=f2(x,y1,…,yk,y′1,…,y′k,…,y(p1−1)1,…,y(p1−1)k)…y(pk)k(x)=fk(x,y1,…,yk,y′1,…,y′k,…,y(p1−1)1,…,y(p1−1)k).{y′1=a11(x)⋅y1+a12(x)⋅y2+…+a1n(x)⋅yny′2=a21(x)⋅y1+a22(x)⋅y2+…+a2n(x)⋅yn…y′n=an1(x)⋅y1+an2(x)⋅y2+…+ann(x)⋅yn.
Такая нормальная СОДУ называется линейной однородной.
В ней хотя бы одна из функций fk(x) тождественно не равна нулю.
где коэффициенты ajk,1≤j,k≤n -- заданные действительные числа, называется линейной однородной с постоянными коэффициентами.
Решение нормальной СОДУ
Решением нормальной СОДУ
{y′1=f1(x,y1,…,yn)y′2=f2(x,y1,…,yn)…y′n=fn(x,y1,…,yn)
на некотором интервале (a,b) называется совокупность функций y1=y1(x),y2=y2(x),…,yn=yn(x), определенных и непрерывно дифференцируемых на этом интервале, если она обращает все уравнения системы в тождества, справедливые для всех значений x из этого интервала.
Задача Коши для нормальной СОДУ состоит в том, чтобы найти её решение y1=y1(x),y2=y2(x),…,yn=yn(x), удовлетворяющее начальным условиям y1(x0)=y01,y2(x0)=y02,…,yn(x0)=y0n, где y01,y02,…,y0n -- заданные числа. Если все функции fi(x,y1,…,yn),i=1,2,…,n, а также все их частные производные по yj,j=1,2,…,n -- непрерывны, то решение задачи Коши существует и является единственным.
Совокупность функций yi=yi(x,C1,C2,…,Cn),i=1,2,…,n, зависящая не только от аргумента x, но и от n произвольных постоянных, называется общим решением нормальной СОДУ. Частные решения, как обычно, получают из общего при конкретных значениях произвольных постоянных.
Значения произвольных постоянных можно получить с помощью начальных условий, решив следующую систему:
Рассмотрим общий метод решения нормальной СОДУ.
Предположим, что задано ДУ n-го порядка, разрешенное относительно старшей производной, то есть y(n)=f(x,y,y′,…,y(n−1)).
Выполним замены: y=z1, y′=z2, \dots , y(n−1)=zn.
Благодаря этим заменам мы получаем возможность записать следующую совокупность соотношений:
Теперь отсюда можем получить нормальную СОДУ:
Отсюда следует вывод, что любое ДУ n-го порядка, разрешенное относительно старшей производной, эквивалентно нормальной СОДУ.
Справедливо и обратное: любая нормальная СОДУ эквивалентна одному ДУ n-го порядка.
Таким образом, общий метод решения нормальной СОДУ состоит в преобразовании её в одно ДУ n-го порядка, которое затем решают известными методами. Этот метод называется методом исключения.