Различают два вида деления многочлена на многочлен: с остатком и без.
Многочлен $p(x)$ делится на многочлен $s(x)$, если существует такой многочлен $q(x)$, что соблюдается равенство:
$p(x)=q(x) \cdot s(x)$
Для деления многочлена с остатком существует следующее тождество:
Для любых двух многочленов $p(x)$ и $s(x)$ существует пара многочленов $q(x)$ и $r(x)$, причём такая, что выполняется равенство:
$p(x)=q(x) \cdot s(x) + r(x)$
Ещё одна необходимая теорема:
Остаток от деления многочлена $p(x)$ ненулевой степени на двучлен $x-α$ равен $p(α)$, иными словами, многочлен $p(x)$ при $x= α$ равен $p(α)$.
Деление многочлена на многочлен удобно выполнять в столбик или используя правило Горнера. Ниже мы рассмотрим примеры выполнения деления полиномов в столбик.
Выполним для примера деление многочлена на многочлен и многочлена на двучлен.
Разделите:
$x^3-2x^2+3x-5$ на $x^2-3x-1$;
$2x^5-3x^3-x+2$ на $x-2$.
Решение:
Для того чтобы разделить многочлен на другой многочлен, нужно его последовательно домножать на какой-либо одночлен до коэффициента и степени при старшем члене делимого многочлена.
Рисунок 1. Деление полинома. Автор24 — интернет-биржа студенческих работНапример, для этого примера в первом действии $x^2-3x-1$ нужно домножить на $x$ чтобы можно было избавиться от старшего многочлена.
Во втором действии чтобы избавиться от $x^2$, нужно домножить многочлен-делитель на $1$ и полученный многочлен $x^2-3x-1$ вычесть из остатка $x^2+4x-5$, образовавшегося после предыдущего вычитания.
Остаток $7x-4$, полученный на втором этапе, имеет степень, меньшую, чем степень многочлена-делителя, а значит, деление на этом оканчивается. Разложенный многочлен теперь можно записать в виде:
$(x^2-3x-1)(x+1)+(7x-4)$.
Для выполнения деления многочлена на двучлен также воспользуемся делением столбиком.
Рисунок 2. Деление многочлена на двучлен. Автор24 — интернет-биржа студенческих работНа первом этапе двучлен-делитель домножим на $2x^4$ чтобы изабиться от старшей степени. Полученное произведение $2x^5-4x^4$ отнимем от делимого многочлена $2x^5-3x^3-x+2$. В остатке имеем $4x^4-3x^3-x+2$.
Теперь для того чтобы избавиться от четвёртой степени, домножаем двучлен на $4x^3$ и отнимаем полученное произведение $4x^4-8x^3$ от остатка с предыдущего действия $4x^4-3x^3-x+2$.
Продолжаем выполнять аналогичные действия до тех пор, пока не получим остаток со степенью переменной меньше чем у двучлена-делителя, здесь он равен $40$.
Теперь делимый многочлен можно записать в следующем виде:
$(2x^4+4x^3+5x^2+10x+19)(x-2)+40$.
