Этот метод представляет собой способ разложения рациональных дробей, имеющих форму $\frac{P}{Q}$ при уже известном разложении знаменателя, причём $P$ и $Q$ — многочлены и $Q$ имеет степень, старше чем у числителя.
Если же числитель содержит степень старше чем у знаменателя, то сначала необходимо выделить целую часть путём деления многочлена на многочлен, а затем уже работать с дробью, полученной в остатке.
Сущность метода
Сам способ заключается в составлении системы уравнений, основанной на том, что после знака равенства записывается разложение числителя в буквенной форме, а общий знаменатель этих новых записанных дробей будет равен по-прежнему $Q$, но в разложенном виде.
Рассмотрим метод неопределённых коэффициентов подробнее.
После разложения знаменателя в общем случае возможно получить выражения первого вида $(x^2+px+q)^n$. Для него разложение на простые дроби будет выглядеть так:
$\frac{M_1x+N_1}{x^2 + px + q} + \frac{M_2x+N_2}{(x^2 + px + q)^2}+...+ \frac{M_mx+N_m}{(x^2 + px + q)^m}$.
Если же в разложении знаменателя присутствует множитель вот такого вида — $(x-a)^k$, то ему будет соответствовать вот такое разложение на простые дроби:
$\frac{A_1}{x-a}+\frac{A_2}{(x-a)^2}+… + \frac{A_k}{(x-a)^k}$.
Суммарно количество получающихся новых буквенных переменных равно $2m + k$.
После буквенного разложения имеем равенство, в котором слева и справа знаменатель равен. Это значит, что его можно отбросить, приведя простые дроби справа к общему знаменателю.
После избавления от знаменателя получаем равенство, где коэффициенты при переменных в левой части уравнения должны быть равны коэффициентам при правой. На основе этого составляется система уравнений и решается.
Применение метода
На практике данный метод применяют при интегрировании рациональных дробей и в некоторых других случаях.
Разберём на примере как применять данный метод.
Рассмотрим дробь $\frac{2x^2 + 2x + 13}{(x-2)(x^2 +1)^2}$.
Решение:
Воспользуемся вышеизложенным материалом и получим разложение:
$\frac{2x^2 + 2x + 13}{(x-2)(x^2 +1)^2}=\frac{A}{x-2} + \frac{Bx+C}{x^2+1} + \frac{Dx+E}{(x^2+1)^2}$
Теперь приведём правую часть к общему знаменателю:
$2x^2 + 2x + 13 = A (x^2 +1)^2 + (Bx + C)(x^2 + 1) (x-2) + (Dx + E) (x-2)$.
Составляем систему уравнений, причём после знака «равно» записываются коэффициенты при старших степенях переменных, стоящих слева:
$\begin{cases} A + B = 0 \\ 2B + C = 0 \\ 2A + B – 2C + D = 2 \\ - 2B + C – 2D + E = 2 \\ A – 2C – 2E =13 \\ \end{cases}$
Из этой системы получаем, что $A=1; B = - 1; C = -2; D = - 3; E = -4$.
Итого, используя метод неопределённых коэффициентов, мы получили разложение:
$\frac{2x^2 + 2x + 13}{(x-2)(x^2 +1)^2}=\frac{1}{x-2} - \frac{x + 2}{x^2 + 1} - \frac{3x + 4}{(x^2+1)^2}$.
