Cпособ неопределенных коэффициентов

Этот метод представляет собой способ разложения рациональных дробей, имеющих форму $\frac{P}{Q}$ при уже известном разложении знаменателя, причём $P$ и $Q$ — многочлены и $Q$ имеет степень, старше чем у числителя.

Если же числитель содержит степень старше чем у знаменателя, то сначала необходимо выделить целую часть путём деления многочлена на многочлен, а затем уже работать с дробью, полученной в остатке.

Сущность метода

Рассмотрим метод неопределённых коэффициентов подробнее.

После разложения знаменателя в общем случае возможно получить выражения первого вида $(x^2+px+q)^n$. Для него разложение на простые дроби будет выглядеть так:

$\frac{M_1x+N_1}{x^2 + px + q} + \frac{M_2x+N_2}{(x^2 + px + q)^2}+...+ \frac{M_mx+N_m}{(x^2 + px + q)^m}$.

Если же в разложении знаменателя присутствует множитель вот такого вида — $(x-a)^k$, то ему будет соответствовать вот такое разложение на простые дроби:

$\frac{A_1}{x-a}+\frac{A_2}{(x-a)^2}+… + \frac{A_k}{(x-a)^k}$.

Суммарно количество получающихся новых буквенных переменных равно $2m + k$.

После буквенного разложения имеем равенство, в котором слева и справа знаменатель равен. Это значит, что его можно отбросить, приведя простые дроби справа к общему знаменателю.

После избавления от знаменателя получаем равенство, где коэффициенты при переменных в левой части уравнения должны быть равны коэффициентам при правой. На основе этого составляется система уравнений и решается.

Применение метода

На практике данный метод применяют при интегрировании рациональных дробей и в некоторых других случаях.

Разберём на примере как применять данный метод.