Вид у канонического уравнения гиперболы такой:
$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$, где $a, b$ - положительные действительные числа.
Как построить гиперболу по уравнению и сколько нужно точек для построения гиперболы
Aлгоритм построения гиперболы такой:
- Сначала необходимо построить асимптоты гиперболы, они определяются уравнениями $y = \frac{b\cdot x}{a}$ и $y = -\frac{b\cdot x}{a}$. Не пренебрегайте этим шагом, так как главное правило для построения гиперболы – это стремление, но непересечение её графика к асимптотам.
Затем необходимо найти вершины гиперболы, для несмещённой гиперболы они будут лежать на оси $ОХ$. Для того чтобы их найти, нужно приравнять $y$ к нулю в уравнении гиперболы. Получится уравнение следующего вида: $\frac{x^2}{a^2} = 1$, $x = ±\sqrt{a^2}$, $x = ±a$.
После этого необходимо вычислить значение $y$ для любых двух-трёх точек гиперболы (для второй ветви они будут симметричны). В общем виде уравнение для подстановки $x$-координаты и поиска точки, принадлежащей гиперболе, выглядит так: $y = ±\sqrt {b^2 (\frac{x^2}{a^2} - 1})$
Примеры построения гиперболы
Разберём, как строить график гиперболы по уравнению. Построим гиперболу, уравнение которой выглядит следующим образом:
$\frac{x^2}{2^2} - \frac{y^2}{3^2} = 1$
Рисунок 1. Построение гиперболы по уравнению
- Асимптотами этой гиперболы будут прямые $y = 1,5x$ и $y = -1,5x$,
- Находим вершины гиперболы, в нашем случае это будут точки $A_1$ с координатами $(2;0)$ и $A_2$ с координатами $(-2;0)$.
- Вычисляем значение $y$ в любых двух точках гиперболы: при $x = 3$, $y ≈ 3.35$ при $x = 4$, $y ≈ 5.20$.
- Так как гипербола симметрична относительно оси $OX$, точки второй половины ветви будут вот такими: при $x = 3$, $y ≈ -3.35$, а при $x = 4$, $y ≈ -5.20$. Вторая ветвь гиперболы будет зеркальным отражением первой.
