Предел синуса на бесконечности является неопределённым.
Чтобы доказать это, рассмотрим предел этой тригонометрической функции.
Допустим существование некоторого предела выражения $\lim_{n \to \infty} \sin(n)$, то есть, что оно стремится к некоторой конечной величине на бесконечности.
Тогда будет соблюдаться условие $\lim _{n \to \infty} (\sin(n+1) - \sin(n-1)) = 0$.
По правилу разложения разности синусов $\sin α - \sin β = 2 \cos \frac{α + β}{2} \cdot \sin \frac{ α – β}{2}$.
Из этого выходит, что $\lim_{n \to \infty} 2 \cos(n) \sin (1) = 0$, а это значит, что $\lim_{n \to \infty}\cos n = 0$.
Следовательно, предел синуса от $2n$ при $n \to \infty$ также равен нулю:
$\lim_{n \to \infty} \sin 2n= 2 \sin(n) \cos (n) = 0$, но тогда если $\lim_{n \to \infty} \sin(n))$ существует, будет выполняться условие $\lim \sin(n) = 0$.
Но при этом должно выполняться основное тригонометрическое тождество $\sin^2 n + cos^2 n = 1$, это значит, что косинус $n$ должен стремиться к нулю, а синус в этом случае стремится к единице.
Но данное утверждение противоречит здравому смыслу, а значит, предел на бесконечности для синуса не определён.
