Арифметический корень второй степени
Корнем второй степени (или квадратным корнем) из числа $a$ называют такое число, которое при возведении в квадрат станет равным $a$.
$7^2=7 \cdot 7=49$, значит число $7$ является корнем 2-й степени из числа $49$;
$0,9^2=0,9 \cdot 0,9=0,81$, значит число $0,9$ является корнем 2-й степени из числа $0,81$;
$1^2=1 \cdot 1=1$, значит число $1$ является корнем 2-й степени из числа $1$.
Заметим, что существуют числа, для которых невозможно найти действительное число, квадрат которого может быть равно этому числу.
Проще говоря, для любого числа $a
$a=b^2$ при отрицательном $a$ неверно, т.к. $a=b^2$ не может быть отрицательным при любом значении $b$.
Можно сделать вывод, что для действительных чисел не может существовать корень 2-й степени из отрицательного числа.
Т.к. $0^2=0 \cdot 0=0$, то из определения следует, что нуль – корень 2-й степени из нуля.
Арифметическим корнем 2-й степени из числа $a$ ($a \ge 0$) является неотрицательное число, которое при возведении в квадрат будет равно $a$.
Корни 2-й степени еще называются квадратными корнями.
Обозначают арифметический корень 2-й степени из числа $a$ как $\sqrt{a}$ или можно встретить обозначение $\sqrt[2]{a}$. Но чаще всего для квадратного корня число $2$ – показатель корня – не указывается. Знак «$\sqrt{ }$» – знак арифметического корня 2-й степени, который еще называют «знак радикала». Понятия «корень» и «радикал» – это названия одного и того же объекта.
Если под знаком арифметического корня стоит число, то его называют подкоренным числом, а если выражение, то – подкоренным выражением.
Читается запись $\sqrt{8}$ как «арифметический корень 2-й степени из восьми», причем слово «арифметический» зачастую не называют.
Согласно определению арифметического корня 2-й степени можно записать:
Для любого $a \ge 0$:
$(\sqrt{a})^2=a$,
$\sqrt{a} \ge 0$.
Мы показали разницу между корнем второй степени и арифметическим корнем второй степени. Далее будем рассматривать только корни из неотрицательных чисел и выражений, т.е. только арифметические.
Арифметический корень третьей степени
Арифметическим корнем 3-й степени (или кубическим корнем) из числа $a$ ($a \ge 0$) называют неотрицательное число, которое при возведении в куб станет равным $a$.
Часто слово арифметический опускают и говорят «корень 3-й степени из числа $а$».
Обозначают арифметический корень 3-й степени из $а$ как $\sqrt[3]{a}$, знак «$\sqrt[3]{ }$» – знак арифметического корня 3-й степени, а число $3$ в этой записи называется показателем корня. Число или выражение, которое стоит под знаком корня, называют подкоренным.
$\sqrt[3]{3,5}$ – арифметический корень 3-й степени из $3,5$ или кубический корень из $3,5$;
$\sqrt[3]{x+5}$ – арифметический корень 3-й степени из $x+5$ или кубический корень из $x+5$.
Арифметический корень n-ной степени
Арифметическим корнем n-й степени из числа $a \ge 0$ называют неотрицательное число, которое при возведении в $n$-ную степень станет равным $a$.
Обозначение арифметического корня степени $n$ из $a \ge 0$:
$\sqrt[n]{a}$,
где $a$ – подкоренное число или выражение,
$n$ – показатель корня.
Теперь арифметический корень n-ной степени можно определить с помощью символов:
$(\sqrt[n]{a})^n=a$.
$\sqrt[7]{1,5}$ – арифметический корень седьмой степени из $1,5$, для которого $1,5$ – подкоренное число, а $7$ – показатель корня;
$\sqrt[6]{y^2+6}$ – арифметический корень шестой степени из $y^2+6$, для которого $y^2+6$ – подкоренное выражение, а $6$ – показатель корня.
По определению арифметического корня степени $n$ под корнем должно стоять неотрицательное число или выражение. Из равенства $(\sqrt[n]{a})^n=a$ следует, что если умножить обе его части на $(–1)$, то мы получим равносильное равенство:
$–(\sqrt[n]{a})^n=–a$.
Рассмотрим пример:
$-125=-5 \cdot 5 \cdot 5=-5^3=(-5)^3$.
Следовательно, для нечетных показателей арифметического корня можно записать:
$\sqrt[n]{-a}=-\sqrt[n]{a}$ при нечетном значении $а$.
Для четных показателей корня данное свойство не применимо, поэтому выражение $\sqrt[6]{-1}$ не имеет смысла.
