Арифметический корень второй степени
Корнем второй степени (или квадратным корнем) из числа a называют такое число, которое при возведении в квадрат станет равным a.
72=7⋅7=49, значит число 7 является корнем 2-й степени из числа 49;
0,92=0,9⋅0,9=0,81, значит число 0,9 является корнем 2-й степени из числа 0,81;
12=1⋅1=1, значит число 1 является корнем 2-й степени из числа 1.
Заметим, что существуют числа, для которых невозможно найти действительное число, квадрат которого может быть равно этому числу.
Проще говоря, для любого числа $a
a=b2 при отрицательном a неверно, т.к. a=b2 не может быть отрицательным при любом значении b.
Можно сделать вывод, что для действительных чисел не может существовать корень 2-й степени из отрицательного числа.
Т.к. 02=0⋅0=0, то из определения следует, что нуль – корень 2-й степени из нуля.
Арифметическим корнем 2-й степени из числа a (a≥0) является неотрицательное число, которое при возведении в квадрат будет равно a.
Корни 2-й степени еще называются квадратными корнями.
Обозначают арифметический корень 2-й степени из числа a как √a или можно встретить обозначение 2√a. Но чаще всего для квадратного корня число 2 – показатель корня – не указывается. Знак «√» – знак арифметического корня 2-й степени, который еще называют «знак радикала». Понятия «корень» и «радикал» – это названия одного и того же объекта.
Если под знаком арифметического корня стоит число, то его называют подкоренным числом, а если выражение, то – подкоренным выражением.
Читается запись √8 как «арифметический корень 2-й степени из восьми», причем слово «арифметический» зачастую не называют.
Согласно определению арифметического корня 2-й степени можно записать:
Для любого a≥0:
(√a)2=a,
√a≥0.
Мы показали разницу между корнем второй степени и арифметическим корнем второй степени. Далее будем рассматривать только корни из неотрицательных чисел и выражений, т.е. только арифметические.
Арифметический корень третьей степени
Арифметическим корнем 3-й степени (или кубическим корнем) из числа a (a≥0) называют неотрицательное число, которое при возведении в куб станет равным a.
Часто слово арифметический опускают и говорят «корень 3-й степени из числа а».
Обозначают арифметический корень 3-й степени из а как 3√a, знак «3√» – знак арифметического корня 3-й степени, а число 3 в этой записи называется показателем корня. Число или выражение, которое стоит под знаком корня, называют подкоренным.
3√3,5 – арифметический корень 3-й степени из 3,5 или кубический корень из 3,5;
3√x+5 – арифметический корень 3-й степени из x+5 или кубический корень из x+5.
Арифметический корень n-ной степени
Арифметическим корнем n-й степени из числа a≥0 называют неотрицательное число, которое при возведении в n-ную степень станет равным a.
Обозначение арифметического корня степени n из a≥0:
n√a,
где a – подкоренное число или выражение,
n – показатель корня.
Теперь арифметический корень n-ной степени можно определить с помощью символов:
(n√a)n=a.
7√1,5 – арифметический корень седьмой степени из 1,5, для которого 1,5 – подкоренное число, а 7 – показатель корня;
6√y2+6 – арифметический корень шестой степени из y2+6, для которого y2+6 – подкоренное выражение, а 6 – показатель корня.
По определению арифметического корня степени n под корнем должно стоять неотрицательное число или выражение. Из равенства (n√a)n=a следует, что если умножить обе его части на (–1), то мы получим равносильное равенство:
–(n√a)n=–a.
Рассмотрим пример:
−125=−5⋅5⋅5=−53=(−5)3.
Следовательно, для нечетных показателей арифметического корня можно записать:
n√−a=−n√a при нечетном значении а.
Для четных показателей корня данное свойство не применимо, поэтому выражение 6√−1 не имеет смысла.
