Аксиоматический метод в математике
Аксиоматический метод в математике относится к методам познания теоретического знания, позволяет строить различные научные теории, основываясь на формальных правилах, систематизировать полученные понятия, определять их взаимосвязи.
Аксиома – это утверждение, не требующее доказательств, основа для доказательства других утверждений.
Аксиоматический метод – это способ построения, изучения научных теорий, опирающийся на использование некоторых утверждений, на основе которых с помощью логических цепочек выводятся новые утверждения. В математике он часто приводит к отказу от интуитивных решений, геометрических представлений, индукционных предположений.
Краткий экскурс в историю
Одним из первых применений метода была стройная система геометрии, описанная Евклидом в «Началах» приблизительно за 300 лет до н.э., по которой обучалось математике не одно поколение людей.
Первые постулаты являлись базовыми, очевидными. На них были основаны многие доказательства дальнейших рассуждений.
Спорным казался лишь пятый постулат о единственности прямой, проходящей параллельно другой прямой через заданную точку. Ученые несколько веков стремились доказать или опровергнуть его. Однако все попытки были неудачными.
К середине XIX века под аксиомами начали понимать совокупность утверждений, считаемых базовыми, не требующими доказательств. Очевидность как определяющая составляющая самого понятия практически исчезла вместе с признанием факта единственности математического взгляда на окружающий мир. Как следствие, была осознана недоказуемость пятого постулата Евклида. Так Н. И. Лобачевский, идя от противного в его доказательстве, выстроил особую систему утверждений-следствий, получив совершенно новую модель восприятия мира и геометрии.
Десятилетия спустя, другими учеными (Бельтрами, Клейном, Пуанкаре) была доказана непротиворечивость геометрии Лобачевского. Они ввели ряд аксиом на основании первых постулатов Евклида, позволивших обеим теориям равноправно сосуществовать в мире математики.
В тридцатых годах XX века Д. Гильберт создал систему аксиом элементарной геометрии, введя понятие аксиоматического метода.
Предположение о распространении на другие разделы математики этого метода оказалось неверным, благодаря теореме Геделя о неполноте. Ученый доказал, что какая бы ни была система аксиом, всегда найдется утверждение, которое нельзя ни доказать, ни опровергнуть.
Суть метода
Система утверждений при использовании аксиоматического метода строится следующим образом.
- Вводятся базовые неопределяемые понятия.
- Все последующие понятия определяются через базовые или введенные ранее.
- Водятся базовые положения, не требующие доказательств, то есть выстраивается система аксиом.
- Все дальнейшие утверждения являются следствием базовых или выводятся из доказанных ранее теорем и предположений.
Использование метода в математике
При построении теории аксиоматическим методом в математике часто опускают словесные составляющие, заменяя их некоторым набором символов и правилами действия с ними. Такой формализованный подход полностью исключает логические или описательные подходы к проблеме, оставляя механическую работу с правилами, которую способен выполнить компьютер. В таком случае реализуется следующий порядок действий:
- Задается некоторый набор символов, называемый алфавитом.
- Вводятся операции и ряд правил их применения.
- Все дальнейшие объекты определяются посредством алфавита и введенных на втором зтапе правил.
Системы, построенные таким образом, называются исчислениями или формальными аксиоматическими теориями. С их помощью выстраиваются различные математические теории. Доказательства утверждений становятся формальным применением ряда правил, становятся более строгими и корректными.
На аксиоматическом методе развились отдельные направления математики, ставшие связующим звеном между математикой, логикой рассуждений и различными компьютерными технологиями. К одному из таких направлений относится дискретная математика.
Связь метода с другими науками
Благодаря формализации математики были построены теории, приведшие к созданию различных языков программирования и баз данных. Это дало толчок к развитию соответствующих направлений и других компьютерных технологий, позволило выявить взаимосвязи между объектами различного происхождения.
Строгие логические теории, построенные на аксиоматическом методе, переносятся с математики на другие науки, помогая их систематизировать и эффективно выстраивать, определяя связи между понятиями.
Формализация и систематизация теорий позволили применить язык математики к достаточно широкому кругу гуманитарных дисциплин.
В науках, в которых первоочередными являются эксперименты и наблюдения, аксиоматический метод помогает соотнести полученные данные между собой, провести их анализ, определить взаимосвязи.
Недостатки метода
Аксиоматический метод имеет некоторую ограниченность действия, поскольку не позволяет создавать гипотезы, использовать интуицию, геометрические интерпретации, индукционные предположения и другие наглядные подсказки рассуждений в доказательствах.
Каждая система, созданная на основе аксиоматического метода, должна быть разрешимой, полной и непротиворечивой. Однако по теореме Геделя совокупность всех условий невозможна.
