Определение
Часто неравенство первой степени также называют линейным неравенством.
Неравенство вида $ax+b $, $\le$ или $\ge$), где $a$ и $b$ – действительные числа и $a \ne 0$, называют неравенством первой степени с одним неизвестным x.
Также в школьных учебниках встречается другое определение:
Неравенство вида $ax $, $\le$ или $\ge$), где $x$ – неизвестное, $a$ и $b$ – любые числа, называются неравенством первой степени с одним неизвестным.
В последнем определении ничего не сказано о коэффициенте при неизвестном $x \ne 0$, т.е. считается, что и неравенство вида $0 \cdot x $, $\le$ или $\ge$) также является неравенством первой степени.
Условимся не отбрасывать вариант, когда $a=0$, поэтому будем использовать следующее определение:
Неравенство вида $ax+b $, $\le$ или $\ge$), где $a$ и $b$ – действительные числа, называется неравенством первой степени с одним неизвестным x.
Неравенства $7x+5,2
Как видим по примерам, неизвестным может быть не только переменная $х$.
Неравенства $3x
Решение неравенств
Основной способ решения неравенств $1$-й степени с одним неизвестным сводится к преобразованию данного неравенства к виду $x $, $\le$ или $\ge$), где некоторое число $c$ и является искомым решением.
Рассмотрим решение неравенств с помощью равносильных преобразований.
Алгоритм решения неравенств $1$-й степени с одним неизвестным $ax+b $, $\le$, $\ge$) при $a \ne 0$:
- Число $b$ нужно перенести в правую часть неравенства, изменив знак на противоположный, что позволит перейти к равносильному неравенству $ax $, $\le$, $\ge$).
- Разделить обе части равносильного неравенства на число $a$. В таком случае при положительном a знак неравенства сохранится, при отрицательном $a$ знак неравенства меняется на противоположный. В итоге получают неравенство, которое равносильно исходному неравенству первой степени.
Решить неравенство $4x-7 \ge 0$.
Решение.
Согласно алгоритму решения неравенств:
- Перенесем $–7$ в правую часть неравенства, изменив его знак на противоположный. Получим $4x \ge 7$.
- Выполнив деление обеих частей неравенства $4x \ge 7$ на положительное число $4$ (знак неравенства остается прежним), получим $4x:4 \ge 7:4$, т.е. $x \ge \frac{7}{4}$.
Ответ часто записывают в виде числового промежутка $[\frac{7}{4}, +\infty)$.
Краткая запись решения данного неравенства:
$4x-7 \ge 0$;
$4x \ge 7$;
$x \ge \frac{7}{4}$.
Ответ: $x \ge \frac{7}{4}$ или $[\frac{7}{4}, +\infty)$.
Решить неравенство $-3,8y
Решение.
Согласно алгоритму решения неравенств:
- Свободный член неравенства отсутствует в явном виде, а значит равен нулю, поэтому переносить его в правую часть неравенства не нужно.
- Выполнив деление обеих частей неравенства $-3,8y $»), получим $–3,8y:(-3,8) > 0:(-3,8)$, т.е. $y
Числовой промежуток $(-\infty; 0)$.
Краткая запись решения данного неравенства:
$-3,8y
$y
Ответ: $y
Решить неравенство $-6z+\frac{3}{8} > 0$.
Решение.
Согласно алгоритму решения неравенств:
- Перенесем $\frac{3}{8}$ в правую часть неравенства, изменив его знак на противоположный. Получим $-6z > -\frac{3}{8}$.
- Выполнив деление обеих частей неравенства $-6z > -\frac{3}{8}$ на отрицательное число $–6$ (знак неравенства останется прежним), получим $(-6z):(-6) > (-\frac{3}{8}):(-6)$, т.е. $z
Числовой промежуток $(-\infty; \frac{1}{16})$.
Краткая запись решения данного неравенства:
$-6z+\frac{3}{8} > 0$;
$-6z > -\frac{3}{8}$;
$z
$z
Ответ: $z
В случае a=0 алгоритм решения неравенствf 1-й степени с одним неизвестным $0 \cdot x+b $, $\le$, $\ge$):
Рассматривается числовое неравенство $b $, $\le$, $\ge$):
- если оно правильное, то решение неравенства – любое из действительных чисел;
- если оно неправильное, то неравенство не имеет решений.
Решить неравенство $0 \cdot z-11
Решение.
Рассмотрим неравенство $-11
Ответ: любое из действительных чисел или $(−\infty, +\infty)$.
