Семантические таблицы для квазиматричной логики

Применение семантических таблиц

Семантические таблицы включают два столбца:

• в левый столбец записывают формулы, соответствующие принятым за истинные высказываниям;
• в правый столбец записывают формулы, соответствующие принятым за ложные высказываниям.

Рассуждения ведутся методом «от противного». Так, если надо выяснить, следует ли формула В из множества формул А1, А2, … Аn, то в левый столбец записывают формулы А1, А2, … Аn, а в правый – формулу В. Если требуется установить общезначимость формулы D, то в правый столбец записывают эту формулу. Если нужно установить, противоречива ли формула, то эту формулу записывают в левый столбец таблицы.

Семантические таблицы не работают там, где необходимо проанализировать формулы, содержащие знаки эквивалентности и строгой дизъюнкции. Поэтому предварительно выражение, содержащее такие знаки, нужно преобразовать.

Для формул, составленных с помощью языка логики предикатов, и содержащих знаки отрицания, дизъюнкции (нестрогой), конъюнкции, материальной импликации, а также кванторы существования и общности, применяют следующие правила:

• ¬Л. Если в левом столбце таблицы (или подтаблицы) содержится формула ¬А, то в правый столбец той же таблицы (подтаблицы) записывают А;
• ¬И. Если в правом столбце записана формула ¬А, то в левый столбец записывают А;
• ˄Л. Если в левом столбце записана формула А˄В, в этом же столбце записывают формулы А и В;
• ˄И. Если в правом столбце записана формула А˄В, то в каждый из столбцов записывают две новые подтаблицы, альтернативные данному столбцу. В правом столбце в левую подтаблицу записывают А, а в правую – В;
• ˅Л. Если формула A∨B записана в левый столбец таблицы, то в каждом столбце образуют две новые альтернативные подтаблицы. В левой таблице левого столбца записывают А, а в правой – В;
• ˅И. Если формула A∨B записана в правый столбец таблицы, в тот же столбец записывают формулы А и В;
• ↃЛ. Если формула АↃВ записана в левый столбец, то в каждом столбце образуют две новые подтаблицы. В правую подтаблицу левого столбца записывают В, а в левую подтаблицу правого столбца – А;
• ↃИ. Если АↃВ записана в правый столбец, то в левый столбец записывают А, а в правый В;
• ∀Л. Если в левом столбце таблицы записана формула ∀αA(α), то в тот же столбец помещают формулу Α(β), где β – обозначение произвольной индивидной переменной или константы, Α(β) представляет собой результат корректной подстановки в А(α) β вместо α. Рекомендация: в качестве β следует брать индивидные константы, которые уже встречаются в подтаблице, или переменные, которые имеют свободные вхождения в какую-то формулу подтаблицы; при отсутствии таковых, можно ввести произвольную индивидную константу;
• ∀И. Если формула ∀αA(α) записана в правый столбец таблицы, в этот же столбец помещают формулу А(β), где под β понимается новая индивидная константа. Этот некоторая константа, которая не встречается еще ни в левом, ни в правом столбцах, а А(β) представляет собой результат корректной подстановки β вместо α в А(α);
• ∃Л. Если формула ∃αА(α) находится в левом столбце таблицы (подтаблицы), то в тот же столбец помещаем формулу А(β), где β – новая индивидная константа; А(β) – результат правильной подстановки индивидной константы β в А(α) вместо α.
• ∃И. Если формула ∃α A(α) находится в правом столбце таблицы (подтаблицы), то в тот же столбец помещаем формулу А(β), где β – произвольная индивидная переменная или константа, а А(β) – то же, что и в пояснении к правилу ∀Л. Рекомендация аналогична описанной при формулировке правила ∀Л.

Метод исследования рассуждений с помощью логики предикатов на основе семантических таблиц включает три шага:

• перевод посылки и заключения рассуждения на язык логики предикатов;
• построение семантической таблицы: в левый столбец записываются формулы, соответствующие посылкам, а в правый – формула, соответствующая заключению;
• применение правил редукции.

В силу неразрешимости логики предикатов может быть получен один из трех результатов:

• таблица замкнутая. Это значит, что рассуждение правильно (если анализу подвергалось отдельное высказывание, то оно логически истинно);
• все правила были применены, но получена незамкнутая таблица. Это значит, что рассуждение неправильное (высказывание не истинно);
• процесс построения таблицы бесконечен – в этой ситуации говорят о том, что задача не была решена.

Специфика семантических таблиц для квазиматричной логики

Таблицы истинности для квазиматричной логики имеют вид таблицы, где каждый элемент матрицы может принимать значение из определенного множества. Например, для трехзначной логики каждый элемент может принимать значения «истина», «ложь» или «неопределенность». Соответственно, семантические таблицы требуют большего (чем два) количества столбцов.

Для использования такой таблицы в логических операциях необходимо определить правила комбинации значений элементов. Например, для операции конъюнкции (логического "И") можно определить следующие правила:

• если хотя бы один элемент равен 0, то результат равен 0.
• если все элементы равны 1, то результат равен 1.
• если хотя бы один элемент равен 2, то результат равен 2.

Аналогично можно определить правила для других логических операций, таких как дизъюнкция (логическое "ИЛИ"), отрицание и т. д.

С помощью таких таблиц можно проводить логические рассуждения и строить нечеткие правила, что делает квазиматричную логику полезной в различных областях, связанных с нечеткой логикой и искусственным интеллектом.