Проблемы номинализма и платонизма в логике и семантике

Противостояние номинализма и платонизма

На протяжении истории развития логики и семантики сохраняет дискуссионность вопрос отношения к математическим объектам: существуют ли они в реальности и если да, то где. Сторонники платонизма считают, что математические объекты реально существуют. Как правило, при этом выделяют три критерия, которым должны удовлетворять объекты:

• критерий существования: объекты, изучаемые математикой, существуют;
• критерий независимости: объекты существуют сами по себе и не зависят от тех, кто занимается их изучением;
• критерий абстрактности: объекты не обладают местоположением в пространстве и не вовлекаются в причинно-следственные связи (число 2 нельзя положить на стол).

Одним из течений в рамках платонизма является структурализм, сторонники которого утверждают, что математика изучает не сами объекты, а структуры.

Противоположной платонистам позиции придерживаются сторонники антиреализма (номинализма).

Столкновение происходит во всех философских областях:

• онтологии (учении о бытии),
• эпистемологии (гносеологии) (учении о познании),
• семантике (по вопросам смысла математических теорий),
• практике,
• сфере здравого смысла (хотя данный аспект не все философы рассматривают всерьез).

Платонизм более силен в онтологической сфере, а номинализм – в эпистемологической. Некая теория может быть формализована путем выражения ее положений в формулах. При этом используются кванторы – «онтологическое обязательство». Онтологическое обязательство тесно связано с понятием истины, т.е. того, что не противоречит действительности.

Математические теории занимаются описанием абстрактных объектов. Но если такие объекты не существуют, то математику необходимо признать ложной. Встречается позиция, в соответствии с которой математика описывает не числа, а нечто иное, например, некие природные законы.

В сфере эпистемологии платонисты сталкиваются со сложностью объяснения знания. Чтобы было знание, требуется:

• наличие факта,
• наличие состояния сознания,
• наличие связи между этими двумя компонентами.

Платонистам трудно объяснить познавательные способности. Номиналистам, считающим, что все царство математики «выдумано», с этим проще.

В математической практике позиция платонизма представляется более обоснованной, поскольку математику невозможно устранить из физики. Наиболее популярный аргумент сводится к тому, что физические теории записаны на математическом языке, при этом физические теории проверяются опытным путем. Хотя в физике нет возможности проверить каждое из уравнений из каждой теории, в целом удачные теории должны согласовываться с эмпирическими результатами.

Математическая часть физических теорий ничем принципиально не уступает физической части. К примеру, люди – основываясь на правильности предсказаний – признают существование электронов. Значит, нет и принципиальных препятствий для того, чтобы признать и существование математических объектов, в частности, чисел. Аргументация строится на неустранимости математики из современной физики.

Номиналистами предпринимались попытки отрицания положений о неустранимости математики из физической теории (и вообще из естествознания). Так, Хартли Филдт на примере ньютоновской физики показал, что роль математики сводится исключительно к сокращению выводов, но можно ввести точки пространства-времени и без использования чисел. Впоследствии номиналисты пытались показать консервативность математики применительно к квантовой механике, но охватить все интерпретации не удалось.

Итак, с точки зрения номиналистов в реальности числа нужны только для того, чтобы «упрощать жизнь», а чистые математики в своих исследованиях полностью оторваны от действительности.

Номинализм и платонизм в семантике

Номинализм и платонизм являются двумя основными парадигмами в семантике. Номинализм предполагает, что слова имеют просто именную силу, а их значение определяется тем, как они используются в нашей культуре. Он считает, что слова и понятия могут иметь несколько различных значений, которые могут меняться в зависимости от ситуации. Платонизм же подразумевает, что слова имеют более высокое значение, чем просто именная сила, и что их значение определяется их природой, а смысл слов и понятий определяется их фундаментальной сущностью. Он утверждает, что слова и понятия имеют единственное, неизменное значение, которое не может быть изменено. Обе точки зрения имеют преимущества и недостатки, и они продолжают быть предметом споров и дискуссий в семантике.

Семантика исследует, что означает что. В этой сфере платонизм обладает преимуществом перед номинализмом. Рассмотрим два высказывания:

• «существует два простых числа, больших 75»;
• «существует два города, население которых больше населения Тулы».

Во втором высказывании речь идет о городах – реально существующих объектах. Первое же предложение говорит об объектах иного рода – о числах. Чтобы объяснить математическую истину в этом случае, необходимо признать, что математическая семантика ничем не отличается от семантики других объектов языка; в ней точно так же можно пользоваться обычным языком. Отрицая платонизм, приходится отдельно объяснять «истину» для математики (рассматривая математические суждения).

Номиналисты в области семантики предлагают следующее объяснение: математика занимается изучением не реальных, а «возможных» объектов. Тогда всю математику следует интерпретировать как множество модальных высказываний о возможностях чего-либо. Иными словами, математика сводится к утверждениям типа: «Если бы такие объекты, как числа, существовали, то 2 х 2 = 4». Но здесь сложно проследить разницу между «математическими объектами» и «возможными объектами», поскольку возможности тоже нематериальны.