Квазифункциональные отношения в логике
Проблема построения семантик возможных миров для систем квазиматричной логики – это сложности, возникающие при построении семантики возможных миров для любой из квазиматричных логик, делающие вопрос о принципиальном существовании таких семантик открытым.
Классическая наука преимущественно занималась исследованием причинно-следственных связей между явлениями. Речь идет о подчиняющихся принципу детерминизма явлениях: при определенных условиях конкретное явление вызывает определенное следствие. Такие отношения выражаются посредством функций.
Функция – это операция, применение которой к конкретному объекту из области определения приводит к получению определенного объекта из области значений.
В природе и обществе встречаются отношения иного типа, подчиняющиеся принципу квазидетерминизма: какое-то из нескольких явлений при каком-то из нескольких условий приводит к какому-то из нескольких следствий. Такие отношения выражаются с помощью квазифункций.
Квазифункцией называют операцию, применение которой к какому-либо объекту из подмножества области определения квазифункции приводит к получению какого-либо объекта из подмножества области значений квазифункции.
Подмножества области определения и области значений могут включать по одному объекту, поэтому функция – это частный случай квазифункции. Другой частный случай квазифункции – полная неопределенность, когда подмножества для выбора объектов совпадают соответственно с областью определения и значений.
Как функции, так и квазифункции бывают вероятностными, многозначными и т. д.
Говоря о применении квазифункциональности в логике, исходят из понимания логики как науки о мышлении. Мышление – это объект изучения ряда наук, каждая из которых концентрируется на отдельных его аспектах. Логика в качестве предмета рассматривает особые структуры мыслей и мыслительных процессов, называемые логическими формами или логическими структурами.
Начало квазифункциональных логических систем связывают с опубликованной в 1962 году статьей Н. Решера «Квазиистинностно-функциональные системы пропозициональной логики». В этой статье рассматривается определение материальной импликации в классической логике. По мнению автора:
- не вызывают сомнения два случая – когда оба аргумента материальной импликации истинны, а также когда антецедент истинный, а консеквент ложный;
- два других случая (ложность обоих аргументов или ложность антецедента с истинностью консеквента) требуют признания импликации неопределенной. Импликация может быть либо истинной, либо ложной; неопределенность не рассматривается как особое значение.
Решером была сформулирована логическая система Q, в которой логические связки кроме импликации (отрицание, дизъюнкция и конъюнкция) были определены классическим образом. Ученый отмечал возможность признания выделенным значением формул не только истину (как это делается обычно), но и неопределенность. В таком случае теоремами должны признаваться только те формулы, которые принимают значение истины или неопределенности при любом выбранном наборе значений переменных. Такие формулы называют квазитавтологиями.
В 1969 году была построена логическая система, позже названная Smin. В ней алетические модальности, т. е. выражения «необходимо», «случайно» и «возможно», представлены в онтологическом и логическом аспектах. Логические термины классической логики в ней определяются обычным образом. При значении t (истина) формулы A формула □A принимает либо значение t, либо значении f (ложь), а при значении f формулы A формула □A принимает значение f (□ – знак необходимости). Формула ◊A при значении t формулы A имеет значение t, а при значении f формулы A – либо значение t, либо значение f. В 1973 году были введены характеристики:
- «истинно и необходимо»,
- «истинно и случайно»,
- «ложно и невозможно»,
- «ложно и случайно».
Квазифункциональность заключается, в частности, в следующем: если высказывание истинно, то выражаемая им ситуация необходима или случайна (онтологически или логически), если же оно ложно, то ситуация невозможна или случайна (тоже онтологически или логически).
Сложности определения возможных миров в контексте квазифункциональности
Проблема построения семантик возможных миров для систем квазиматричной логики заключается в том, что квазиматричные модели не являются стандартными моделями Крипке, которые используются для построения семантик возможных миров в других логических системах.
Традиционно, семантика возможных миров используется для интерпретации модальных логик, где модальные операторы (обычно обозначаемые как ◊ и □) используются для выражения модальных утверждений о возможности и необходимости. В системах квазиматричной логики такие операторы не используются, а вместо этого используются квазиматрицы для представления истинности высказываний.
Одной из проблем при построении семантик возможных миров для систем квазиматричной логики является неоднозначность интерпретации элементов таблицы. Так как каждый элемент может принимать несколько значений, то возникает вопрос, какие именно значения следует использовать при построении модели. Возможны различные подходы к решению этой проблемы. Один из них заключается в том, чтобы определить наиболее вероятные значения элементов таблицы на основе имеющихся данных.
Были предложены некоторые подходы к построению семантик возможных миров для систем квазиматричной логики:
- в одном из таких подходов, возможными мирами рассматриваются квазиматрицы, которые удовлетворяют определенным условиям, например, ограничениям на значения элементов матрицы;
- в другом подходе, возможными мирами рассматриваются сами элементы квазиматриц, а операции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания интерпретируются как операции на множествах элементов.
Однако все эти подходы требуют дополнительных исследований и разработок, и пока не существует универсального и общепринятого метода построения семантик возможных миров для систем квазиматричной логики.
