Парадоксы

Понятие парадокса в логике

В широком смысле парадоксы – это необычные, непривычные, резко отличающиеся от общепринятых мысли, суждения, явления. В языке парадоксы выражаются через высказывания, отрицающие кажущиеся очевидными истины. В этих высказываниях совмещаются несовместимые, соединяются несоединимые положения. Говоря иначе, парадоксальные высказывания нарушают закон непротиворечия.

Парадокс является противоречием, которое нельзя разрешить с позиции здравого смысла или на основе общепризнанных научных представлений. В человеческом мышлении формируется дилемма: один вопрос имеет два несовместимых ответа, оба из которых кажутся истинными. Но если признать истинность первого ответа, неизбежно складывается вывод, что его необходимо признать ложным. Аналогичная ситуация складывается и со вторым ответом. Человек заходит в тупик, не понимая, почему результатом вполне логичных рассуждений становится противоречие. В этот момент человек понимает, что такое логическое противоречие скрывает что-то, не подчиняющееся логическим законам, по которым строится мышление. Для того, чтобы раскрыть, что стоит за парадоксом, таких правил недостаточно.

Сила мыслительных парадоксов состоит в том, что они ставят задачу поиска пути разрешения возникающих трудностей. Это заставляет разрабатывать необходимые средства. После того, как такие средства удается найти, их включают в общую систему правил логики; однако на каком-то из следующих этапов развития и расширенная система логических правил сталкивается с подобными трудностями.

Классические парадоксы

К числу наиболее известных парадоксов, обнаруженных древнегреческими мыслителями, относятся:

• «Лжец»,
• «Куча»,
• «Лысый»,
• апория Зенона об Ахиллесе и черепахе,
• апория Зенона о летящей стреле.

Парадокс лжеца формулируется в вопросе: «Лжет ли человек, говорящий, что он лжет?». Предположим, что человек лжет, говоря: «Я лгу». Но в таком случае получается, что он сказал правду (честно предупредив, что лжет). Если предположить, что человек сказал правду, то высказывание «Я лгу» по смыслу не соответствует действительности, является ложью – т. е. предположение неверно. В обоих случаях возникает противоречие – невозможно одновременно лгать и говорить правду.

Парадокс «Куча» строится на индуктивном рассуждении:

• одно зернышко не образует кучу;
• если к совокупности, не являющейся кучей, добавить одно зернышко, образования кучи не произойдет.

Таким образом, добавляя по одному зернышку, никогда нельзя получить кучу – но ведь куча как явление существует, значит, как-то она должна быть получена.

Парадокс «Лысый» по сути является негативной формулировкой парадокса «Куча»: если убирать у человека по одному волоску, в какой момент можно считать, что он стал лысым? Здесь идет процесс удаления, а не добавления – но смысл парадокса похож.

Апория Зенона об Ахиллесе и черепахе состоит в следующем. Предположим, что Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем идет черепаха. В начальный момент времени он находится от черепахи за тысячу шагов. Пока Ахиллес пробежит эту тысячу шагов, черепаха пройдет сто шагов. За время, что Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха уйдет на десять шагов. Расстояние будет сокращаться, но Ахиллес никогда не сможет догнать черепаху.

Парной к этой апории является апория «Дихотомия»: для того, чтобы преодолеть путь, сначала нужно преодолеть его половину. Для преодоления этой половины сначала нужно преодолеть половину от нее. Такое деление может продолжаться до бесконечности – соответственно, движение не начнется никогда.

Апория о летящей стреле направлена против представления о непрерывной величине как сумме бесконечного числа неделимых частиц (моментов времени или точек пространства): «Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она занимает равное себе положение, то есть покоится; поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится во все моменты времени, то есть не существует момента времени, в котором стрела совершает движение».

В конце XIX века был сформулирован ряд парадоксов в теории множеств. Эти парадоксы оказали глубокое влияние на дальнейшие исследования классической логики и оснований математики.

Парадокс Рассела (парадокс брадобрея): большая часть множеств не входит в себя как элемент (например, множество всех фруктов само не является фруктом). Но существуют и другие множества, являющиеся частью самого себя (например, множество всех множеств). Итак, множества можно разделить на два вида: собственные множества (не являющиеся элементами себя) и несобственные множества (являющиеся элементами себя). Пусть А – множество всех собственных множеств. Если множество М является собственным, то оно должно входить в себя как элемент – т.е. быть несобственным. Если же множество М является несобственным, то оно не должно входить в себя, т.е. быть несобственным.

В интерпретации «парадокс брадобрея» парадокс Рассела формулируется следующим образом. В некотором городе живет единственный брадобрей, который бреет всех мужчин, которые не бреются самостоятельно. Может ли этот брадобрей брить самого себя? Предположим, что он не бреется. Тогда его профессиональный долг состоит в том, чтобы пробрить себя. Но если он побреется, то перестанет быть мужчиной, не бреющимся самостоятельно – соответственно, не должен входить в список клиентов брадобрея.

Происхождение парадоксов различно, но в большинстве случаев они так или иначе связаны с языковыми особенностями. В логике они сигнализируют об ограниченности используемых методов и средств, о необходимости совершенствования научного аппарата (возможно, самых его основ – аксиоматики логики).