Характеристика неклассических логик
Нормальные формы в неклассических логиках - это специальный вид логической формулы, в котором все операторы и переменные выражены в определенном стандартном виде (специфическом для данной конкретной логики).
В XX веке логика как наука получила бурное развитие, ознаменовавшееся появлением неклассических логик.
Неклассическими логиками называют широкую область логических исследований, которая выходит за пределы (или, напротив, сужает сферу исследования) классических логик высказываний и предикатов.
В основе неклассических логик лежит истолкование традиционных логических операций:
- конъюнкции,
- дизъюнкции,
- отрицания,
- импликации,
- кванторов,
отличающееся от классической интерпретации. Некоторые неклассические логики добавляют к перечню традиционных логических связок дополнительные – такие, например, как «возможно» и «необходимо».
Развитие неклассических логик началось в XX веке. Их предпосылки высказывались раньше, чем были сформированы систематические разработки по логике высказываний. Так, в 1908 году вышла статья Л. Брауэра, называющаяся: «О недостоверности логических принципов», критикующая классические законы:
- закон исключенного третьего;
- закон снятия двойного отрицания.
В 1910 году критике был подвергнут закон непротиворечия (одновременно и независимо в трудах польского логика А. Лукасевича и Н.А. Васильева), что предопределило появление паранепротиворечивой логики.
В 1912 году К.И. Льюис (американский логик) построил вместо теории классической (материальной) импликации новую теорию логического следования. Льюис стремился к избавлению от парадоксов материальной импликации. Результатом стала новая разновидность импликации – строгая импликация. Льюис полагал, что логическое следование находится в тесной связи с понятиями возможности и необходимости, поэтому он ввел соответствующие модальные операторы. Уже в 1918 году ему удалось сформулировать первую модальную систему, получившую название S3. Однако выяснилось, что у строгой импликации Льюиса не меньше парадоксов, чем у материальной, потому что она подчиняется следующим законам:
- истина может следовать из чего угодно
- изо лжи может следовать все, что угодно.
Лишь во второй половине XX века были предложены пути решения:
- в 1951 году – релевантная импликация, полученная в результате обнаружения ослабленной теоремы дедукции;
- в 1956 – логика следования Е;
- в 1960-е был сформулирован критерий релевантности, определивший бесконечный класс законов классической логики, которые неприемлемы для релевантных логик.
В 1920-х годах Лукасевич, опровергая философскую концепцию логического фатализма путем отбрасывания принципа бивалентности (двузначности), предложил трехзначную логику. В этой логике не действуют:
- закон исключенного третьего,
- закон непротиворечия,
- закон сокращения (A ⊃ (A ⊃ B)) ⊃ (A ⊃ B).
В 1929-1930 годах В. Гливенко и А. Гейтлинг реализовали идеи Брауэра, разработав интуиционистскую логику. Чуть раньше А.Н. Колмогоров продолжил критику классической логики, обратив внимание на отсутствие интуитивного основания у аксиомы A ⊃ (¬ A ⊃ B). Это легло в основу аксиоматизации импликативно-негативного фрагмента минимальной логики.
Таким образом, указанные выше неклассические логики появились в результате критики тех или иных законов классической (аристотелевской) логики, и в итоге напрашивался вывод, что логика не основывается ни на каких принципах или законах. Совершенно иной подход к построению неклассических логик продемонстрировал А. Н. Прайор, который в результате логического анализа и реконструкции «главенствующего аргумента» (kyrieyon) Диодора Крона впервые ввел в логику временные операторы и построил первые системы временной логики, причем в качестве основы берется вся классическая пропозициональная логика C2 и уже к ней добавляются аксиомы, определяющие вновь введенные операторы. Подобным образом строятся деонтические логики, эпистемические, императивные и многие другие, поскольку возможности изобретения все новых операторов, добавляемых к C2, неограниченны.
Таким образом, действуют два подхода к формированию неклассической логики:
- сужение классической логики путем отбрасывания некоторых законов;
- расширение классической логики путем добавления новых связок.
Специфика нормальных форм в неклассических логиках
Нормальные формы являются важным понятием в математической логике и информатике. Они используются для упрощения сложных формул и облегчения их понимания и манипулирования ими. В классической логике нормальные формы хорошо определены и широко изучены. Основными для классической логики высказываний являются:
- дизъюнктивная нормальная форма;
- конъюнктивная нормальная форма.
Однако в неклассических логиках ситуация сложнее. Существует множество различных типов неклассических логик, каждая из которых имеет свой собственный набор нормальных форм и правил преобразования формул. Одним из наиболее важных типов неклассических логик является модальная логика.
Модальная логика - это формальная система, которая имеет дело с понятиями необходимости и возможности.
В модальной логике нормальные формы используются для преобразования формул в стандартную форму, с которой легче рассуждать. Наиболее известной нормальной формой в модальной логике является нормальная форма Крипке, которая была введена Солом Крипке в 1960-х годах. Нормальная форма Крипке - это способ преобразования модальных формул в нормальную форму, которая эквивалентна исходной формуле. Эта нормальная форма полезна, поскольку она облегчает сравнение различных модальных формул и рассуждения о них.
Другим важным типом неклассической логики является нечеткая логика.
Нечеткая логика - это тип логики, в котором допускаются степени истинности, а не только истина или ложь.
В нечеткой логике нормальные формы используются для упрощения формул и облегчения рассуждений о них. Одна из наиболее известных нормальных форм в нечеткой логике - нормальная форма Сугено, которая была введена Т. Сугено в 1970-х годах.
