Модальная логика

История модальной логики

Обычно в качестве стандартных рассматривают модальности:

• возможно,
• необходимо.

В современной логике модальными операторами считают большинство операторов, служащих для учета степени истинности утверждаемого. При этом на основании их специфики в рамках модальной логики выделяют подразделы, в частности:

• временную логику (операторы «всегда было», «всегда будет», «когда-то было», «когда-то будет»);
• логику знаний («агент n знает»);
• динамическую логику («после выполнения программы n»);
• логику доказуемости («в данной теории доказуемо») и другие.

Эти специфические разделы используют схожие методы и идеи, изначально разработанные для классических модальных операторов «возможно» и «необходимо», что позволяет расширить предметное поле изучения. В то же время у этих разделов имеется большое количество разнообразных приложений в конкретных областях, например, в:

• основах математики,
• лингвистике,
• философии,
• теоретических основах информатики и т. д.

Аристотелю принадлежит заслуга формулировки первых правил обращения с модальными операторами. Мыслитель ввел в обращение не только ассерторические силлогизмы, но и модальные силлогизмы, отличающиеся тем, что по крайней мере одна посылка имеет вид «А возможно принадлежит В» или «А необходимо принадлежит В». При этом Аристотель не считал необходимое возможным. Исследователи неоднозначно оценивают модальную силлогистику Аристотеля. Сегодня она имеет лишь историческое значение.

Ученик Аристотеля Теофраст сделал следующий шаг в развитии модальной логики. Он предложил относить модальность не к отдельным понятиям, а к высказываниям целиком. Его достижением стало принятие тезиса, в соответствии с которым все необходимое возможно. Это позволило определить возможность через необходимость: «А возможно» эквивалентно «не необходимо не-А».

В Средние века модальности разделили на:

• модальности de re, относящиеся к свойству предмета;
• модальности de dicto, относящиеся к высказыванию целиком.

Аксиоматическую точность модальной логике придал К. И. Льюис в первой половине XX века. Он назвал свои разработки системами исчислений S1-S6. Модальные системы множественны, что объясняется различным пониманием классических модальностей в разных контекстах. Это значит, что существуют разные «возможно» и «необходимо», поэтому их нельзя описать одной системой. При формулировании модальной системы происходит фиксация одного из пониманий операторов.

Изначально у льюисовских модальных систем не было точной семантики; более того, они не были конечно-значными, т. е. не могли быть описаны таблицами истинности с конечным количеством истинностных значений. Во второй половине XX века удалось найти для модальных систем адекватные алгебраические семантики, позволившие решить многие связанные с такими системами задачи. Для большей части конкретных систем удалось доказать:

• финитную аппроксимируемость (иными словами, возможность представления в виде пересечения конечно-значных логик);
• разрешимость (существование алгоритма, выясняющего выводимость произвольной формулы в этой системе).

Практически для любой модальной системы существует адекватная алгебраическая семантика, но она может быть лишена содержательного смысла. Это значит, что невозможно уточнить вопрос о правильности выбора модальных аксиом и правил вывода.

Современное содержание модальной логики

Логическую теорию признают модальной при выполнении следующих условий:

• наличие минимум трех модальных операторов,
• представимость в виде надстройки над логикой ассерторических высказываний,
• несовместимость квалификаций, даваемых сильными модальностями, с квалификациями, даваемыми слабыми модальностями,
• невозможность заключения из простой ложности или истинности высказывания того, какую именно модальную характеристику должна иметь связь, устанавливаемая этим высказыванием,
• на основании квалификации высказывания с помощью слабого модального понятия нельзя делать выводы о его истинности или ложности,
• необходимость приписывания отрицанию высказывания, имеющего слабую модальную характеристику, такой же слабой модальной характеристики.

Формальная логика упрощается до цепочки: истинные знания – процесс – выводы. Здесь возникает проблема источника истинного знания, поскольку универсальных истин немного, а логика должна давать ответы на реальные жизненные ситуации. Модальная логика в расширенном понимании оперирует:

• знаниями,
• вопросами,
• предположениями,
• задачами.

Это делает ее более практичным и реальным расширением логики высказываний и логики первого порядка. Например, в модальной логике можно работать с утверждениями типа «Когда-то в прошлом Санкт-Петербург был столицей России» или «Москва всегда будет столицей России». В немодальном языке их выразить крайне сложно или невозможно.

Модальности бывают разных типов.

Высказывания, которые просто фиксируют наличие или отсутствие какой-либо ситуации, называют ассерторическими. Если высказывание кроме этого описывает характер такого утверждения, то есть содержит модальность, его называют модальным. Модальности можно расположить по силе в ряд: самой сильной модальностью является «необходимо»; более слабая модальность – отсутствие указанной модальности, то есть модальность ассерторического высказывания; самая слабая модальность — модальность «возможно». Модальность «Невозможно Б» определяется как «Необходимо, что неверно Б» (важно, что хотя в разговорном русском языке ее название выглядит похоже на отрицание возможности, в определении не фигурирует отрицание возможности — модальная логика вообще не требует задания модальности «возможно»).