Квазиматричная логика

Базовые понятия квазиматричной логики

Понятие квазиматричной логики базируется на понятии квазиматрицы.

В квазиматричной логике, квазиматрицы используются для представления истинности высказываний. Квазиматрицы могут иметь элементы из квази-поля и могут быть использованы для определения операций конъюнкции, дизъюнкции и отрицания. Также в квазиматричной логике используется понятие квази-истинности, которое обобщает понятие истинности в булевой логике. Квазиматричная логика находит применение в различных областях, таких как теория множеств, теория графов, теория категорий, теория вычислимости и другие. Она также используется для формализации различных логических систем и для создания новых логических систем. Квазиматричная логика также используется в искусственном интеллекте для описания нечетких правил и рассуждений.

Важным для понимания квазилогики является понятие квазифункции. Если под функцией понимают соответствие, в силу которого каждому объекту из одного множества (области определения) ставится в соответствие один и только один объект из другого множества, то под квазифункцией – соответствие, в силу которого объекты из одного подмножества какого-либо множества соотносятся с объектами из другого подмножества этого же или другого множества.

В общем случае объекты, к которым применяются квазифункции, не определены. Также не определены и значения квазифункций. Задаются только подобласти области определения квазифункции, в которых содержатся такие объекты, и подобласти области значений, в которых содержатся объекты-значения квазифункций.

Неопределенность может носить познавательный характер. Такая ситуация возникает, если соответствие объективно является функциональным, но исследователь не полностью его знает.

Например, в словарях указывается несколько вариантов перевода слова с одного языка на другой. При переводе конкретного выражения наиболее адекватно будет соответствовать переводимому слову только один из вариантов, но переводчик не всегда точно знает, какой именно. Подобные ситуации нередки и при автоматическом переводе.

Одна из причин неопределенности – неопределенность реальности как таковой.

Например, при планировании может возникнуть следующая ситуация неопределенности: предприятие может определить объем выпускаемой продукции. Но жесткой связи между объемом выпущенной и объемом реализованной продукции нет – существует множество влияющих на это факторов, в том числе случайных.

Квазифункции на примерах (без определений) были введены в научный оборот рядом ученых:

• Х. Райхенбахом,
• З. Заварским,
• Ф. Гонзесом,
• Н. Решером.

Основные квазиматричные логики

В квазиматричной логике Smin за основу принимается язык классической логики высказываний, содержащий:

• логические термины (отрицание и материальная импликация),
• скобки,
• пропозициональные переменные.

К этому языку добавляются модальные термины:

• необходимость,
• возможность.

При этом используется классическое определение формулы.

Квазиматрица логики имеет вид: ({и, л}, {и}, f1, f2, qf1, qf2), где:

• f1 – частный случай квазифункции – одноместная функция, определяющая отрицание;
• f2 – также частный случай квазифункции – двуместная функция, определяющая материальную импликацию;
• qf1, qf2 – квазифункции, которые определяют знаки возможности и необходимости.

На основе логики Smin могут быть построены трех- или четырехзначные квазиматричные логики, в которых интерпретация всех логических терминов (крове отрицания) осуществляется с помощью квазифункций. Для интерпретации отрицания используют функцию – частный случай квазифункции. Четырехзначные логики имеют четыре значения истинности.

Первое значение tn – «необходимая истина». Высказывание принимает такое значение, если положение дел, описываемое с его помощью, имеет место в действительности, причем является однозначно детерминированным.

Например, некоторые из генных аномалий неизбежно приводят к определенным заболеваниям: заболевание возникает, причем однозначно детерминированным образом.

Технический пример: если на завод прекращается подача электричества, электрические станки прекращают работать. Действительно, станки останавливаются, и это однозначным образом детерминировано отсутствием подачи электричества.

Второе значение tc – «случайная истина». Это значение приписывается высказыванию, если в действительности описываемое положение имеет место, но при этом не детерминировано однозначно.

Например, некоторые генетические аномалии могут привести к появлению симптомов заболевания, а могут оставаться скрытым. В рассматриваемом случае у человека имеются симптомы (поэтому высказывание о нем истинное, но эти симптомы могли и не проявиться).

Второй пример - зимой в средней полосе России бывают снегопады – но не каждый день. 17 декабря в Орле был снегопад, поэтому высказывание будет истинным, но день мог быть и без снегопада (нет однозначной детерминированности временем года и географическим положением точки).

Третье значение fn – «необходимая ложь» (высказывание ложно и не может быть истинным).

Например, химические вещества вступают в реакцию по определенным правилам с образованием конкретных продуктов (с учетом условий протекания реакции). Необходимо ложным будет высказывание, что в ходе реакции, которая протекает по схеме А+В=C+D (с соблюдением всех условий) был получен продукт F.

Четвертое значение fc – «случайная ложь» (высказывание ложно, т.е. положение не имеет места в действительности, но его отсутствие не детерминировано однозначно).

Например, подброшенная монета может упасть вверх «орлом» или «решкой». Высказывание о том, что выпал «орел» (когда на самом деле выпала «решка») будет случайной ложью.