Базовые понятия квазиматричной логики
Квазиматричная логика - это разновидность многозначной логики, в которой используются квазиматрицы вместо классических матриц истинности.
Понятие квазиматричной логики базируется на понятии квазиматрицы.
Квазиматрицы - это матрицы, в которых элементы могут принимать значения из некоторого квази-поля.
Квази-поля - это алгебраические структуры, которые обобщают понятие поля и позволяют рассматривать более широкий класс операций.
В квазиматричной логике, квазиматрицы используются для представления истинности высказываний. Квазиматрицы могут иметь элементы из квази-поля и могут быть использованы для определения операций конъюнкции, дизъюнкции и отрицания. Также в квазиматричной логике используется понятие квази-истинности, которое обобщает понятие истинности в булевой логике. Квазиматричная логика находит применение в различных областях, таких как теория множеств, теория графов, теория категорий, теория вычислимости и другие. Она также используется для формализации различных логических систем и для создания новых логических систем. Квазиматричная логика также используется в искусственном интеллекте для описания нечетких правил и рассуждений.
Важным для понимания квазилогики является понятие квазифункции. Если под функцией понимают соответствие, в силу которого каждому объекту из одного множества (области определения) ставится в соответствие один и только один объект из другого множества, то под квазифункцией – соответствие, в силу которого объекты из одного подмножества какого-либо множества соотносятся с объектами из другого подмножества этого же или другого множества.
В общем случае объекты, к которым применяются квазифункции, не определены. Также не определены и значения квазифункций. Задаются только подобласти области определения квазифункции, в которых содержатся такие объекты, и подобласти области значений, в которых содержатся объекты-значения квазифункций.
Неопределенность может носить познавательный характер. Такая ситуация возникает, если соответствие объективно является функциональным, но исследователь не полностью его знает.
Например, в словарях указывается несколько вариантов перевода слова с одного языка на другой. При переводе конкретного выражения наиболее адекватно будет соответствовать переводимому слову только один из вариантов, но переводчик не всегда точно знает, какой именно. Подобные ситуации нередки и при автоматическом переводе.
Одна из причин неопределенности – неопределенность реальности как таковой.
Например, при планировании может возникнуть следующая ситуация неопределенности: предприятие может определить объем выпускаемой продукции. Но жесткой связи между объемом выпущенной и объемом реализованной продукции нет – существует множество влияющих на это факторов, в том числе случайных.
Квазифункции на примерах (без определений) были введены в научный оборот рядом ученых:
- Х. Райхенбахом,
- З. Заварским,
- Ф. Гонзесом,
- Н. Решером.
Основные квазиматричные логики
В квазиматричной логике Smin за основу принимается язык классической логики высказываний, содержащий:
- логические термины (отрицание и материальная импликация),
- скобки,
- пропозициональные переменные.
К этому языку добавляются модальные термины:
- необходимость,
- возможность.
При этом используется классическое определение формулы.
Квазиматрица логики имеет вид: ({и, л}, {и}, f1, f2, qf1, qf2), где:
- f1 – частный случай квазифункции – одноместная функция, определяющая отрицание;
- f2 – также частный случай квазифункции – двуместная функция, определяющая материальную импликацию;
- qf1, qf2 – квазифункции, которые определяют знаки возможности и необходимости.
На основе логики Smin могут быть построены трех- или четырехзначные квазиматричные логики, в которых интерпретация всех логических терминов (крове отрицания) осуществляется с помощью квазифункций. Для интерпретации отрицания используют функцию – частный случай квазифункции. Четырехзначные логики имеют четыре значения истинности.
Первое значение tn – «необходимая истина». Высказывание принимает такое значение, если положение дел, описываемое с его помощью, имеет место в действительности, причем является однозначно детерминированным.
Например, некоторые из генных аномалий неизбежно приводят к определенным заболеваниям: заболевание возникает, причем однозначно детерминированным образом.
Технический пример: если на завод прекращается подача электричества, электрические станки прекращают работать. Действительно, станки останавливаются, и это однозначным образом детерминировано отсутствием подачи электричества.
Второе значение tc – «случайная истина». Это значение приписывается высказыванию, если в действительности описываемое положение имеет место, но при этом не детерминировано однозначно.
Например, некоторые генетические аномалии могут привести к появлению симптомов заболевания, а могут оставаться скрытым. В рассматриваемом случае у человека имеются симптомы (поэтому высказывание о нем истинное, но эти симптомы могли и не проявиться).
Второй пример - зимой в средней полосе России бывают снегопады – но не каждый день. 17 декабря в Орле был снегопад, поэтому высказывание будет истинным, но день мог быть и без снегопада (нет однозначной детерминированности временем года и географическим положением точки).
Третье значение fn – «необходимая ложь» (высказывание ложно и не может быть истинным).
Например, химические вещества вступают в реакцию по определенным правилам с образованием конкретных продуктов (с учетом условий протекания реакции). Необходимо ложным будет высказывание, что в ходе реакции, которая протекает по схеме А+В=C+D (с соблюдением всех условий) был получен продукт F.
Четвертое значение fc – «случайная ложь» (высказывание ложно, т.е. положение не имеет места в действительности, но его отсутствие не детерминировано однозначно).
Например, подброшенная монета может упасть вверх «орлом» или «решкой». Высказывание о том, что выпал «орел» (когда на самом деле выпала «решка») будет случайной ложью.
