Общая характеристика математической логики
Элементы математической логики – это ключевые положения раздела математики, изучающего:
- формальные системы,
- математические обозначения,
- природу математических доказательств,
- доказуемость математических суждений,
- вычислимость,
- другие аспекты основ математики.
Математическая логика в широком смысле представляет собой математизированную ветвь формальной логики – «логику по предмету, математику по методу».
Формальная логика является одной из древнейших наук, элементы которой были разработаны в VI веке до нашей эры в Древней Индии и Древней Греции. Признанным основателем формальной логики считают Аристотеля. Его заслуга состоит в обстоятельной систематизации логических форм и правил мышления, послужившей фундаментом логики как науки.
Логика, базирующаяся на аристотелевом учении, существовала вплоть до XX века. В XX веке произошла научная революция, результатом которой стало широкое применение методов математической (символической) логики. Предпосылки символической логики – идеи о том, что рассуждения можно свести к вычислениям – высказывались еще в XVII веке Г. В. Лейбницем. Но лишь в XX веке они получили достаточное развитие, чтобы сформировать самостоятельную дисциплину. Характерной особенностью этой дисциплины является применение формальных языков, обладающих четкой семантикой и точным синтаксисом, обеспечивающими однозначное понимание формул.
По сути, современная математическая логика не отличается от логики Аристотеля, просто вместо громоздких словесных выводов в ней используют математическую символику. Математическая логика занимается вопросами применения методов математики для решения логических задач, а также построения логических схем, лежащих в основе работы вычислительной техники.
В современной математической логике развиваются два раздела:
- логика высказываний (пропозициональная логика);
- логика предикатов.
Логика высказываний
Основополагающие понятия логики высказываний – это высказывания и операции над ними (логические связки).
Логические высказывания – это утвердительные предложения, для которых можно установить истинность.
Логическое высказывание не может быть одновременно истинным и ложным. При рассмотрении предложений с позиции логики высказываний анализируется не содержание и смысл, а только истинность и ложность. Иногда для понятия высказывания применяют термин «пропозиция»; «пропозициональный» - значит, относящийся к логике высказываний.
Логическими высказываниями не являются повелительные, вопросительные предложения, а также предложения, не имеющие смысла. Для истинных высказываний говорят, что значение их истинности равно 1, а для ложных – 0. Аналогично элементарной алгебре, в которой любое число является константой, в алгебре высказываний высказывания являются логическими константами (с величиной 1 или 0).
Простое высказывание (атомарное, элементарное) – это высказывание, рассматриваемое как неделимое целое.
Простые высказывания не содержат логических связок.
Составное (сложное) логическое высказывание – это высказывание, которое составлено из простых с использованием логических связок.
Основные логические связки (операции, проводимые над высказываниями):
- отрицание (инверсия, логическая связка «не»). Отрицание высказывания А – это такое высказывание, которое истинно для ложного А и ложно для истинного А. Эта логическая операция выполняется над одним аргументом;
- конъюнкция (логическое умножение, логическая связка «и»). Конъюнкция двух высказываний А и В – это логическое высказывание, истинное только при истинности обоих входящих в него высказываний (если хотя бы одно из них ложно, конъюнкция также ложна);
- дизъюнкция (логическое сложение, логическая связка «или»). Дизъюнкцией двух высказываний А и В называют логическое высказывание, ложное только при условии ложности обоих входящих в него высказываний (если хотя бы одно высказывание истинно, дизъюнкция также истинна);
- импликация (логическое следование). Импликация двух высказываний А и В – это высказывание, ложное только в том случае, если А истинно, а В ложно. В естественных языках импликации соответствует связка «если … то …». Соответственно, из истинного высказывания не может следовать ложное;
- эквиваленция (равнозначность). Эквиваленцией двух высказываний А и В называют высказывание, истинное только в случае совпадения истинностных значений высказываний А и В (оба истинны или оба ложны);
- неравнозначность (ислкючающее «или»). Неравнозначностью двух высказываний А и В называют высказывание, истинное только в случае несовпадения истинностных значений А и В (когда одно из них истинно, а второе ложно).
Логика предикатов
Расширением логики высказываний является логика предикатов, позволяющая проводить исследование структуры и содержания высказываний, считающихся элементарными в рамках алгебры высказываний. В частности, речь идет о высказываниях, касающихся свойств объектов или отношений между объектами. Логика предикатов позволяет утверждать, что некоторые (или любые) объекты обладают определенными свойствами или состоят в некоторых отношениях.
Одноместный предикат – это функция одной переменной, значениями которой являются высказывания об объектах, представляющих значения аргумента.
Таким образом, одноместный предикат представляет собой произвольную функцию переменной х, определенную на некотором множестве М и принимающую значения (логические) 0 и 1.
Предметная область (область определения) предиката – это множество, на котором определен предикат.
Предикат представляет собой утверждение об объекте х, причем х – это переменная. Если зафиксировать значение х, можно определить истинность утверждения: предикат, в который подставили конкретный изучаемый объект, превращается в высказывание. Бывают тождественно истинные и тождественно ложные предикаты, принимающие одинаковые значения с любым аргументом.
Наряду с одноместными предикатами, существуют n-местные. Это позволяет изучать не только свойства отдельного объекта, но и отношения между несколькими объектами.
