Задачи эконометрики

Лекция 1 02.09.2020 г. Эконометрика Кеткина Ольга Сергеевна контакты: [email protected] Гоголя 25, ауд. 226, кафедра эконометрики и статистики Консультации перед лекцией 15.45 – 16.00 Пересдачи (статистика), по предварительному согласованию: четверг 14.15 – 15.45 (можно рассмотреть др. варианты) 1я половина семестра лекции 2я половина семестра семинары (работа с данными в компьютерных классах, софт Eviews) Баллы за курс Лекции 60 Зачет 36 Домашняя работа (одна) 18 Работа на лекциях 6 Семинары 40 Контрольная (одна)* 16 Работа на семинарах 24 ИТОГО 100 *Контрольная проводится на предпоследнем занятии, ее можно переписать, например, на последнем занятии. Основная литература к курсу: (все можно найти в электронном виде) 1.Доугерти, К. Введение в эконометрику : учеб. для экон. специальностей вузов / К. Доугерти; пер. с англ. Е. Н. Лукаш [и др.]. – М. : ИНФРА-М, 2007. 2.Магнус, Я. Р. Эконометрика. Начальный курс : учеб. / Я. Р. Магнус, П. К. Катышев, А. А. Пересецкий. – 3-е изд., перераб. и доп. – М. : Дело, 2000. и более поздние издания 3. Вербик М. Путеводитель по современной эконометрике. М.: Научная книга, 2008. 4. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. М.:ЮНИТИ, 1998 и более поздние издания. Источники лекции: 1. Доугерти, К. Введение в эконометрику : учеб. для экон. специальностей вузов / К. Доугерти; пер. с англ. Е. Н. Лукаш [и др.]. – М. : ИНФРА-М, 1997. – 402 с. [ п. 2.6] 2. Магнус, Я. Р. Эконометрика. Начальный курс : учеб. / Я. Р. Магнус, П. К. Катышев, А. А. Пересецкий. – 3-е изд., перераб. и доп. – М. : Дело, 2000. – 400 с. [Гл. 1, частично Гл. 2 - стр. 38] 3. Практикум по эконометрике : учеб. пособие / И. И. Елисеева [и др.]; под ред. И. И. Елисеевой. – 2-е изд., перераб. и доп. – М. : Финансы и статистика, 2002 -192 с. [стр. 5] 4. Вводная лекция (ПОКРОВСКИЙ Д. А.), прилагаю. В этом файле есть ссылка на лекции К. Доугерти (LSE, 2010-2011), англ. http://econ.lse.ac.uk/courses/ec220/G/ieppt/series2/#review в них есть разбор/решение задач (Exercise). Предмет эконометрики Эконометрика – это наука, в которой на базе реальных статистических данных строятся, анализируются и совершенствуются математические модели реальных экономических явлений. В основе эконометрики лежат: - экономическая теория, - социально-экономическая статистика, - теория вероятностей и математическая статистика. Типы данных • Пространственные данные (данные изменяются по респондентам – фирмам, людям, странам и т.д.) (Примеры. Данные годового баланса (за 2019 г.) строительных фирм г. Екатеринбурга: прибыль, оборот, издержки. Опрос населения города N, проведенный в 1 квартале 2020 г.: уровень з/п, уровень образования, стаж работы, отрасль занятости. • Временные ряды (данные изменяются во времени – дни, месяцы, года и т.д.) (Примеры. Курс евро на каждый день (средний за день) за I-й квартал 2020 г. Значение ВВП (в млрд руб.) России за период 1999 – 2019 гг. • Панельные данные (данные изменяются и во времени и по респондентам); (Примеры. Ежегодные опросы населения за период 2000 – 2019 гг.: уровень дохода, размер трат на питание, мед. обслуживание, отдых, количество членов семьи (из них дети), место проживания (регион/город), занятость (работает полный день/частичная занятость/самозанятый/безработный /другое); Значения ВВП за период 1999 – 2019 гг. по странам Европы. Задачи эконометрики 1. 2. 3. 4. Построение эконометрических моделей в математической форме (задача спецификации). Оценка параметров полученной модели (задача параметризации). Проверка качества модели и ее параметров (задача верификации). Использование построенных моделей для объяснения поведения исследуемых экономических показателей, прогнозирования, проверки гипотез, а также для осмысленного проведения экономической политики (контроля, регулирования). ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ЭТАПОВ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКОГО ИССЛЕДОВАНИЯ (на примере экономической модели) Экономическая теория Экономическая модель Оценка параметров модели Проверка качества модели нет Модель адекватна ? да Использование модели на практике Статистические данные Иллюстрация вышеописанных шагов Пример 1. (1/6) *Утверждение: с возрастом рост увеличивается (верно для детей, т.е. для граждан до 18 лет). Установим эту закономерность для школьников (мальчиков в возрасте от 6 до 18 лет). *Построение соответствующей математической модели Математическая модель (теоретическая): yi = α + βxi , где i =1,…, n (n – количество школьников участвующих в опросе), β > 0, xi – возраст, yi – рост. *Построение соответствующей статистической (или эконометрической) модели (также уравнение называется регрессионным уравнением)**: yi = α + βxi + εi , где i = 1 ,…, n (1) здесь α – постоянная величина (или свободный член уравнения), β – коэффициент регрессии, определяющий наклон линии, εi – случайная величина/случайный член (ошибки) с помощью которого мы учитываем влияние на переменную yi всех неучтенных (явно) в модели факторов. ** Магнус , Я. Р. стр. 38. Иллюстрация вышеописанных шагов Пример 1. (2/6) *Сбор /Получение данных Собираем в течение нескольких дней/недели «выборку» из 200 учеников, xi – возраст, yi – рост (т.е. для каждого ученика (каждого i) у нас пара наблюдений – x (возраст, лет) / y (рост, см.)). xi 9 14 … 16 yi 107 120 … 144 Иллюстрация вышеописанных шагов Пример 1. (3/6) для исследуемой зависимости построено поле корреляции: (xi – возраст, yi – рост) 180 160 140 120 100 80 60 40 20 5 10 15 20 Иллюстрация вышеописанных шагов Пример 1. (4/6) (xi – возраст, yi – рост) 180 160 140 120 100 80 60 Линейная (Ряд1) 40 20 5 10 15 20 Иллюстрация вышеописанных шагов. Пример 1 (5/6) * Оценка параметров эконометрической модели Оценка параметров с помощью метода наименьших квадратов (МНК) ^ ^ ^ yi = 50,4+ 5,49 xi = α + βxi , где α^ и ^ β – оценки параметров модели (1) слайда (10), методом МНК. * ^ – обозначает оценку модели / оценку параметров модели; ** Верификация модели Проверка адекватности модели. В нашем случае оценка параметра β, как и ожидалось > 0, а именно ^β = 5,49 > 0. Интерпретация также логична (см. слайд 15). Т.е. можно заключить, что модель адекватна. ** Выбор другой модели или способа оценивания при отрицательном ответе (в нашем случае в этом нет необходимости, т.к. модель адекватна). Иллюстрация вышеописанных шагов. Пример 1. (6/6) * Использование модели для планирования, контроля (или регулирования). Зная численность и возраст детского населения (в нашем случае мальчиков**) мы можем планировать необходимые объемы пошива школьной формы (или др. одежды) для мальчиков. ** Эта информация доступна, например, из переписи населения. Интерпретация результатов. Пример 1 ^ ^ ^ yi = 50,4+ 5,49 xi = α + βxi , xi –возраст (лет) , yi – рост (см.). Общее правило (для парной регрессии): • Изменение xi на одну единицу (в единицах измерения xi) ведет к изменению yi в среднем на ^β единиц (в единицах измерения yi ). • Постоянная величина (или свободный член уравнения) ^α характеризует среднее значение зависимой переменной (yi) при нулевых значениях независимых (объясняющих) переменных (у нас пока одна объясняющая переменная – xi). Интерпретация ^α не всегда имеет смысл. Интерпретация нашего примера: ^β=5,49 1 ^α =50,4 •В среднем за 1 год мальчики подрастают на 5,49 см. •В среднем рост новорожденного мальчика составляет 50,4 см. Иллюстрация вышеописанных шагов (1/6) Пример 2. Макроэкономика * Утверждение экономической теории (подтверждение экономической теории) Кейнсианская теория потребления утверждает, что marginal propensity to consume (предельная склонность к потреблению) больше 0 и меньше 1. * Построение соответствующей математической модели Y = β1 + β2X , 0 < β2 < 1, X – доход, Y- расходы. Математическая модель: * Построение соответствующей статистической (или эконометрической) модели Y = β1 + β2X + ε, где ε – стохастическая составляющая (возмущение) / случайная величина / случайный член (ошибки). Иллюстрация вышеописанных шагов. Пример 2. (2/6) * Получение данных Данные (агрегированные, в целом по стране). Тип данных – временной ряд. Y – personal consumption expenditure (индивидуальные потребительские расходы – общие по стране), X – gross domestic product (GDP / ВВП – все, что произведено страной), Временной интервал 1982-1996, данные в млрд. долларов 1992 г. (т.е. все года сопоставимы) Year Y X 1982 3 081,5 4 620,3 1983 240,6 4 803,7 … 1996 4 714,1 6 928,4 Иллюстрация вышеописанных шагов. Пример 2 (3/6). для исследуемой зависимости построено поле корреляции. Y- расходы (млрд. долларов 1992 г.), Y = f(X), X - доходы (млрд. долларов 1992 г.) 5000 4500 4000 3500 3000 4000 4500 5000 5500 6000 6500 7000 7500 Иллюстрация вышеописанных шагов. Пример 2 (4/6) для исследуемой зависимости построена линия тренда. Y- расходы (млрд. долларов 1992 г.), Y = f(X), X - доходы (млрд. долларов 1992 г.) 5000 4500 4000 3500 3000 4000 4500 5000 5500 6000 6500 7000 7500 Иллюстрация вышеописанных шагов. Пример 2 (5/6). * Оценка параметров эконометрической модели. Оценка параметров с помощью метода наименьших квадратов (МНК) дает следующий результат: ^ Y = -184,08 + 0,7064 X * Верификация модели. Проверка адекватности модели. В нашем случае модель соответствует теории предельная склонность к потреблению (MPC = 0,7064) больше 0 и меньше 1. Т.е. модель признаем адекватной. * Выбор другой модели или способа оценивания при отрицательном ответе. (В нашем случае нет необходимости оценивать др. модель, наша модель адекватна). * Интерпретация модели: предельная склонность к потреблению MPC = 0,7064 (при росте дохода на 1 доллар расходы на потребление увеличиваются на 0,7064 доллара). Иллюстрация вышеописанных шагов. Пример 2 (6/6). * Использование модели для контроля (или регулирования) и/или для достижения политических целей. Предположим, что правительство верит, что потребительские расходы около 4900 млрд долларов позволят сохранить уровень безработицы на текущем уровне 4,2%. Помним, что в оцененной нами модели X – доход, Y- расходы. ^ Y = -184,08 + 0,7064 X Какой уровень дохода гарантирует достижение этой цели? (т.е. нужно определить Х который обеспечивает Y = 4 900 млрд долл.). 4900 = -184,08 + 0,7064 X => X = 7 197 млрд. долларов Т.е. необходимо достичь уровня ВВП = 7 197 млрд. долларов для сохранения безработицы на уровне 4,2%. Методы оценивания* • Метод наименьших квадратов (МНК) • Обобщенный метод наименьших квадратов (ОМНК) • Метод моментов (MM) • Метод максимального правдоподобия (MП) и др. *Первые два метода оценки мы рассмотрим в нашем курсе эконометрики. Представлены наиболее часто используемые методы. Классы моделей • Можно выделить три основных класса моделей, которые применяются для анализа и прогнозирования экономических систем (в экономике): (1) регрессионные модели с одним уравнением: (например, модель парной линейной регрессии) yi = α + βxi + εi , i =1,…, n i – изменяется «в пространстве», пространственные данные (см. слайд 7) – срез в один момент времени по группе людей, по предприятиям, или странам. здесь α - постоянная величина (или свободный член уравнения), β - коэффициент регрессии, определяющий наклон линии, вдоль которой рассеяны данные наблюдений, εi - случайная величина/случайный член (ошибки) с помощью которого мы учитываем влияние на переменную yi всех неучтенных явно факторов. 999 (или модель множественной линейной регрессии, много объясняющих переменных – x1i , x2i , x3i и т.д.): yi= α + β1x1i + β2x2i + β3x3i+ εi , i = 1,…, n Магнус , Я. Р. Гл.1. (2) модели временных рядов ● HWIt = γ0 + γ1Ut + εt HWIt – кол-во обратившихся за пособием по безработице в момент времени t (допустим даны значения за каждый месяц), Ut – уровень безработицы в момент времени t. ● yt = ω0 + ω1t + εt yt = доля работающего населения, t – время. t – переменные изменяются «во времени», т.е. по каждой переменной мы фиксируем значение на несколько дат. (3) системы одновременных уравнений например, равновесные цена товара (P) и объем продаж (Q) могут быть определены из следующей системы уравнений: Qtd = α0 + α1Pt +ε1t (α1 < 0 ) ф-ция предложения: QtS = β0 + β1Pt +ε2t условие равновесия: Qtd = QtS (β1 > 0) ф-ция спроса: Магнус , Я. Р. Гл.1. Примечание. Объясняющие переменные: Во всех вышеперечисленных моделях объясняющие переменные не обязательно линейные, м.б. квадратичными, ln и т.д., также могут быть фиктивными переменными). Пример. y= α + β1x1 + β2 x22 + β3 Lnx3 + β4 x43 + ε Типы переменных (1/3)* Все переменные любой эконометрической модели, в зависимости от конечных прикладных целей ее использования, принято делить на экзогенные, эндогенные и предопределенные. Переменные, которые входят в эконометрическую модель, но рассматриваются как определенные независимо от моделируемого явления, называют экзогенными. Иными словами, экзогенные переменные заданы как бы «извне», автономно. Их также называют независимыми переменными. *Более подродно рассмотрим экзогенные / эндогенные переменные когда будем изучать «Системы одновременных уравнений». Магнус , Я. Р. Гл.1. Типы переменных (2/3) Если переменные определяются только явлением, для которого строится модель, то они называются эндогенными. Стало быть, значения этих переменных формируются в процессе и внутри функционирования анализируемой социально-экономической системы, причем в существенной мере под воздействием экзогенных переменных (включенных в модель) и, конечно, во взаимодействии друг с другом. В эконометрической модели они являются предметом объяснения, и в этом смысле их иногда называют зависимыми (объясняемыми) переменными. Магнус , Я. Р. Гл.1. Типы переменных (3/3) Переменные, выступающие в системе в роли факторов аргументов, или объясняющих переменных называют предопределенными. Очевидно, множество предопределенных переменных формируется из всех экзогенных переменных (которые могут быть «привязаны» к прошлым, текущему или будущим моментам времени) и так называемых лаговых эндогенных переменных, т. е. таких эндогенных переменных, значения которых входят в уравнения анализируемой эконометрической системы и измерены в прошлые (по отношению к текущему) моменты времени, а, следовательно, являются уже известными, заданными. Магнус , Я. Р. Гл.1. Пример предопределенных переменных. Y – расходы Х – доходы Yt = α + β1Xt + β2Yt-1 + εt предопределенные переменные - Xt и Yt-1 экзогенная переменная - Xt лаговая эндогенная переменная - Yt-1 Парная регрессия - уравнение связи двух переменных, yi и xi, где yi – зависимая переменная (результативный признак), xi – независимая, объясняющая переменная (признак-фактор) записывается: yi = α + βxi + εi , i =1,…, n или так y = α + βx + ε (индекс i при записи можно опускать) ^β 1 ^α или так y = βx + ε (т.е. уравнение без константы, выходящее из начала координат «0», для экономических моделей это большая редкость): см. И. И. Елисеева, Практикум, стр. 5. 1 ^β Множественная линейная регрессия – уравнение связи зависимой переменной yi и нескольких объясняющих переменных x1i , x2i , x3i и т.д. где yi – зависимая переменная (результативный признак) x1i , x2i , x3i – независимые, объясняющие переменные (признак-фактор). Например, yi = α + β1x1i + β2x2i + β3x3i+ β4x4i + εi , i =1,…, n или так y = α + β1x1 + β2x2 + β3x3+ β4x4 + ε i (индекс при записи можно опускать) См. И. И. Елисеева, Практикум, стр. 5. Линейные и нелинейные регрессии (1/3) Линейные регрессии: y= α + β1x1 + β2x2 + β3x3+ β4x4 + ε здесь α , β1, … , β4 параметры регрессии; x1 , x2 , x3 , x4 – объясняющие переменные (факторы, регрессоры); εi - случайная величина/случайный член (ошибки). Параметры и объясняющие переменные включены в модель в степени «1», т.е. не содержат никаких множителей, степеней и пр. (таких как например, β1*α , x1/x2, xi1/2 , 1/x3, β2/α, x3*x4 , lnx4 и т.д. Замечание: В случае парной регрессии проверить модель на линейность можно просто взяв производную dy/dx. Если производная = const, то модель линейная. Например, Проверим, линейна ли парная модель регрессии вида: yi = α + βxi2 + εi Производная по xi равна 2xi , не константа => модель не является линейной (нелинейная относительно объясняющих переменных, тип 1 – см. слайд 36). И. И. Елисеева, Практикум, стр. 5. Линейные и нелинейные регрессии (2/3) • Нелинейные регрессии бывают двух видов: 1)регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам 2)регрессии нелинейные по оцениваемым параметрам Линейные и нелинейные регрессии (3/3) Нелинейные регрессии (двух типов): 1) регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам (a) Полиномы разных степеней y = α + β1x1 + β2 x22 + β3 x33 + β4 x4 + ε (b) Равносторонняя гипербола y = α + β1 (1/x1)+ ε 2) регрессии нелинейные по оцениваемым параметрам (a) Степенная ф-ция : y = α xβ ε (b) Показательная ф-ция: y = α βxε (с) Экспоненциальная ф-ция: y = e α+βx ε И. И. Елисеева, Практикум, стр. 5. Основные темы курса Парная регрессия. Множественная регрессия. Интерпретация результатов построения эконометрических уравнений. Метод наименьших квадратов. Мультиколлинеарность. Фиктивные переменные. Нелинейные модели. Проблемы спецификации уравнения регрессии. Гетероскедастичность. Инструментальные переменные. Модели бинарного выбора. Вопрос 1: При идентификации модели множественной регрессии yi= α + β1X1i + β2X2i + β3X3i+ β4X4i + β5X 5i + εi , i=1,…,n количество оцениваемых параметров равно … Ответ: При оценке модели множественной регрессии рассчитываются следующие параметры: свободный член α и пять параметров при независимых переменных х (т.е. β1, β2, … ,β5 ). Итого, 6 параметров. Вопрос 2: Выбор вида экономической модели на основании соответствующей теории связи между переменными называется ________________ модели. a. построением b. классификацией c. спецификацией d. систематизацией Ответ: cпецификацией модели. (Эконометрика: учеб./И.И.Елисеева [и др.], под ред.И.И.Елисеевой.-2-е изд., перераб. и доп.-М.: Финансы и статистика, 2005.-с.43-47.) Вопрос 3*: Из предложенных эконометрических моделей моделью множественной линейной регрессии по оцениваемым параметрам является … a. yi= α +1/( β1X1i + β2X2i + β3X3i+ β4X4i + β5X 5i )+ εi , b. yi= α + βZi + εi , c. yi= α1 + α2 W2i + α3 W3i + εi , d. yi= α + β1X1i + β2 lnX2i + β3X3i+ β4X4i + β5X 5i + εi , Ответ: Модель (а) не является линейной регрессией по оцениваемым параметрам; Модель (b) является парной, а не множественной моделью; => Множественной линейной регрессией по оцениваемым параметрам являются модели (c) и (d). Вопрос 4: В модели yi= α1 + α2 W2i + α3 W3i + εi , значение параметра α1 характеризует … (a) влияние случайных факторов на зависимую переменную модели yi (b) среднее значение независимой переменной при нулевых значениях зависимых переменных (c) среднее изменение зависимой переменной модели yi при изменении независимых переменных на единицу (d) среднее значение зависимой переменной при нулевых значениях независимых (объясняющих) переменных Ответ: (d) среднее значение зависимой переменной при нулевых значениях независимых (объясняющих) переменных (слайд 11 или Елисеева И.И. 2009 г.) Вопрос 5: Исследуется регрессионная модель yi= α + β1X1i + β2X2i + εi , Коэффициентом регрессии в данном уравнении является … · · · · β2 X1i εi α Ответ: β2 (слайд 5 или 19, Елисеева, 2005.-с.120.) Вопрос 7: Уравнением, нелинейным по параметрам, является регрессионная модель вида … (a) yi = α + β1 x1i1/2 + εi (b) yi= (α -1)(β + Xi )+ εi (c) yi = α + β1 x1i +β2 Lnx2i + εi (d) yi = α + β1 x1i *x2i + εi Ответ: нелинейной по параметрам (α, β, и т.д. ) является регрессионная модель (b), остальные модели нелинейные по объясняющим переменным. (Елисеева,2005.-с.51-55) Вопрос 8: Уравнением, линейным по параметрам, но нелинейным по переменным, является регрессионная модель вида … (a) yi= α + β1X1i + β2X2i + β3X3i+ β4X4i + β5X 5i + εi (b) yi = α βxi εi (c) yi= α + β1X1i + β2x2i2 + β3X3i+ β4X4i + β5X 5i + εi (d) yi = α Xiβ εi Ответ: Модель (a) является линейной и по параметрам и по переменным, модели (b) и (d) по параметрам нелинейные. В модели (c) все параметры со степенью «1» (т.е. по параметра она линейная), а вот среди переменных есть одна, что входит в модель со степенью не равной «1» - (x2i2) = > модель (c) линейна по параметрам, но нелинейная по переменным. (Елисеева,2005.-с.246-283). Вопрос 10: Уравнение парной регрессии имеет вид : y = 2- 4x Тогда коэффициент регрессии равен… Ответ: - 4 (минус 4!) Вопрос 11: Уравнение парной регрессии yi от xi имеет вид : ^ yi = 50,4+ 5,49 xi, xi –возраст (лет) , yi – рост (см., рост мальчиков до 18 лет). Предположим, что правительство планирует объем производства школьной формы для мальчиков в возрасте 14 лет. Каков должен быть размер (рост) для данной формы? Ответ: за 14 лет с момента рождения каждый мальчик в среднем подрастет на 5,49*14 = 76,86 см. Учитывая, что при рождении рост мальчика в среднем составляет 50,4 см., при пошиве формы для 14-летних мальчиков нужно ориентироваться на рост 76,86 + 50,4 = 127,26 см. или так ^ yi = 50,4+ 5,49 *14 = 127,26 Вопрос 12: Уравнение парной регрессии yi от xi имеет вид : ^ yi = -184,08+ 0,706 xi, xi – потребительские доходы (млрд. долл.) , yi – потребительские расходы (млрд. долл.); агрегированные/суммарные переменные по стране. Данные за 1982-1996, 1992 г. – базовый. (1) Предположим мы прогнозируем ситуацию на 1998 г. находясь в 1997. Пусть ожидаемый уровень потребительских доходов в 1998 году составит 6 029 млрд. долл.. Каков будет уровень потребительских расходов в 1998 г.? (2) На сколько (больше/меньше, чем существующий прогноз = 6 029 млрд. долл.) должен быть уровень потребительских доходов в 1998 г. чтобы обеспечить уровень потреб. расходов на уровне 5 200 млрд. долл.? Ответ: (1) В соответствие с оцененной регрессией ожидаемый уровень потребительских расходов в 1998 г. = ^ y1998 =-184,08+0,706*6029 = 4 072,394 млрд. долл.. (2) 5 200 = -184,08+0,706* xi => xi =7626,176, т.е. уровень потребительских расходов в 1998 г. должен быть на (7626,176-6029)=1597,176 млрд. долл. больше, чем текущее ожидаемое значение =6 029 млрд. долл.