Введение в моделирование объектов, процессов и явлений

13. Лекция: Введение в моделирование объектов, процессов и явлений Рассматриваются основные понятия моделирования (особенно, математического и компьютерного), типы и свойства моделей, жизненный цикл моделирования. Модель и моделирование – это универсальные понятия, атрибуты одного из наиболее мощных методов познания в любой профессиональной области, познания объекта, процесса, явления (через модели и моделирование). Модели и моделирование объединяют специалистов различных областей, работающих над решением межпредметных проблем, независимо от того, где эта модель и результаты моделирования будут применены. Модель – это некоторое представление или описание оригинала (объекта, процесса, явления), которое при определенных предложениях, гипотезах о поведении оригинала позволяет замещать оригинал для его лучшего изучения, исследования, описания его свойств. Пример. Рассматривая физическое тело, брошенное с высоты h и падающее свободно в течение t времени, можно записать соотношение: h = gt2/2 . Это физико-математическая модель системы (математическая модель физической системы) пути при свободном падении тела. При построении этой модели приняты следующие гипотезы: 1) падение происходит в вакууме (то есть коэффициент сопротивления воздуха равен нулю); 2) ветра нет; 3) масса тела неизменна; 4) тело движется с одинаковым постоянным ускорением g в любой точке. Слово "модель" (лат. modelium) означает "мера", "способ", "сходство с какой-то вещью". Проблема моделирования состоит из трех взаимосвязанных задач: построение новой (адаптация известной) модели; исследование модели (разработка метода исследования или адаптация, применение известного); использование (на практике или теоретически) модели. Схема построения модели М системы S с входными сигналами X и выходными сигналами Y изображена на рис. 13.1. увеличить изображение Рис. 13.1.  Схема построения модели Если на вход М поступают сигналы из X и на выходе появляются сигналы из Y, то задан закон, правило f функционирования модели, системы. Классификацию моделей проводят по различным критериям. Модель – статическая , если среди параметров описания модели нет (явно) временного параметра. Модель – динамическая , если среди параметров модели явно выделен временной параметр. Модель – дискретная , если описывает поведение оригинала лишь дискретно, например в дискретные моменты времени (для динамической модели). Модель – непрерывная , если описывает поведение оригинала на всем промежутке времени. Модель – детерминированная , если для каждой допустимой совокупности входных параметров она позволяет определять однозначно набор выходных параметров; в противном случае – модель недетерминированная, стохастическая (вероятностная) . Модель – функциональная , если представима системой функциональных соотношений (например, уравнений). Модель – теоретико-множественная , если представима некоторыми множествами и отношениями их и их элементов. Модель – логическая , если представима предикатами, логическими функциями и отношениями. Модель – информационно-логическая, если она представима информацией о составных элементах, подмоделях, а также логическими отношениями между ними. Модель – игровая , если она описывает, реализует некоторую игровую ситуацию между элементами (объектами и субъектами игры). Модель – алгоритмическая , если она описана некоторым алгоритмом или комплексом алгоритмов, определяющим ее функционирование, развитие. Введение такого, на первый взгляд, непривычного типа моделей (действительно, кажется, что любая модель может быть представлена алгоритмом ее исследования), на наш взгляд, вполне обосновано, так как не все модели могут быть исследованы или реализованы алгоритмически. Модель – графовая , если она представима графом (отношениями вершин и соединяющих их ребер) или графами и отношениями между ними. Модель – иерархическая (древовидная), если она представима иерахической структурой (деревом). Модель – языковая, лингвистическая , если она представлена некоторым лингвистическим объектом, формализованной языковой системой или структурой. Иногда такие модели называют вербальными, синтаксическими и т.п. Модель – визуальная, если она позволяет визуализировать отношения и связи моделируемой системы, особенно в динамике. Модель – натурная , если она есть материальная копия оригинала. Модель – геометрическая , если она представима геометрическими образами и отношениями между ними. Модель – имитационная, если она построена для испытания или изучения, проигрывания возможных путей развития и поведения объекта путем варьирования некоторых или всех параметров модели. Есть и другие типы моделей. Пример. Модель F = am – статическая модель движения тела по наклонной плоскости. Динамическая модель типа закона Ньютона: F(t) = a(t)m(t) или, еще более точно и лучше, F(t)=s''(t)m(t). Если рассматривать только t = 0.1, 0.2, …, 1 (с), то модель St = gt2/2 или числовая последовательность S0 = 0, S1 = 0.01g/2, S2 = 0.04g, …, S10 = g/2 может служить дискретной моделью движения свободно падающего тела. Модель S = gt2/2, 0 < t < 10 непрерывна на промежутке времени (0;10). Пусть модель экономической системы производства товаров двух видов 1 и 2, соответственно, в количестве x1 и x2 единиц и стоимостью каждой единицы товара a1 и a2 на предприятии описана в виде соотношения a1x1 + a2x2 = S , где S – общая стоимость произведенной предприятием всей продукции (вида 1 и 2). Можно ее использовать в качестве имитационной модели, определяя общую стоимость S в зависимости от тех или иных значений объемов производимых товаров. Приведенные выше физические модели – детерминированные. Если в модели S= gt2/2, 0 < t < 10 мы учтем случайный параметр – порыв ветра с силой p при падении тела, например, просто так: S(p) = g(p)t2/2, 0 < t < 10 , то мы получим стохастическую модель (уже не свободного!) падения. Это – также функциональная модель. Для множества X = {Николай, Петр, Николаев, Петров, Елена, Екатерина, Михаил, Татьяна} опишем отношения Y: "Николай – супруг Елены", "Екатерина – супруга Петра", "Татьяна – дочь Николая и Елены", "Михаил – сын Петра и Екатерины". Тогда множества X и Y могут служить теоретико-множественной моделью двух семей. Совокупность двух логических функций вида: может служить логической моделью одноразрядного сумматора компьютера. Пусть игрок 1 – добросовестный налоговый инспектор, а игрок 2 – недобросовестный налогоплательщик. Идет "игра" по уклонению от налогов (с одной стороны) и по выявлению сокрытия уплаты налогов (с другой стороны). Игроки выбирают натуральные числа i и j ( ), которые можно отождествить, соответственно, со штрафом игрока 2 за неуплату налогов при обнаружении факта неуплаты игроком 1 и с временной выгодой игрока 2 от сокрытия налогов. Каждый элемент этой матрицы A определяется по правилу aij = |i – j| . Модель игры описывается этой матрицей и стратегией уклонения и поимки. Алгоритмической моделью вычисления суммы бесконечного убывающего ряда чисел может служить алгоритм вычисления конечной суммы ряда до некоторой заданной степени точности. Правила правописания – языковая, структурная модель. Глобус – натурная географическая модель земного шара. Макет дома является натурной геометрической моделью строящегося дома. Вписанный в окружность многоугольник дает визуальную геометрическую модель окружности на экране компьютера. Тип модели зависит от связей и отношений его подсистем и элементов, окружения, а не от его физической природы. Пример. Математические описания (модели) динамики эпидемии инфекционной болезни, радиоактивного распада, усвоения второго иностранного языка, выпуска изделий производственного предприятия и т.д. являются одинаковыми с точки зрения их описания, хотя процессы различны. Основные свойства любой модели: • целенаправленность; • конечность; • упрощенность; • приблизительность; • адекватность; • информативность; • полнота; • замкнутость и др. Жизненный цикл моделируемой системы: • сбор информации; • проектирование; • построение; • исследование; • оценка; • модификация. Наука моделирования состоит в разделении процесса моделирования (системы, модели) на этапы (подсистемы, подмодели), детальном изучении каждого этапа, взаимоотношений, связей, отношений между ними и затем эффективного описания их с максимально возможной степенью формализации и адекватности. Приведем примеры применения математического, компьютерного моделирования в различных областях: • энергетика: управление ядерными реакторами, моделирование термоядерных процессов, прогнозирование энергетических процессов, управление энергоресурсами и т.д.; • экономика: моделирование, прогнозирование экономических и социально-экономических процессов, межбанковские расчеты, автоматизация работ и т.д.; • космонавтика: расчет траекторий и управления полетом космических аппаратов, моделирование конструкций летательных аппаратов, обработка спутниковой информации и т.д.; • медицина: моделирование, прогнозирование эпидемий, инфекционных процессов, управление процессом лечения, диагностика болезней и выработка оптимальных стратегий лечения и т.д.; • производство: управление техническими и технологическими процессами и системами, ресурсами (запасами), планирование, прогнозирование оптимальных процессов производства и т.д.; • экология: моделирование загрязнения экологических систем, прогноз причинно-следственных связей в экологической системе, откликов системы на те или иные воздействия экологических факторов и т.д.; • образование: моделирование междисциплинарных связей и систем, стратегий и тактик обучения и т.д.; • военное дело: моделирование и прогнозирование военных конфликтов, боевых ситуаций, управления войсками, обеспечение армий и т.д.; • политика: моделирование и прогнозирование политических ситуаций, поведения коалиций различного характера и т.д.; • социология, общественные науки: моделирование и прогнозирование поведения социологических групп и процессов, общественного поведения и влияния, принятие решений и т.д.; • СМИ: моделирование и прогнозирование эффекта от воздействия тех или иных сообщений на группы людей, социальные слои и др.; • туризм: моделирование и прогнозирование потока туристов, развития инфраструктуры туризма и др.; • проектирование: моделирование, проектирование различных систем, разработка оптимальных проектов, автоматизация управления процессом проектирования и т.д. Современное моделирование сложных процессов и явлений невозможно без компьютера, без компьютерного моделирования. Компьютерное моделирование – основа представления (актуализации) знаний как в компьютере, так и с помощью компьютера и с использованием любой информации, которую можно актуализировать с помощью ЭВМ. Разновидность компьютерного моделирования – вычислительный эксперимент, осуществляемый экспериментатором над исследуемой системой или процессом с помощью орудия эксперимента – компьютера, компьютерной технологии. Вычислительный эксперимент позволяет находить новые закономерности, проверять гипотезы, визуализировать события и т.д. Компьютерное моделирование от начала и до завершения проходит следующие этапы. 1. Постановка задачи. 2. Предмодельный анализ. 3. Анализ задачи. 4. Исследование модели. 5. Программирование, проектирование программы. 6. Тестирование и отладка. 7. Оценка моделирования. 8. Документирование. 9. Сопровождение. 10. Использование (применение) модели. Пример. Рассмотрим популяцию рыб, из которой в текущий момент времени изымается некоторое количество особей (идет лов рыбы). Динамика такой системы определяется моделью вида: xi + 1 = xi + аxi – kxi, х0 = c , где k – коэффициент вылова (скорость изъятия особей). Стоимость одной пойманной рыбы равна b руб. Цель моделирования — прогноз прибыли при заданной квоте вылова. Для этой модели можно проводить имитационные вычислительные эксперименты и далее модифицировать модель, например следующим образом. Эксперимент 1. Для заданных параметров a, c изменяя параметр k, определить его наибольшее значение, при котором популяция не вымирает. Эксперимент 2. Для заданных параметров c, k изменяя параметр a, определить его наибольшее значение, при котором популяция вымирает. Модификация 1. Учитываем естественную гибель популяции (за счет нехватки пищи, например) с коэффициентом смертности, равным, b: xi + 1 = xi + аxi – (k + b)xi, х0 = c . Модификация 2. Учитываем зависимость коэффициента k от x (например, k = dx):