Вариационные задачи с фиксированными границами (продолжение).

Тема: Вариационные задачи с фиксированными границами (продолжение) 3. Функционалы, зависящие от нескольких функций одной независимой переменной Рассмотрим задачу отыскания экстремума функционала, зависящего от нескольких функций одной переменной и их первых производных: . (3.) Экстремаль функционала должна удовлетворять в общем случае 2n граничным условиям: (3.) Данную вариационную задачу при можно интерпретировать геометрически. Обозначим функции через и . Тогда задача сводится к отысканию линии, проходящей через заданные две точки и , и доставляющей экстремум функционалу (3.1). Рассмотрим функционал вида , (3.3) где – дважды непрерывно дифференцируемая функция пяти переменных. В качестве области определения функционала рассмотрим функции и из класса , удовлетворяющие граничным условиям . (3.4) Для произвольных допустимых вариаций и из в силу (3.4) имеем . (3.5) Рассмотрим функцию . Очевидно, что если пара функций и доставляет экстремум функционалу , то функция двух переменных имеет экстремум в точке . Следовательно, должны выполняться необходимые условия экстремума . Используя формулу Лейбница дифференцирования определённого интеграла по параметру, при фиксированных и получим , . Эти соотношения выполняются, в том числе и для произвольных функций и с условиями (3.5) на границах. Согласно лемме Дюбуа-Реймона получаем следующие необходимые условия экстремума функционала (3.6) Любое гладкое решение системы уравнений (3.6) (системы уравнений Эйлера) называют экстремалями функционала (3.3). Полученные соотношения нетрудно обобщить и на случай функций. 4. Функционалы, зависящие от производных высших порядков Рассмотрим функционал (4.1) на множестве функций , удовлетворяющих граничным условиям (4.2) В этом случае допустимой вариацией является любая функция , удовлетворяющая однородным граничным условиям . Пусть функция доставляет экстремум функционалу . Выбрав произвольно допустимую вариацию и зафиксировав её, получим функцию . Эта функция при имеет экстремум, так как при . Но . Поэтому получим , (4.3) где частные производные функции вычисляются в точке . Используя интегрирование по частям и граничные условия, получаем: ; . Подставляем полученные соотношения в (4.3): . Поэтому согласно лемме Лагранжа окончательно имеем необходимое условие экстремума функционала . (4.4) Уравнение (4.4) называют уравнением Эйлера – Пуассона. В общем случае оно имеет вид . (4.5)