Вариационные задачи с фиксированными границами (продолжение).

Тема: Вариационные задачи с фиксированными границами (продолжение) 5. Достаточные условия экстремума функционала Необходимое условие экстремума функционала состоит в том, что первая вариация этого функционала обращается в нуль. Это обобщает необходимое условие экстремума функции многих (в том числе одной) переменных. Достаточное условие экстремума функции многих переменных базируется на поведении второго дифференциала функции в исследуемой точке. Аналогичная ситуация и в вариационном исчислении: вводится понятие второй вариации, достаточные условия экстремума строятся на поведении этой вариации вблизи исследуемой экстремали. Напомним, в вариационном исчислении различают сильный экстремум, при котором рассматриваются произвольные непрерывные функции, и слабый экстремум, который формируется в классе непрерывно дифференцируемых функций. Определение. Функционал от двух переменных называется билинейным, если он является линейным по каждому аргументу, т.е. для любых значений аргументов выполняются равенства , . Определение. Если в билинейном функционале положить , то получим функцию , которую называют квадратичным функционалом. Квадратичный функционал положительно (отрицательно) определён, если при любом и неотрицательно (неположительно) определён, если при любом . Определение. Функционал , определённый на некотором нормированном пространстве, дважды дифференцируем в точке , если его приращение представимо в виде , (5.1) где – квадратичный функционал по переменной , называемый второй вариацией функционала в точке , а при . Теорема 5.1 (необходимое условие экстремума второго порядка). Если функционал в точке дважды дифференцируем и имеет минимум (максимум), то в этой точке вторая вариация должна быть неотрицательно (неположительно) определена, т.е. при любом . Теорема 5.2 (достаточное условие минимума). Если у дважды дифференцируемого функционала , определённого в нормированном пространстве, первая вариация в точке равна нулю, а вторая вариация в этой точке сильно положительна, т.е. , где – положительное число, то функционал имеет в точке минимум. Обсудим приведённые результаты на примере простейшей задачи вариационного исчисления. Вычислим вторую вариацию функционала . Здесь . Функция является дважды непрерывно дифференцируемой. Ясно, что вариация функции удовлетворяет однородным граничным условиям: . Тогда согласно формуле Тейлора имеем . (5.2) Представление (5.2) показывает, что вторая вариация имеет вид . (5.3) Используя интегрирование по частям и граничные условия для вариации , получаем , что позволяет записать соотношение (5.3) в следующем виде: , (5.4) где . Итак, при исследовании функционала на экстремум важнейшую роль играет поведение его второй вариации, являющейся квадратичным функционалом. Рассмотрим квадратичный функционал (5.4) на функциях , для которых . Запишем для него уравнение Эйлера . (5.5) Эта задача имеет очевидное решение , но могут существовать и нетривиальные решения. Рассмотрим ненулевое решение краевой задачи (5.5). Если точка такова, что , в то время как при , то точку называют сопряжённой точке . Итак, точки и сопряжённые, если краевая задача (5.5) имеет ненулевое решение на . Отсутствие на полуинтервале точек, сопряжённых точке , означает, что задача (5.5) не имеет ненулевых решений. Теорема 5.3. Пусть функции и непрерывны на отрезке и , . Тогда для положительной определённости функционала , необходимо и достаточно, чтобы на этом отрезке не было точек, сопряжённых точке . Теорема 5.4 (достаточные условия экстремума). Функция доставляет слабый минимум (максимум) функционалу в простейшей задаче вариационного исчисления, если одновременно выполняются условия: 1) функция является экстремалью функционала ; 2) для этой функции выполняется усиленное условие Лежандра ; 3) на интервале нет точек, сопряжённых точке . Если же при произвольных значениях , то данная экстремаль реализует сильный минимум (максимум) функционалу . Существуют и другие способы, позволяющие находить экстремум функционала: условие Яко́би, исследование с помощью функции Вейерштра́сса и др.