Уравнение теплопроводности

Лекция 7. Уравнение теплопроводности • Вывод уравнения теплопроводности • Вывод граничных условий Вывод уравнения теплопроводности Пусть есть изотропная среда (тело), 𝑘(𝑥, 𝑦, 𝑧) – коэффициент теплопроводности, 𝑐(𝑥, 𝑦, 𝑧) – коэффициент теплоемкости, 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧) – плотность. Обозначим 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)- температура среды Количество тепла, проходящего через часть поверхности ∆𝑆 за время ∆𝑡 пропорционально изменению температуры вдоль нормали к поверхности: 𝜕𝑇 ∆𝑄1 = −𝑘 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∆S∆𝑡, 𝜕𝑛 Тогда общее количество тепла, проходящее через изотермическую поверхность S за время 𝑡1 , 𝑡2 : 𝑡2 𝑄1 = − 𝑡1 𝑆 𝜕𝑇 𝑘 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑S𝑑𝑡 𝜕𝑛 Вывод уравнения теплопроводности Рассмотрим V объем среды (тела), ограниченный поверхностью S. Количество тепла, требуемое на изменение температуры на величину ∆𝑇 элемента объема ∆𝑉 за время ∆𝑡 равно ∆𝑄2 = 𝑇 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 + ∆𝑡 − 𝑇 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 ∙ ∙ 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑐 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∆𝑉, Применяя теорему Лагранжа по переменной t получим 𝜕𝑇 ∆𝑄2 = 𝜌 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑐 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∆𝑉∆𝑡, 𝜕𝑡 Тогда 𝑡+∆𝑡 𝑄2 = 𝑡 𝑉 𝜕𝑇 𝜌 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑐 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉𝑑𝑡 𝜕𝑡 Вывод уравнения теплопроводности Предположим, что внутри есть источники тепла с распределением 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡), тогда из закона сохранения баланса получаем 𝑡2 − 𝑡1 𝑆 𝜕𝑇 𝑘 𝑑S𝑑𝑡 + 𝜕𝑛 𝑡+∆𝑡 𝑡 𝑉 𝜕𝑇 𝜌𝑐𝑑𝑉𝑑𝑡 = 𝜕𝑡 𝑡+∆𝑡 = 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉𝑑𝑡 , 𝑡 𝑉 Применяя к поверхностному интегралу формулу Остроградского получаем Вывод уравнения теплопроводности 𝑡+∆𝑡 𝑡 𝑉 𝜕𝑇 𝜌𝑐 − 𝑑𝑖𝑣 𝑘∇𝑇 𝜕𝑡 𝑑𝑉𝑑𝑡 = 𝑡+∆𝑡 = 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉𝑑𝑡. 𝑡 𝑉 Откуда получаем уравнение теплопроводности 𝜕𝑇 𝜌𝑐 = 𝑑𝑖𝑣 𝑘∇𝑇 + 𝐹. (1) 𝜕𝑡 Уравнение теплопроводности Если среда однородная, то 𝜌, 𝑐, 𝑘 постоянные, то 𝑘 2 обозначив, 𝑎 = получим 𝑐𝜌 𝜕𝑇 = 𝑎2 ∆𝑇 + 𝑓. (1′) 𝜕𝑡 Зададим начальное распределение температур 𝑇 = 𝑢0 𝑥, 𝑦, 𝑧 (2) 𝑡=0 Задача Коши. Найти решение уравнения (1) (1’), удовлетворяющее условию (2) Вывод граничных условий Рассмотрим границу области 𝑆𝑇 = 𝜕Ω × 0, 𝑇), количество тепла, проходящего через поверхность S пропорционально перепаду температур 𝜕𝑇 𝑘 =ℎ 𝑇 −𝑢 , (3) 𝜕𝑛 𝑆 𝑆𝑇 𝑇 где 𝑢 − температура окружающей среды, ℎ − коэффициент теплообмена. Вывод граничных условий Случай 1. Мгновенный теплообмен: ℎ → ∞, тогда условие (3) преобразуется к краевому условию 1-го рода, когда задана температура на поверхности тела (среды) 𝑇 = 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) (4) 𝑆𝑇 Случай 2. Теплоизолированная поверхность: ℎ = 0 Тогда (3) преобразуется к виду 𝜕𝑇 =0 𝜕𝑛 𝑆 𝑇 (5)