Теория автоматического управления

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования “петербургский государственный университет путей сообщения ИМПЕРАТОРА АЛЕКСАНДРА I” Кафедра «Электроснабжение железных дорог» А. В. Агунов Б1.б.35 «теория автоматического управления» Источники теоретического материала и конспект лекций по специальности 23.05.05 «Системы обеспечения движения поездов» специализация «Электроснабжение железных дорог» форма обучения – очная, заочная Санкт-Петербург 2016 Основными источниками теоретического материала, относящегося непосредственно к лекционному курсу «Сооружение и монтаж устройств электроснабжения», являются следующие учебные издания и нормативные документы: 1. Первозванский, А.А. Курс теории автоматического управления. [Электронный ресурс] : учеб. пособие — Электрон. дан. — СПб. : Лань, 2015. — 624 с. — Режим доступа: http://e.lanbook.com/book/68460 — Загл. с экрана. 2. Коновалов, Б.И. Теория автоматического управления. [Электронный ресурс] : учеб. пособие / Б.И. Коновалов, Ю.М. Лебедев. — Электрон. дан. — СПб. : Лань, 2016. — 224 с. — Режим доступа: http://e.lanbook.com/book/71753 — Загл. с экрана. 3. Основы автоматического управления: Учебное пособие/А.И. Бурьяноватый, А.Н. Марикин, С.В. Кузьмин, В.М. Саввов, О.И. Шатнев.–СПб.: Петербургский гос. ун-т путей сообщения, 2011,– 66 с. 4. Никульчев Е.В. Практикум по теории управления в среде MATLAB: Учебное пособие. – М.: МГАПИ, 2002. – 88 с.; Режим доступа: http://window.edu.ru/window/catalog?p_rid=69666 5. Крыжановская Ю.А. Основы MATLAB. Учебно-методическое пособие Воронеж. Изд-во ВГУ, 2005. - 42 с. Режим доступа: http://www.ict.edu.ru/lib/index.php?id_res=5322 6. Певзнер, Л.Д. Теория автоматического управления. Задачи и решения. [Электронный ресурс] : учеб. пособие — Электрон. дан. — СПб. : Лань, 2016. — 604 с. — Режим доступа: http://e.lanbook.com/book/75516 — Загл. с экрана. 7.Теоретические основы управления в электроэнергетике. Методические указания к курсовому проекту/ А.Т. Бурков, А.И. Бурьяноватый, С.Н.Полторак, А.П. Самонин, В.Г.Жемчугов.- СПб: Петербургский гос. ун-т путей сообщения. 2000.- 32с. Все указанные источники имеются в электронной форме и доступны через сеть Интернет: 1. http://e.lanbook.com. 2. http://ibooks.ru/ Для удобства освоения теоретической части дисциплины в данном документе приводится конспект лекций, сгруппированный по разделам дисциплины. Методические материалы рассмотрены и утверждены на заседании кафедры «Электроснабжение железных дорог» 29.11.2016 г., протокол № 3 Разработчик: профессор кафедры «Электроснабжение железных дорог» А. В. Агунов Раздел 1. Основные понятия и принципы автоматического управления Тема 1.ПРИНЦИПЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО И АВТОМАТИЗИРОВННОГО УПРАВЛЕНИЯ Содержание темы. Различие между автоматическими и автоматизированными системами. Сигналы. Структурные схемы систем регулирования. Законы регулирования. Системы управления технологическими процессами 1.1. Общие сведения о системах управления Управление – это направленное воздействие на объект, обеспечивающее достижение поставленной цели. Процесс управления составляют четыре основные функции: получение информации о цели управления (g); получение информации о состоянии объекта управления (y, xoc); анализ полученной информации и выработка решения; исполнение принятого решения (u, xp, ).для достижения поставленной цели управления Схема системы управления показана на рис.1.1. Рис.1.1. Схема системы управления ТП – технологический процесс (объект управления); ИУ – исполнительное устройство; ЧЭ (Д) – чувствительные элементы (датчики), g – цель управления (задание системе управления), y – выходная величина технологического процесса, xoc – сигнал обратной связи, u – решение системы управления, xp – задание регулятора (системы управления),  – непосредственное воздействие на процесс Система управления – это совокупность всех устройств, обеспечивающих управление каким-либо объектом. Система управления должна содержать следующие элементы, выполняющие основные функции: объект управления (технологический процесс, ТП); источник информации о цели управления (задание); источник информации о результатах управления (сигнал обратной связи, xoc); устройства сравнения и обработки информации (прием информации, анализ, принятие и передача решения, формирование управляющего воздействия); исполнительные устройства (ИУ). В тех случаях, когда функции всех элементов системы выполняются без непосредственного участия человека, систему управления называют автоматической. Примером автоматической системы управления может служить система автоматического регулирования уровня напряжения на шинах тяговой подстанции, система автоматического регулирования возбуждения в генераторах. В ряде случаев сложный процесс управления осуществляет оператор с помощью различных автоматических устройств, выполняющих отдельные функции, необходимые для управления. Такую систему называют автоматизированной. Выбор окончательного варианта и принятие решения об управляющем воздействии осуществляет оператор. Примером автоматизированной системы может служить автоматизированная система телемеханического управления подстанциями. 1.2. Понятие о сигнале Любую физическую величину, используемую в управлении в качестве носителя информации, называют сигналом. Сигнал может иметь другую физическую природу по отношению к процессу, информацию о котором он несет. Классификация сигналов может выполняться по различным основаниям. Обычно сигналы подразделяют на непрерывные (аналоговые) и дискретные. Непрерывные сигналы характеризуются уровнем, например x(t) , который может плавно изменяться с течением времени (рис.1.2 а). Рис.1.2.Виды сигналов а, б, в, г, д, е – непрерывные; е – квантованный; ж – дискретный; з – цифровой; б – гармонический; в – апериодический; б, г, д–периодические; г – радиоимпульсы, в, д – видеоимпульсы. Частным случаем непрерывных сигналов являются гармонические сигналы. Они характеризуются амплитудой А, частотой ω=2f (или периодом T = 1/f) и фазой  (рис.1.2 б). Среди непрерывных сигналов выделяют также импульсные сигналы (рис.1.2 в, г, д), в которых существенный интервал времени уровень сигнала равен нулю. При этом различают апериодический или финитный импульсный сигнал (рис.1.2 в), и периодический (рис.1.2 г, д). Часто исходный импульсный сигнал аппроксимируется в виде идеального прямоугольного сигнала, длительность которого может определяться различным способом на основании параметров исходного сигнала (рис.1.2 в). Периодический импульсный сигнал называют также импульсной последовательностью, который характеризуются периодом T, длительностью импульсов Tu (рис.1.2.д) и относительной длительностью (скважностью) λ = Tu / T. В отдельную группу выделяют сигналы, значения которых могут изменяться скачкообразно в отдельные моменты времени. Наиболее распространены из них квантованные сигналы (рис.1.2 е), когда уровни сигналов могут быть представлены в числах заданной разрядности. Минимально разница между возможными уровнями x в этом случае называется шагом квантования. Системы, использующие квантованные сигналы, называются релейными системами. Дискретные сигналы фиксируются только в дискретные моменты времени ti (рис.1.2 ж, з). Если дискретный сигнал получают путем обработки аналогового сигнала, то результат называют решетчатой функцией. Поскольку физический дискретный сигнал имеет конечную длительность, то обычно при дискретизации по времени получают импульсный сигнал. Используются различные формы импульса, но наиболее часто при описании используется прямоугольная форма. Процесс получения импульсного сигнала из исходного аналогового называют импульсной модуляцией. Возможны широтно-импульсная, амплитудно-импульсная, фазово-импульсная и частотно-импульсная модуляции, которые показаны на рис.1.3, 1.4. В последнем случае частота следования импульсов пропорциональна аналоговому сигналу. При первых трех видах модуляции пропорционально аналоговому сигналу, отсчитываемому в дискретный момент времени, устанавливают соответственно ширину, амплитуду, фазу импульсов при неизменной частоте. Среди дискретных сигналов выделяют цифровые (рис.1.2 з), их уровни могут принимать только квантованные значения. Цифровым сигналам принято ставить в соответствие коды, в частности – цифровые, а системы их использующие называют цифровыми. системами Непрерывные аналоговые сигналы могут быть переданы дискретными сигналами без потери информации. Условия преобразования формулируется теоремой Котельникова. Рис.1.3.Амплитудная (а) и частотная модуляции Рис.1.4.Широтная (а) и фазовая (б) модуляции Непрерывная функция времени x(t), спектр которой не содержит составляющих частот выше Fm, может быть полностью определена последовательностью ее значений {xk}, следующих через промежутки времени t ≤ 1/(2Fm), k=0, 1, 2, … Теорема устанавливает возможность точного воспроизведения функции времени, представленной неограниченным множеством дискретных во времени отсчетов. При конечном числе отсчетов функции возникнет ошибка. Ошибка достигает максимальной величины, если значение функции в произвольный момент времени оценивается по единичному отсчету. Для получения удовлетворительной точности воспроизведения непрерывной функции при конечном числе дискретных отсчетов необходимоt<<1/(2Fm). 1.3. Функциональные схемы систем управления и регулирования Управление осуществляется на основе сопоставления заданного значения сигнала с сигналом, отображающим действительное состояние объекта управления. Устройства, посредством которых производится сопоставление сигналов, называют устройствами сравнения. Обозначения устройств сравнения на структурных и функциональных схемах показаны на рис.1.5. Рис. 1.5.Обозначения элементов (сумматоров) для операций с сигналами а, б – вычитание; в, г– сложение Схему, которая отображает функциональное назначение основных элементов системы, их соединение, взаимодействие и направление передачи сигналов, называют функциональной. Любой функциональный элемент, для которого имеется один вход и один выход можно представить в виде устройства, на вход которого подан сигнал х, а на выходе сформирован сигнал у. Далее рассматриваются системы с одним входом и одним выходом – Single Input Single Output (SISI). Функциональные схемы систем автоматического управления различной структуры показаны на рис. 1.6. Рассмотрим схему, представленную на рис. 1.6 а). Задающее устройство (ЗУ) формирует требуемый уровень управляемой переменной y0 , путем выработки задающего воздействия x=g. В результате возмущающих воздействий q1, q2 … qn на объект управления (ОУ) возникает отклонение Δу управляемой переменной y от заданного уровня y0. Чувствительный элемент (ЧЭ) или датчик преобразует управляемую переменную у=y0+y в сигнал обратной связи xос одинакового масштаба с сигналом задающего устройства x. Устройство сравнения (УС) производит сопоставление величин сигналов задающего устройства и обратной связи и выделяет их разность Δх. Эту разность называют сигналом рассогласования. Δх = x - xос Регулятор (Р) формирует регулирующий сигнал хр по сигналу рассогласования Δх. Исполнительное устройство (ИУ) усиливает мощность сигнала регулятора и осуществляет регулирующее воздействие  на объект управления для достижения цели управления, компенсируя влияние возмущающих воздействий. Таким образом, отклонение управляемой переменной Δу от заданного уровня выделяется в виде сигнала рассогласования Δх и используется для формирования регулирующего сигнала хр. Мощность этого сигнала усиливается исполнительным устройством и воздействует на объект управления, компенсируя отклонение управляемой переменной Δу. Рассмотренный принцип автоматического регулирования по отклонению носит название принцип Ползунова-Уатта. Ползунов в 1765 году применил такой принцип для управления питанием водой котла, в зависимости от уровня воды в нем. Уатт построил регулятор паровой машины в зависимости от скорости ее вращения. В теории этот принцип принято называть управлением по отклонению (следствию). Рис. 1.6. Функциональные схемы автоматических систем а – по отклонению, б – упреждающего регулирования, в – комбинированного Недостатком данного способа является его инерционность, обусловленная тем, что регулятор реагирует на возмущающие воздействия по отклонению управляемой переменной. Регулирующее воздействие хр запаздывает относительно возмущающего воздействия q. В результате в переходном режиме контролируемая величина может кратковременно иметь большие отклонения от заданного уровня. Достоинство принципа Ползунова в том, что регулятор отрабатывает возмущения, которые могли быть не учтены при проектировании, а также возможность достижения высокой точности регулирования. Существует принцип упреждающего регулирования или принцип Понселе (1830 год). Суть этого принципа заключается в непосредственном использовании изменения возмущающего воздействия для формирования регулирующего воздействия, как показано на рис. 1.6,б. Принцип упреждающего регулирования отличается высоким быстродействием, т.к. регулятор реагирует непосредственно на причину отклонения управляемой переменной Δy в виде сигнала х=x-xq. Данный принцип нельзя применять, если возмущение нельзя измерить или на систему действует много различных возмущений, так как в этом случае управляющее устройство получается сложным. Рассматриваемый принцип в теории носит название управление по возмущению (причине). Применение комбинированного регулирования по отклонению и упреждающему воздействию позволяет объединить достоинства обоих принципов. Функциональная схема системы автоматического регулирования (САР) с комбинированным регулированием показана на рис.1.6,в). Комбинированное регулирование применяют в большинстве современных систем автоматического управления. Зависимость регулирующего воздействия хр от сигнала рассогласования Δx без учета инерционных свойств самого регулятора называют законом регулирования хр = f(Δx). Закон регулирования определяет статические и динамические свойства системы автоматического управления. В системах автоматического управления применяют пять основных законов регулирования, и соответственно различают 5 простейших регуляторов: пропорциональный (П – регулятор); интегральный (И – регулятор); пропорционально-интегральный (ПИ – регулятор); пропорционально-дифференциальный (ПД – регулятор); пропорционально-интегрально-дифференциальный (ПИД – регулятор). В современных сложных системах могут использоваться регуляторы, описываемые дифференциальными или разностными уравнениями высокого порядка. В общем случае при построении системы управления (регулирования) руководствуются принципом, что сложность системы управления не может быть меньше, чем сложность объекта, которым управляют. Однако около 90...95% регуляторов, находящихся в настоящее время в эксплуатации, используют ПИД алгоритм [14]. ПИД-регулятор, воплощенный в виде технического устройства, называют ПИД-контроллером, он обычно имеет дополнительные сервисные свойства автоматической настройки, сигнализации, самодиагностики, программирования, безударного переключения режимов, дистанционного управления, возможностью работы в промышленной сети и т д. Во многих ПИД-контроллерах дифференциальная компонента выключена только потому, что ее трудно правильно настроить. Вследствие недостаточно глубоких у персонала знаний о динамике регулируемого процесса, 30% регуляторов, используемых в промышленности, настроены неправильно [14]. Регуляторы, обеспечивающие устойчивое и качественное управление при изменении параметров объекта в достаточно широких пределах, получили название робастных. Рекомендации по применению различных регуляторов [8]: 1) введение в закон управления интегрирующего члена делает систему астатической и улучшает качество системы в установившемся режиме, но может сделать систему неустойчивой и ухудшает качество системы в переходном режиме; 2) введение в закон управления дифференцирующего члена оказывает стабилизирующее влияние (может сделать неустойчивую систему устойчивой) и улучшает качество системы в переходном режиме, не оказывая влияния на качество системы в установившемся режиме. 1.4. Автоматизированные системы управления технологическими процессами (АСУ ТП) В электроснабжении железнодорожного транспорта обычно выделяют систему внешнего электроснабжения, систему тягового электроснабжения и систему электроснабжения нетяговых потребителей. Каждая из систем рассматривается как технологический процесс, которым необходимо управлять. В настоящее время такое управление осуществляется энергодиспетчерским аппаратом, эффективность работы которого поддерживается программно-аппаратными комплексами. Устройства электроснабжения и средства управления ими территориально рассредоточены на значительные расстояния. Поэтому при построении таких систем управления много внимания уделяется средствам связи. Все функции АСУТП можно подразделить на информационные и управляющие. К информационным относят: сбор, обработку и представление информации о состоянии объекта оперативному персоналу. Управляющая функция обеспечивает формирование управляющего (корректирующего) воздействия на процесс. Системы управления могут быть с вычислительным комплексом или без него (рис.1.7). При отсутствии вычислительного комплекса информация в этой системе автоматически поступает от датчиков к оператору по связи ТП – Д – С/КСО – (ТК/ТИ) – ЩУ – О. Оператор выдает управляющие воздействия по связи О – ПУ – (ТУ) – ДУ – ИУ – ТП. Местная система автоматики (МСА) следит с помощью программного управления за состоянием объекта с помощью своих датчиков. Эта система осуществляет стабилизацию электроснабжения, предотвращает аварийные режимы и при необходимости вводит резервные источники питания. Вычислительные комплексы могут взаимодействовать с оператором в режимах: советчика или программного управления. В режиме советчика вычислительный комплекс не включен в контур управления, он работает в режиме диалога оператор - вычислительный комплекс (О-ВК). Рис.1.7. Схема системы автоматизированного управления подстанцией ЩУ – щит управления с индикацией и контрольно -измерительными приборами; О – оператор; ПУ – пульт управления; ТК/ТИ – телеконтроль/телеизмерение; ВК – вычислительный комплекс: ТУ – телеуправление; С/КСО – подсистема сигнализации и контроля состояния объекта; ДУ – дистанционное управление; Д – датчики; МСА – местная система автоматики; ТП – технологический процесс; ОУ – объект управления;Q–внешнее воздействие,Xр–регулирующий сигнал (U)–управляющее воздействие; УО – управляющий орган. В режиме программного управления вычислительный комплекс получает информацию о процессе автоматически по связи ТП – Д – С/КСО – (ТК/ТИ) – ВК. Оператор получает информацию от ВК и/или ЩУ, но управляющие воздействия выдаются по-прежнему оператором по связи О – ПУ - …. При супервизорном управлении вычислительный комплекс управляет процессом через систему местной автоматики по связи ВК – МСА, получая информацию по связи ТП - Д – С/КСО – (ТК/ТИ) - ВК. В режиме цифрового управления вычислительный комплекс получает информацию о процессе по связи ТП – Д – С/КСО – (ТК/ТИ) – ВК, самостоятельно вырабатывает решение и реализует управляющее воздействие по связи ВК – (ТУ) – ДУ – ТП. У оператора остается функция наблюдения за процессом по однонаправленной связи ВК -О. Исследование свойств автоматических систем включает в себя: определение устойчивости, анализ качества переходного режима и исследование точности в установившемся режиме. 1.5. Вопросы по теме 1. Сформулировать различие между автоматическим и автоматизированным управлением. Привести примеры из системы электроснабжения. 2. Классифицировать виды сигналов, привести примеры представления цифровых сигналов. 3. Указать сферы применения решетчатых функций. 4. Какими преимуществами обладают цифровые системы? 5. Чем обуславливается выбор частоты дискретизации fs? 6. Представить в виде структурной схемы процесс обучения применительно к отдельной дисциплине. 7. Привести сведения о первых автоматических устройствах, созданных в мире и в нашей стране. 8. Укажите наиболее применяемые типы регуляторов, приведите их технические характеристики. 9. Разработайте схему регулятора искусственного освещения рабочей поверхности с учетом естественной освещенности. 10. Разработайте регулятор температуры воды в бойлере, с учетом возможного расхода воды. 11. Сформулируйте причины, по которым возникают сложности при настройке ПИД-регуляторов. 12. Используя рис.1.7. построить схему диспетчерского управления, применяемую на Вашем предприятии. Указать основные параметры аппаратной части системы. Раздел 2. Линейные системы автоматического управления Тема 2. ТИПОВЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ЗВЕНЬЯ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ Содержание темы. Области описания систем. Типовые воздействия. Преобразования Лапласа и Фурье. Характеристики линейных динамических звеньев во временной, операторной и частотной областях. Основные типовые звенья и их описания. 2.1. Характеристики и классификация динамических звеньев Области описания звеньев. Для анализа и моделирования систем автоматического управления производят их разбиение на отдельные элементы [2, 9]. При этом элементы не обязательно должны представлять отдельные устройства. Основной принцип выделения – возможность описать поведение выделенного элемента уравнением определенного типа. Такой выделенный элемент принято называть динамическим звеном, его условное изображение дано на рис.2.1. Ограничимся рассмотрением динамических звеньев, имеющих одну входную х(t) и одну выходную у(t) величину (SISI). При этом у звеньев предполагается однонаправленность действия, т.е. способность передавать воздействие только в одном направлении от входа к выходу. а) б) в) г) Рис.2.1. Динамическое звено а – во временной области, б – в частотной области, в – в области комплексной переменной p, г – в z-области Описание аналоговых звеньев традиционно производят во временной (t) и частотной () областях, а также в области комплексной переменной (p). Для дискретных систем получило распространение дискретное z-преобразование Лапласа. Описание во временной области производится в виде дифференциальных уравнений, отображающих динамику изменения выходной величины y(t) при заданной входной величине x(t). Будем обозначать величины и сигналы во временной области строчными буквами. При этом для записи уравнений используется одна из стандартных форм [13]: разрешенные относительно старшей производной выходной величины y(t); в форме Коши, т.е. разрешенные относительно первых производных величин, описывающих звено; в пространстве состояний, т.е. в виде системы дифференциальных уравнений, разрешенных относительно первых производных переменных состояния, дополненной алгебраическим уравнением определения выходной величины. Представление в форме Коши и в пространстве состояний обычно используется при моделировании систем управления с помощью пакетов программ, например в среде Matlab-Simulink. Поведение звеньев рассматривают при типовых входных воздействиях. На рис.2.2 показаны типовые входные воздействия. Во временной области – это единичная функция (функция Хэвисайда), которая задает одно из самых сильных воздействий на систему автоматического регулирования [11] 1(t)={1, t≥0, 0, t<0} и обобщенная функция Дирака или функция (t) ={0, t≠0, ,t=0, ∫(t)dt=1}, Степенные (полиноминальные) функции x(t)=k1∙t, x(t)=k2∙t2 x(t)=kn∙tn в частотной области – гармоническая функция x(t)=А·sin(t+) Рис.2.2.Типовые входные воздействия а, б – функция Хэвисайда, в, г – функция Дирака, д – гармоническая функция, е – степенные(полиноминальные) функции, ж – меандр Реакция звена на единичную функцию 1(t) называется переходной характеристикой h(t), а реакция на функцию Дирака (t) – импульсной характеристикой w(t). Производная от единичной функции даёт δ-функцию, производная от переходной характеристики равна импульсной характеристике. Замечание. В курсе «Теория передачи сигналов» импульсную характеристику принято обозначать h(t). Поэтому при рассмотрении формул следует обращать внимание на контекст использования обозначения. В общем случае система с одной входной переменной x(t) и одной выходной у(t) во временной области может быть записана в виде дифференциального уравнения а0 (dny /dtn) + a1(dn-1y / dtn-1) + … + an-1(dy /dt) + any = b0 (dmx /dtm) + b1(dm-1x / dtm-1) + … + bm-1(dx /dt) + bmx. (2.1) Для физически реализуемых систем n≥m. Если ввести оператор дифференцирования s=d/dt, то можно записать в виде алгебраизированного дифференциального уравнения во временной области (а0sn +а1sn−1+…+аn−1s+аn) у(t) =(b0sm +b1sm-1+…+bm-1s+ bm) x(t), (2.2) Для операторной области входные и выходные значения переменных звеньев записываются в виде преобразования Лапласа L. Основным описанием звена в этом случае является передаточная функция – отношение преобразования Лапласа (изображения) выходной величины к изображению входной величины, при нулевых начальных условиях W(p)=Y(p)/X(p), где p=+j – комплексная переменная. Для обозначения сигналов и переменных в операторной форме будем использовать прописные буквы. Для отображения оригиналов в изображение на комплексной плоскости применяется также преобразование Карсона-Хевисайда. Связь между оригиналом сигнала x(t) и его изображением X(p) в преобразовании Лапласа для входной переменной имеет вид X(p) =L {x(t)}=x(t) exp[-pt] dt. x(t) = L-1{X(p)}=(1/2j)X(p) exp(pt) dp При практических расчетах для нахождения связи между оригиналом и изображением чаще используют готовые таблицы преобразования. В операторной форме (изображения Лапласа) используется запись уравнения, по структуре, совпадающей с (2.2), но при использовании комплексной переменной p=+j (а0pn +а1pn−1+…+аn−1p+аn)∙Y(p) =(b0pm +b1pm-1+…+bm-1p+ bm)∙X(p) (2.3) Замечание. В отечественной и зарубежной практике буквенные обозначения комплексной переменной в преобразовании Лапласа не совпадают. В нашей стране для обозначения комплексной переменной принят символ «p», в зарубежной – «s». В пакете MatLab для ряда функций пользователем может быть назначено любое из этих обозначений. В данных лекциях для операторной области используется обозначение p=+j. Получила распространение запись уравнения (2.3) в виде передаточной функции W(p)=Y(p)/X(p)=(b0pm +b1pm-1+…+bm-1p+ bm)/(а0pn +а1pn−1+…+аn−1p+аn)= = num(p)/den(p) (2.4) Корни уравнения, получаемого путем приравнивания нулю числителя передаточной функции (2.4) называются нулями, а корни уравнения, полученного приравниванию к нулю знаменателя (2.4) называют полюсами передаточной функции. Если рассмотреть предел функции (2.4) при стремлении p к нулю, то эта функция дает описание установившегося режима системы. Передаточную функцию системы (2.4) можно представить в виде произведения простых множителей и дробей. В качестве простых сомножителей выбираются многочлены не выше второго порядка относительно переменной p. Согласно [4, 8] многочлены имеют вид: k, Tp, 1/Tp, Tp1, 1/(Tp1), T2p22Tp+1, 1/(T2p22Tp+1), (2.5) где T – постоянная времени (мера инерционности звена), –коэффициент демпфирования. Сомножители представляют звенья: усилительное (k), дифференцирующее (Tp), интегрирующее (1/Tp), форсирующее 1-го порядка (Tp1), апериодическое1-го порядка (1/( Tp1), форсирующее 2-го порядка (T2p22Tp+1), апериодическое 2-го порядка (1/( T2p22Tp+1), 1≤) или колебательное (1/(T2p22Tp+1), 0<). Для каждого из звеньев могут быть найдены корни для уравнений, записанных в числителе или знаменателе, представляющих их формул. Корни для числителя (нули) обозначим p0, для знаменателя (полюса) - p*. Для отдельных звеньев корни будут иметь вид: p0*=0; p0*=-1/T; p0*=; p0*=. (2.6) где . Для частотной области рассматривается передаточная частотная функция: отношение преобразования Фурье F выходной величины к преобразованию Фурье входной W(j)=Y()/X(). Преобразование Фурье, например, для входной переменной определяется двумя соотношениями X() =F{x(t)}=x(t) exp(-jt) dt x(t) =F-1{X()}= (1/2)X() exp(jt) d Частотная передаточная функция представляет собой отношение реакции звена y(t) к синусоидальному входному воздействию . Реакция в этом случае также будет представлять гармоническое колебание с амплитудой A(j) и дополнительным фазовым сдвигом j . Частотная передаточная функцияW(j) может быть также определена по передаточной функции W(p) данного звена при p=j: =|W(j)|;=arg(W(j). Таким образом, передаточная частотная функция звена может быть записана в виде Одной из частотных характеристик является амплитудно-фазовая характеристика АФХ или диаграмма Найквиста. Представляет собой годограф вектора частотной передаточной функции W(iω) при отображении её на комплексной плоскости при изменении частоты гармонического колебания от нуля до бесконечности. Пример такой характеристики приведен на рис.2.2 а). Вторая частотная характеристика - амплитудно-частотная АЧХ, представляет собой зависимость модуля частотной характеристики от частоты (рис.2.2.б). Широко используются логарифмические амплитудно-частотные характеристики ЛАЧХ или диаграммы Боде[5], представляющие собой десятичный логарифм амплитудно-частотной характеристики, измеряемый в децибелах. L()=20·lgA(ω). а) б) Рис.2.2. Частотные характеристики динамического звена а – амплитудно-фазная (АФХ), б – амплитудно-частотная (АЧХ) В табл.2.1 приведены соответствия значений, выраженных в относительных единицах значениям в децибелах. Таблица 2.1 А 0.1 1 1.12 2 10 100 L=20lg(A) -20 1 3 6 20 40 Совместно с ЛАЧХ часто представляют фазовую частотную характеристику ФЧХ, представляющую зависимость фазы частотной характеристики от частоты  Пример ЛАЧХ и ФЧХ показаны на рис.2.3 б). Для расчетов часто применяется аппроксимирующая характеристика G(), которая получается спрямлением ЛАЧХ. Максимальное расхождение между характеристиками L() и G() составляет 3 дБ на частоте, называемой частотой сопряжения c. Наклон ЛАЧХ принято оценивать изменением G() на диапазоне частот, отличающихся либо в 10 раз (на декаду), либо в 2 раза (на октаву). На рис.2.3 наклонная часть характеристики имеет наклон -20 дБ/декаду Наклон ЛАЧХ является существенным параметром звена и определяет его поведение в переходных процессах. При построении ЛАЧХ по оси частот также используется логарифмическая шкала, при этом указывается, какое значение частоты соответствует 0 дБ. Согласно [2] могут использоваться шкалы, которые приведены на рис. 2.3 а). Частотную передаточную функцию можно получить из функции (2.4) путем подстановки p=j W(j)=Y(j)/X(j)= [b0(j)m +b1(j)m-1+…+bm-1(j)+ bm]/ [а0(j)n +а1(j)n−1+…+аn−1(j)+аn] = U() + jV() (2.7) Рис. 2.3. Частотные шкалы (а) и логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (б) L() – ЛАЧХ, G(w) – асимптоты ЛАЧХ, - фазовая частотная характеристикаж; cр–частота среза, c–частота сопряжения асимптот На рис.2.4 приведены для сравнения ЛАЧХ и переходные характеристики для трех различных звеньев, имеющих различный наклон и фрагменты соответствующих переходных характеристик. Для устойчивой системы, логарифмическая фазовая частотная характеристика может быть вычислена по логарифмической амплитудной частотной характеристике. В частности, сдвиг фазы ЛФЧХ на какой-либо частоте пропорционален наклону ЛАЧХ при логарифмическом масштабе частоты [12]. Поэтому часто ограничиваются рассмотрением только логарифмической амплитудной частотной характеристики. Рис. 2.4. Логарифмические амплитудно-частотные и переходные характеристики Между характеристиками звеньев в различных областях существуют взаимосвязи, и выбираемый набор характеристик зависит от степени наглядности и удобства анализа поведения системы управления. На рис.2.5. приведены импульсные характеристики типовых звеньев в зависимости от полюсов их передаточных функций для типовых звеньев. Рис.2.5. Связь между формой импульсных характеристик и положением полюсов передаточных функций типовых звеньев а, б, в – устойчивые звенья; г – консервативное звено; д, г – неустойчивые звенья. Вещественная часть полюсов определяет устойчивость звеньев, а мнимая часть определяет частоту колебаний переходной функции. При нахождении полюса передаточной функции в правой полуплоскости в случае поступления на вход дельта-функции Дирака (t) на выходе возникает возрастающий сигнал. Это является признаком неустойчивости звена, поскольку короткий импульс с большой амплитудой может появиться в шуме, сопровождающем входной сигнал. В практических системах выходной сигнал будет ограничен, в связи с наступлением насыщения физических устройств используемых в звене. Рассматривать звено как линейное в этом случае недопустимо[12]. Дифференциальные уравнения движения системы связывают входной и выходной сигналы (т.е. функции времени) Передаточная функция связывает изображения Лапласа тех же сигналов Частотная передаточная функция связывает их спектры (преобразования Фурье). Основные типовые звенья. Линейные звенья, описываемые дифференциальными уравнениями не выше второго, называют типовыми звеньями. Для анализа характеристик типовых звеньев используются уравнения динамики, которые обычно записываются в стандартном виде: слева выходная переменная y(t) и ее производные с соответствующими коэффициентами, справа – входная переменная x(t) и ее производные с соответствующими коэффициентами Для усилительных звеньев зависимость между входной x и выходной yпеременными имеет вид y = kп ∙ x. Усилительное звено называют также безынерционным звеном. Примером такого звена является выходное напряжение, снимаемое с потенциометра, как это показано на рис.2.6. Рис.2.6 Потенциометр как безынерционное звено Для интегрирующих звеньев выходная и входная переменные связаны выражением y = kи ∙∫xdt. Для дифференцирующих звеньев существует зависимость между переменной и производной изменения входной переменной y=kд∙dx/dt Характеристики основных типовых звеньев приведены в табл.2.2. Таблица 2.2 Характеристики типовых звеньев Название звена Переходные характеристики h(t) при x(t)=1(t) Амплитудно-фазовые частотные характеристики Логарифмические частотные характеристики Идеальное (безынерционное) Апериодическое (инерционное) первого порядка Интегрирующее Идеальное диф­ференцирующее Реальное диффе­ренцирующее без статизма Реальное диффе­ренцирующее со статизмом Звено с запазды­ванием 2.2. Апериодическое звено первого порядка Уравнение апериодического звена первого порядка имеет вид T∙dу/ dt + y= k∙x (2.8) где Т – постоянная времени, обусловленная наличием инерционных свойств (масса, момент инерции, индуктивность, емкость и т.д.); k– коэффициент усиления (передачи). Переходная характеристика такого звена h(t) = k∙ [1 − еxp(−t/T)]. Операторное уравнение (Тр+1) ∙Y( р) = kХ(р) Из этого уравнения находится передаточная функция W(р)=k/(1+Тр) (2.9) Передаточная частотная функция является частным случаем передаточной функции для p=ј W(ј)= k/( 1+ јТ)=U() + jV()=A()exp(j()) , где V() = k/(1+2 Т2); U() = − ∙Т∙k/ (1+2 Т2) ; А () = k/; () = arctg(−T). Логарифмическая амплитудная частотная характеристика L() = 20 lg A () = 20 lg k – 10 lg(1+ 2Т2) Первая асимптота характеризует ЛАЧХ при малых частотах, когда величиной 2 Т2 можно пренебречь, а вторая при больших частотах, когда 2 Т2>>1, т.е. принимают G() ={20 lgk, T≤1, 20 lgk ─ 20 lgT, T>1} Точка сопряжения c = 1/Т определяется постоянной времени апериодического звена первого порядка и называется сопрягающей частотой. Логарифмическая фазочастотная характеристика апериодического звена первого порядка ()= –arctg(T) = – arctg (/ c). Примерами апериодического звена первого типа являются: пассивные четырехполюсники, состоящие из сопротивления и индуктивности или сопротивления и емкости; термопара, генераторы постоянного и переменного тока, электрические двигатели (если вход – ток якоря, а выход – угловая скорость) и т.д., если уравнения их динамики можно представить в виде (2.8). Простейшим примером такого звена является RC-цепь, если в качестве входной величины x рассматривать входное напряжение u(t), в качестве выходной y – напряжение на емкости uc(t), а в качестве внутренней переменной s=i(t) Рис.2.7. Пример апериодического звена 1-го порядка По второму закону Кирхгофа u(t)=i(t) ·R+uc(t). Параметрическое уравнение емкости i(t)=C·duc(t)/dt, заменив ток получаем u(t)=CR·duc(t)/dt+uc(t), откуда T·duc(t)/dt + uc(t)=u(t), где T=CR – постоянная времени. 2.3. Интегрирующее звено Уравнение динамики и переходная характеристика dу/dt = kax(t); h(t)= kat (2.10) Операторное уравнение и передаточная функция Y(р) = (ka/р) X (р); W(p) = ka/p. Частотная функция W(j) = ka/ j =− jka /  Логарифмическая амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики L() = 20 lgA () = 20 lgka − 20 lg; () = arctg (−∞) = -900 Примером интегрирующего звена являются: электрический двигатель при пренебрежении электромеханической постоянной времени (если вход – напряжение питания, а выход – угол поворота ротора или якоря), двухполюсники с индуктивностью или емкостью без активных сопротивлений при надлежащем выборе входной и выходной величин. 2.4. Звено второго порядка Звено второго порядка является одним из ключевых во многих задачах электротехники и подробно рассматривается в курсе теоретических основ электротехники. Запись дифференциального уравнения второго порядка часто производят через первичные параметры цепи (индуктивность, емкость, сопротивление) или вторичные параметры (волновое сопротивление, собственная частота колебаний). В курсе теории автоматического управления уравнение динамики звена второго порядка принято записывать в виде: Т2d2у/dt2 + 2Tdу/dt + y = k·x (2.11) где Т – постоянная времени;  – коэффициент демпфирования; к – коэффициент усиления (или передачи). Операторное уравнение звена (Т2р2 + 2Тр + 1) ∙Y(р) = k∙X(р В зависимости от вида корней характеристического уравнения различают апериодическое (>1) и колебательное (<1) звено. Апериодическое звено второго порядка. Введя обозначениеT1=2Ти T2=Т уравнение динамики в этом случае может быть записано Т22d2у/dt2 + T1dу/dt + y = k·x Апериодическое звено второго порядка эквивалентно последовательному соединению двух инерционных звеньев первого порядка, поэтому передаточная функция может быть записана в виде W (р) = k / (1+Т3р) (1+Т4р), где Т3,4=Т1/2 ± . Переходная функция для случая различных вещественных корней h(t) =k [1-T3/(T3-T4) exp(-t/T3)+ T4/(T3-T4) exp(-t/T4) Колебательное звено. Если корни характеристического уравнения будут комплексными(<1), то звено второго порядка будет колебательным Переходная функция колебательного звена h(t) = к [ 1 − exp(−t/T) Csin (*∙t+)] где /T - коэффициент затухания переходного процесса; *=0– частота затухающих колебаний; C = 0/*– амплитуда колебаний; = – arctg (/(∙0) – фазный угол начала колебаний; 0 =1/Т. Передаточная функция W(р) = к / [Т2р2 + 2Тр +1]=02 к /[ р2 + 20 р + 02], T=1/0 Передаточная частотная функция звена W(j) может быть получена из передаточной функции W(р) путем подстановки p=jПримерный вид этой функции показан на рис. 2.7. Рис. 2.7. Передаточная частотная функция и переходная характеристика колебательного звена р – резонансная частота, п – граница полосы пропускания; Аm–максимальная амплитуда, А0 – начальное значение амплитуды Логарифмическая частотная характеристика звена L = 20 lgА() = 20 lgk – 20 lg, Асимптотическая ЛАЧХ G()={20 lgk, <0, 20 lgk – 40 lg (/0), 0 } Cопрягающая частота c= 0 = 1/Т. Приближенная замена действительной ЛАЧХ L() двумя асимптотами G() допустима без введения поправки при 0,4 << 0,6. При других значениях рекомендуется корректировать асимптотическую ЛАЧХ. Логарифмическая фазочастотная характеристика апериодического звена второго порядка () = − arctg{( / 0) ·2 / [1 − ( / 0)2 ]}. Примерами выполнения апериодических звеньев второго порядка могут быть: центробежный маятник; контур, содержащий активное, индуктивное и емкостное сопротивление; электродвигатель постоянного тока (если входом является напряжение якорной цепи, а выходом – скорость вращения при учете постоянной времени цепи якоря и электромеханической постоянной времени). Колебательное звено 2-го порядка. Примером такого звена может служить RLC-цепь при определенных соотношениях параметров. Уравнение такой цепи Передаточная функция этого звена , где; ; ; . 2.5. Звено с запаздыванием В этом звене выходная величина начинает изменяться не мгновенно с воздействием входной величины, а некоторое время  спустя. Уравнение звена: y(t) = kx(t - τ), (2.12) где τ – время запаздывания. Переходная функция запаздывающего звена h(t) = k1(t-) Операторное уравнение звена Y(p)=k∙exp(-p)∙X(p) Передаточная функция звена W(p)=k∙exp(-p)∙ Комплексная частотная характеристика W(j)=k∙exp(-j)∙ Амплитудная частотная характеристика A()=k Фазовая частотная характеристика: (ω) = – ω τ . Логарифмическая амплитудная частотная характеристика G() = 20 lg A() = 20 lg k 2.6. Вопросы по теме 1. Представить в виде динамических звеньев источник напряжения с заданными электродвижущей силой и внутренним сопротивлением, нагруженный на активное сопротивление. 2. Относится ли дельта функция к финитным функциям? 3. Интерпретируйте интеграл Дюамеля в терминах теории автоматического управления. 4. Каким образом можно представить меандр (рис.2.2 ж) в виде гармонических функций? 5. Сформулировать условие, при котором последовательная RLC-цепь может представлять колебательное звено 2-го порядка. 6. Чему равен интеграл от импульсной характеристики? 7. Чему равен интеграл от дельта функции? 8. Пояснить, почему уравнение (2.1) при n1 – отрицательная; |1±Wо(p)∙WOС(р)|>>1 – глубокая (сильная). Для глубокой обратной связи, когда |1±Wо(p)∙WOС(р)|>>1, WG(p)= M/ WOС(р)  1/WOC(p). Передаточная функция системы с глубокой обратной связью определяется главным образом передаточной функцией обратной связи. Это позволяет иметь при точном датчике в ветви обратной связи неточные звенья в прямой ветви. Система обладает малой чувствительностью к изменению параметров звеньев в прямой ветви [12]. Пусть для примера Wо(p)WOC(p)=1000. В этом случае M=1000/1001=0,999001. Если при неизменномWOC(p) значение Wо(p) увеличится на 30%, то М=0,9992 и изменение передаточной функции составит 0,02%. Сильная обратная связь также способствует [12]: подавлению возмущений, приложенных к системе подавлению высших гармоник, возникающих вследствие нелинейности звеньев прямой ветви; сужению относительной величины зоны нечувствительности, что позволяет увеличить разрешение в системах с грубыми исполнительными механизмами. Чем глубже обратная связь, тем большее запаздывание (фазовый сдвиг ) в петле обратной связи, поскольку сдвиг фаз  пропорционален наклону логарифмической частотной характеристики. В связи с этим, глубину обратной связи приходится ограничивать по условию устойчивости. Отрицательная связь снижает влияние помех на некоторых диапазонах частот, а положительная обратная связь их увеличивает. Выбранные запасы устойчивости не должны быть чрезмерными и диаграмма Найквиста должна близко следовать за границей запасов устойчивости [12]. Чем больше запаздывания в петле обратной связи, тем меньше должен быть коэффициент усиления, чтобы сохранить устойчивость и тем менее точным и более вялым будет управление [12]. Более подробно об обратной связи можно посмотреть в известной монографии Боде [5]. Кроме указанных преобразований участков структурной схемы иногда требуется переносить узлы суммирования и точки разветвления сигналов и заменять сложные участки более простыми. Для выполнения этих преобразований можно использовать правила, указанные в табл.3.1. 3.3. Преобразование одноконтурных и многоконтурных систем Если система состоит из простых звеньев, соединенных последовательно, и сигнал проходит только по одной цепи, то при замыкании этой цепи путем подачи выходной переменной на вход (главная обратная связь) будет получена одноконтурная замкнутая система (см. рис.3.1). Пусть в системе с единичной обратной связью действуют управляющее X(p) и возмущающее Q(p) воздействия. Вначале рассмотрим случай, когда на систему действует только задающее воздействие Х(p) (рис.3.2.а). Рис.3.2. Преобразование одноконтурной системы регулирования При этом сигнал рассогласования подается на вход первого звена ∆Х(p) = G(p) −Y(p) Передаточная функция разомкнутой цепи W(p)=W1(p)∙W2(p)∙W3(p) Выходной сигнал Y(p) = W (р) ∆Х (р) = W (р) [G(р)−Y(р)], где W(р)=W1(р)∙W2(р)∙W3 (р) – передаточная функция разомкнутой системы. Откуда получаем передаточную функцию замкнутой системы с единичной обратной связью относительно задающего воздействия G(p) WG(р) = Y(р) / G(р) = Y(р) / X(р) = W(р)/[1 + W(р)]. Если действует только внешнее возмущение, то передаточная функция разомкнутой системы относительно возмущения Q(p), приложенного к звену W3 имеет вид W3 (р). При этом передаточная функция замкнутой системы для возмущающего воздействия: WQ(р) = Y(р)/Q(р) = W3(р)/[1+ W(р)] Обычно возмущающее воздействие в виде нагрузки прикладывается к управляемому объекту (см. звено 3 на рис.3.2). Следовательно, передаточная функция замкнутой системы относительного возмущающего воздействия WQ(р) характеризуется передаточной функцией разомкнутой системы W(р) и передаточной функцией WQ(р) звена (или ряда звеньев), к которому приложено возмущающее воздействие. Передаточная функция WQ (р) определяется относительно возмущения Q(р) и выхода Y(р). Аналогичное уравнение можно получить, представив структурную схему относительно управляющего воздействия G(p) и выхода в виде ошибки ∆X(p) для получения передаточной функции ошибки по задающему воздействию W∆X,G(р) =X(р)/G(р) = 1/[1 + W(р)]. и передаточной функции ошибки по возмущающему воздействию W∆X,Q(р) =X(р)/Q(р) = -W3(p)/[1 + W(р)]. Откуда можно найти операторное уравнение для результирующей ошибки X(p)=[G(p) – Q(p)W3(p)] / (1+W(p)) (3.2) Таблица3.1 Правила преобразования структурных схем Исходная структурная схема Преобразованная структурная схема Название структурных преобразований Преобразование последовательного соединения звеньев в одно звено Преобразование параллельно соединенных звеньев в одно звено Преобразование встречно-параллельного соединения звеньев в одно звено (обратная связь) Перестановка точек разветвления Перестановка узла разветвления через узел суммирования Перенос точки ветвления через динамическое звено Перенос суммирующего звена через динамическое звено В более общем случае структурная схема сложной автоматической системы может содержать смешанное соединение звеньев и дополнительные внутренние обратные связи, представленные различными типовыми звеньями. Чтобы определить передаточные функции таких систем, следует выполнить некоторые преобразования участков структурной схемы. Если структурная схема системы содержит несколько внутренних обратных связей, она называется многоконтурной. При выполнении преобразований сначала приводятся к эквивалентным звеньям участки с параллельным соединением простых звеньев и звеньев с обратными связями, затем, находится передаточная функция замкнутой многоконтурной системы. Возможны схемы, в которых контур обратной связи охватывает участок цепи, содержащий только начало или конец другой цепи обратной связи (рис.3.3.а) Рис.3.3. Преобразование многоконтурных структурных схем а – исходная схема, б – преобразованная схема, в – граф схемы Такая структурная схема называется схемой с перекрещивающимися обратными связями. Она может быть преобразована в схему без перекрещивающихся связей (рис.3.3.б) путем переноса узлов ветвления или суммирования через динамическое звено по правилам преобразования структурных схем (табл.3.1.). Для схемы рис.3.3 б) с учетом обратных связей получаем передаточную функцию WG(p)=W1(p)∙W2(p) /{1- W2(p)∙[W1(p)∙W4(p)-W3(p)∙W5(p)]}∙W3(p) (3.3.) Иногда при расчете автоматических систем необходимо определить передаточную функцию между двумя произвольными узлами сложной структурной схемы. В этих случаях целесообразно использовать правило Мейсона (правило не касающихся контуров) [13, 8,15]. Возможно построение по структурной схеме отдельного графа, в котором дуги соответствуют динамическим звеньям, а вершины – точки разветвления и суммирования исходной структурной схемы, а также входным и выходным переменным (см. рис. 3.3 в). Формула Мейсона позволяет получать выражение передаточной функции сложной системы без структурных преобразований. 3.4. Требования к системе автоматического управления В целом можно выделить четыре основных требования [9]: устойчивость, точность, качество переходных процессов и робастность. Устойчивость – система не должна терять функциональности при возмущающих воздействиях. Устойчивая система возвращается в состояние равновесия, если какая-то сила выведет ее из этого состояния. Если рассматривается только выход системы при различных ограниченных входах, говорят об устойчивости «вход-выход». Кроме того, часто изучают устойчивость автономной системы, т.е. системы на которую не действуют внешние сигналы. В этом случае для системы задают ненулевые начальные условия и рассматривают ее поведение. Система, которая сама возвращается в исходное положение равновесия, называется устойчивой. Если при этом рассматривается только выход автономной системы, то говорят о «технической устойчивости». Математическая (внутренняя) устойчивость означает, что не только выход, но и переменные состояния приближаются к своим значениям в положении равновесия. Определение внутренней устойчивости сформулировано А.М. Ляпуновым. Система называется устойчивой по Ляпунову в положении равновесия x0, если при начальном отклонении от положения равновесия не более чем на , траектория движения отклоняется от х не более, чем на , причем для каждого можно найти соответствующее ему . Другими словами, чем меньше начальное отклонение, тем меньше траектория движения отклоняется от положения равновесия. Если система возвращается в положение равновесия, то говорят об асимптотической устойчивости. Положения равновесия, в которых системы устойчивые по Ляпунову, но не асимптотически устойчивы, называют нейтрально устойчивыми.Асимптотически устойчивая линейная система обладает также устойчивостью вход-выход. На рис.3.4 приведены примеры устойчивых и неустойчивых систем с одной и двумя переменными. В частотной области обычно рассматривают запас устойчивости по амплитуде и фазе. Общие рекомендации по повышению структурной устойчивости одноконтурной системы: звенья, уменьшающие инерционность системы, способствуют ее устойчивости (например, форсирующее звено первого порядка); звенья, увеличивающие инерционность системы, способствуют ее неустойчивости (например, идеальные интегрирующее и колебательное звенья); чем больше передаточный коэффициент разомкнутой системы, тем ближе замкнутая система к границе устойчивости; чем больше разность между двумя наиболее различающимися постоянными времени, тем выше устойчивость системы; чем больше запаздывание в петле обратной связи, тем меньше должен быть коэффициент усиления, чтобы система оставалась устойчивой и тем менее точным и более вялым будет управление; Рис. 3.4. Виды устойчивости системы с одной переменной во временной области (а, б) и двумя переменными в фазовой плоскости в – нейтрально устойчивая, г – неустойчивая, д – асимптотически устойчивая чем ближе действительная часть корней системы к границе правой полуплоскости, тем большее влияние они оказывают на переходной процесс, такие корни принято называть доминирующими. Точность – в установившемся режиме система должна поддерживать заданное значение выхода системы, причем ошибка (разница между заданным и фактическим значением) не должна превышать допустимую. Оценивается точность обычно для одного из эталонных входных сигналов, в качестве которых используют: единичную функцию 1(t), дельта-функцию (t), линейно возрастающий сигнал или гармонический сигнал. Для стохастической системы, в которой все процессы имеют случайный характер, точность оценивается с помощью математического ожидания и дисперсии ошибки. Система регулирования называется астатической по отношению к возмущающему воздействию, если при воздействии, стремящемся с течением времени к некоторому установившемуся постоянному значению, отклонение регулируемой величины стремится к нулю вне зависимости от величины воздействия. Качество переходных процессов – при смене заданного значения система должна переходить в нужное состояние по возможности быстро и плавно. Оценивается качество переходных процессов обычно по переходной характеристике. При этом рассматривается время переходного процесса tп и перерегулирование максимальное превышение выходной величиной установившегося значения). Обычно увеличение быстродействия приводит к увеличению перерегулирования. Качество системы оценивается также по частотной характеристике. Робастность – система должна сохранять устойчивость и приемлемое качество даже в том случае, если параметры объекта и свойства внешних возмущений немного отличаются от тех, что использовались при проектировании. Другими словами, система должна быть нечувствительна к малым ошибкам моделирования объекта и возмущений. Различают робастную устойчивость и робастное качество. При синтезе систем по желаемой передаточной функции робастность может быть нарушена [8], если правый полюс передаточной функции объекта компенсируется правым нулем передаточной функции регулятора, а правый нуль объекта — правым полюсом регулятора. 3.5. Вопросы по теме 1. Для определения передаточной функции ошибки по задающему воздействию WX,G(p) нарисовать структурную схему системы управления с отрицательной обратной связью, содержащую три последовательных звена W1, W2, W3. 2. Для определения передаточной функции ошибки по возмущающему воздействию WX,Q(p) нарисовать структурную схему системы управления с отрицательной обратной связью, содержащую четыре последовательных звена W1, W2, W3,W4. 3. Охарактеризовать структурную схему с позиций теории графов. 4. Привести описание частотных интервалов для системы а) с глубокой обратной связью; б) с отрицательной обратной связью; в) с положительной обратной связью; г) с незначительной обратной связью. 5. Вывести правило получения передаточной функции системы с обратной связью по известным передаточным функциям системы без обратной связи. 6. Используя звено с интегральной передаточной функцией получить систему с дифференциальной передаточной функцией. 7. Перечислите требования к системе управления. 8. Укажите факторы, влияющие на устойчивость системы 9. Поясните разницу между устойчивостью и асимптотической устойчивостью. Приведите примеры. 10. Дайте определение статической и астатической систем. 11. Вывести степень влияния коэффициента обратной связи на устойчивость заданной системы с безынерционным звеном обратной связи. 12. Каким звеном можно аппроксимировать в первом приближении систему с чистым запаздыванием. Тема 4. УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ Содержание темы. Понятие об устойчивости системы. Корневые методы определения устойчивости. Линеаризация и устойчивость по Ляпунову. Критерии устойчивости. Алгебраический критерий устойчивости Гурвица. Применение критериев устойчивости для электропривода. Частотные критерии устойчивости Михайлова и Найквиста. Диаграммы Найквиста и Николса. Логарифмический частотный критерий устойчивости. 4.1. Корневые методы определения устойчивости Понятие об устойчивости систем. Понятие устойчивости системы регулирования связано со способностью возвращаться в состояние равновесия после исчезновения внешних сил, которые вывели систему из этого состояния. Система называется устойчивой, если из возмущенного состояния равновесия она перейдет в некоторую конечную область, окружающую невозмущенное состояние равновесия. Понятие устойчивости можно распространить и на случай движения некоторой системы. Пусть ее состояние определяется независимыми координатами u1 (t), u2 (t), …un (t). Заданное движение системы определяется некоторым законом изменения координат: u1,0(t), u2,0(t), …, un,0 (t). Аналогично случаю равновесия заданное движение можно назвать невозмущенным движением. Приложение внешних сил к рассматриваемой системе вызовет отклонение действительного движения от заданного: u1 (t) ≠u1,0(t), u2 (t) ≠ u2,0 (t) и т.д. Это движение будет возмущенным. Заданное невозмущенное движение будет устойчивым, если в результате приложения внешних сил, которые затем снимаются, возмущенное движение по истечении некоторого времени войдет в заданную область: |u1 (t) − u1,0(t) | ≤ εi (i = 1, 2, …, n). Рассмотрим вопрос устойчивости более подробно применительно к линеаризованной системе регулирования. Дифференциальное уравнение системы c одним входом и одним выходом относительно входного воздействия x(t)=x и выходной величины y(t)=y может быть записано (2.1) а0 (dny /dtn) + a1(dn-1y / dtn-1) + … + an-1(dy /dt) + any = b0 (dmx /dtm) + b1(dm-1x / dtm-1) + … + bm-1(dx /dt) + bmx. Алгебраизированная форма записи для регулируемой величины у(t) при наличии задающего воздействия x(t)=g(t) и равном нулю возмущающем воздействии q(t) будет иметь вид: (а0sn +а1sn−1+…+аn−1s+аn) у(t) =b0sm +b1sm-1+…+bm-1s+ bm) g(t), (4.1) где a0 ,… , an и b0 , … , bm постоянные, s= d /dt оператор дифференцирования. Характер переходных процессов в системе определяется видом левой части дифференциального уравнения (4.1). Поэтому для определения качественной картины переходных процессов является практически безразличным записать ли исходное дифференциальное уравнение для задающего или возмущающего воздействия. Процесс регулирования определяется решением дифференциального уравнения как сумма двух решений – частного (вынужденного) решения ув(t) неоднородного уравнения (4.1) с правой частью и общего (переходного) решения уп (t) уравнения (4.1) без правой части: y (t) = ув(t) + уп (t) Система будет называться устойчивой, если с течением времени при t→∞ переходная составляющая будет стремиться к нулю уп (t)→ 0. Находим решение для переходной составляющей. Для этой цели необходимо решить дифференциальное уравнение (4.1) без правой части а0 (dny /dtn) + a1(dn-1y / dtn-1) + … + an-1(dy /dt) + any = 0 (4.2. а) Общее решение ищется в виде уп (t) = Сеδt. Дифференцируя это выражение n раз, и подставляя в дифференциальное уравнение без правой части, получаем после сокращения на общий множитель Сеδt а0δn + а1δn-1 +… + an-1δ + an = 0 (4.2. б) Полученное алгебраическое уравнение называется характеристическим. Его корни δ1, …, δn будут определять характер переходного процесса в системе. Так как в решении характеристического уравнения содержится n корней, то переходная составляющая может быть записана в виде уп (t) = + + … + , (4.3) где 1 … n – корни характеристического уравнения (4.2. б), С1 …Сn – постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий. Корни характеристического уравнения определяются только видом левой части уравнения (4.1). Постоянные интегрирования определяются с учетом правой его части. Поэтому скорость затухания и форма переходного процесса определяются как левой, так и правой частями исходного дифференциального уравнения. Поскольку в понятие устойчивости системы входит только факт наличия или отсутствия затухания переходного процесса (независимо от скорости затухания и формы переходного процесса), то устойчивость линейной системы не зависит от вида правой части дифференциального уравнения (4.1) и определяется только характеристическим уравнением (4.2. б). Корневые методы определения устойчивости системы. Чтобы определить, устойчива система или нет, нет необходимости решать характеристическое уравнение и определять его корни. Выясним, какие свойства корней необходимы и достаточны для того, чтобы система была устойчивой. Корни могут быть вещественными, комплексными и чисто мнимыми, соответствующие переходные процессы показаны на рис.4.1. Рис. 4.1. Переходные процессы для различных корней характеристического уравнения динамической системы а – вещественные корни, б, в – комплексные корни с положительной (в) и отрицательной (б) вещественной частью, г – чисто мнимые корни Следовательно, для затухания переходного процесса необходимо, чтобы вещественные части корней были отрицательными. Это относится как к вещественным, так и к комплексным корням. Если хотя бы один корень характеристического уравнения будет иметь положительную вещественную часть, то переходный процесс в целом будет расходиться, т.е. система окажется неустойчивой. Корни характеристического уравнения можно представить в виде точек на комплексной плоскости, как это сделано на рис.4.2. Рис.4.2. Расположение корней характеристического уравнения устойчивой динамической системы на комплексной плоскости Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни лежали слева от мнимой оси плоскости корней. Если хотя бы один корень окажется справа от мнимой оси, то система будет неустойчивой. Таким образом, мнимая ось представляет собой граничную линию в плоскости корней, за которую не должны переходить корни характеристического уравнения. Вся левая полуплоскость представляет собой при этом область устойчивости. Превращение устойчивой в неустойчивую систему произойдет в том случае, если хотя бы один вещественный вид или пара комплексных корней перейдет из левой полуплоскости в правую. Границей перехода будет так называемая граница устойчивости системы. Система будет находиться на границе устойчивости при наличии: 1) нулевого корня; 2) пары чисто мнимых корней; 3) бесконечного корня. Если дифференциальное уравнение (4.1) может быть записано в алгебраизированном виде (а0sn-1 +а1sn−2+…+аn−1)sу(t) =b0sm +b1sm-1+…+bm-1s+ bm) g(t), то система будет устойчивой не относительно регулируемой величины у(t), а относительно ее скорости изменения dy(t)/dt. Величина же отклонения регулируемой величины y(t) может принимать произвольные значения. Такую систему называют нейтрально устойчивой, имея в виду ее безразличие к значению самой регулируемой величины. На границе устойчивости второго типа, которая называется колебательной границей устойчивости, два корня попадают на ось мнимых. Система в этом случае будет иметь незатухающие гармонические колебания с постоянной амплитудой (рис.4.1г, рис.2.5 г). Линеаризация систем и устойчивость. Ни одна реальная система автоматического регулирования не является строго линейной. Линейные характеристики звеньев и линейные дифференциальные уравнения получаются путем линеаризации реальных характеристик и уравнений. Звено может быть линейным и нелинейным. В случае нелинейных звеньев принято их линеаризировать в области малых изменений, т.е. заменять их приближенно некоторым линейным звеном, поведение которого достаточно близко к поведению исходного звена. На рис.4.3 показана процедура линеаризации. При этом необходимо помнить, что достаточно точные результаты возможны только в области малых изменений входной X и выходной Y величин от некоторого исходного состояния (x0, y0), для которого выполнена линеаризация. В качестве исходного состояния чаще всего выбирают установившийся режим. Таким образом, мы ограничимся рассмотрением линейных динамических звеньев. Рис. 4.3. Линеаризация нелинейного элемента При разложении в ряд Тейлора удерживались линейные члены и отбрасывались члены высших порядков, которые для малых отклонений считались пренебрежимо малыми. Обоснование законности такой линеаризации содержится в теоремах Ляпунова. 1) Если характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет все корни с отрицательными вещественными частями, то реальная система будет также устойчивой, т.е. малые нелинейные члены не могут нарушить устойчивость системы. 2) Если характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет хотя бы один корень с положительной вещественной частью, то реальная система будет неустойчивой, т.е. малые нелинейные члены не могут придать системе устойчивость. 3) При наличии нулевых и чисто мнимых корней поведение реальной системы не всегда даже качественно определяется ее линеаризованными уравнениями. При этом даже малые нелинейные члены могут коренным образом изменить вид переходного процесса, сделав систему устойчивой или неустойчивой. Нахождение корней характеристического уравнения (4.2 б), при его высоком порядке, представляет собой трудно решаемую проблему. Желательно иметь критерии, с помощью которых можно судить об устойчивости системы непосредственно по коэффициентам характеристического уравнения, без вычисления корней. Эти критерии называются алгебраическими критериями устойчивости или критериями Рауса-Гурвица. Необходимым условием устойчивости системы является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения. Необходимое условие устойчивости является и достаточным для уравнений первого и второго порядков. Были также найдены критерии на основе анализа передаточных частотных характеристик. Для анализа систем возможно применение различных критериев устойчивости. Прямое использование критериев Рауса-Гурвица целесообразно для уравнений не выше четвертого порядка. Использование этих критериев в алгоритмической форме целесообразно с использованием прикладных пакетов программ для систем не выше 15-го порядка. Критерии Михайлова и Найквиста целесообразно применять при более сложных системах, включая многоконтурные системы. 4.2. Критерий устойчивости Гурвица Критерии устойчивости. Нахождение корней характеристического уравнения (4.2 б) при его высоком порядке, представляет собой трудно решаемую проблему. Алгебраический критерий был предложен математиком Раусом (1877 г.) в алгоритмической форме. Математик Гурвиц в 1895 году сформулировал этот критерий в форме определителей. Необходимым условием устойчивости системы является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения. Необходимое условие устойчивости является и достаточным для уравнений первого и второго порядков. Критерий устойчивости Гурвица. Большое распространение получил критерий устойчивости, сформулированный А.Гурвицем в 1895 г. Для характеристического уравнения а0δn + а1δn-1 +… + an-1δ + an = 0 составляется квадратная матрица (таблица) коэффициентов, содержащая n строк и n столбцов: a1 a3 a5 … 0 0 a0 a2 a4 … 0 0 0 a1 a3 … 0 0 0 a0 a2 … 0 0 …………………………… 0 0 0 … an-1 0 0 0 0 … an-2 an Таблица составляется следующим образом. По диагонали от левого верхнего до правого нижнего углов выписываются все коэффициенты по порядку от a1 до an . Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающими индексами слева направо так, чтобы чередовались строки с нечетными и четными индексами. В случае отсутствия данного коэффициента, а также, если индекс его меньше нуля или больше n, на его месте пишется нуль. Критерий устойчивости сводится к тому, что при a0> 0 должны быть больше нуля все n определителей Гурвица, получаемые из квадратной матрицы коэффициентов. Определители Гурвица составляются по следующему правилу: ∆1 = a1 , | a1 a3 | ∆2 = | | | a0 a2 | | a1 a3 a5 | ∆3= | a0 a2 a4 | | 0 a1 a3 | Условия нахождения системы на границе устойчивости можно получить, приравнивая нулю последний определитель: ∆n = 0, при положительности всех остальных определителей. Это условие распределяется на два условия: αn = 0 и ∆n-1 = 0. Первое условие соответствует границе устойчивости первого типа (апериодическая граница устойчивости) и второе – границе устойчивости второго типа (колебательная граница устойчивости). Все корни полинома а0δn + а1δn-1 +… + an-1δ + anимеют отрицательные вещественные части тогда и только тогда, когда все n главных миноров матрицы n х n (определителей Гурвица) положительны Раскрывая определители, фигурирующие в общей формулировке критерия устойчивости Гурвица, можно получить в виде частных случаев критерии устойчивости для систем третьего и более высоких порядков. Для уравнения третьего порядка a0р2 + a1р2 + a2р + a3 = 0. Для этого уравнения получаем условия a0> 0, ∆1 = a1> 0, | a1 a3 | ∆2 | | = a1a2 – a0a3> 0. | a0 a2 | Третий (последний) определить ∆3 дает условие a3> 0. Условие ∆2> 0 при a0> 0, a1> 0 и a3> 0 может выполняться только при a2> 0. Следовательно, для уравнения третьего порядка уже недостаточно положительности всех коэффициентов характеристического уравнения. Требуется еще выполнение определенного соотношения между коэффициентами: a1a2>a0a3. Существенным недостатком критерия Гурвица является то, что критерий не дает ответа на то, каким образом надо изменять параметры неустойчивой системы, чтобы сделать ее устойчивой. Для иллюстрации применения критерия Гурвица рассмотрим пример на определение устойчивости автоматической системы. Принципиальная и структурная схемы изображены на рис.4.4. Анализ устойчивости электромеханического привода по критерию Гурвица. Система электропривода представляет собой двигатель М, скорость вращения которого задается регулятором Р через управляемый выпрямитель В. Выпрямитель питается от внешней сети неограниченной мощности Uп. Скорость двигателя измеряется датчиком Д. Передаточная функция простейшего пропорционального регулятора W1 (p) = k1 = Uy / U, где Uз – напряжение, пропорциональное требуемой скорости двигателя з, U = UЗ − UОС – ошибка, равная разности между заданием и сигналом обратной связи. Рис.4.4.Пример автоматической системы P – регулятор, В – управляемый выпрямитель, М – двигатель, Д–датчик скорости Передаточная функция управляемого выпрямителя, с учетом упрощений: W2 (p) = UД / UУ= к2 / (1 + Ту р), где к2 - коэффициент усиления и Ту – постоянная времени выпрямителя. Передаточная функция двигателя Д, (рад/с)/В: W3 (p) =  / UД = к3 / [р(1 + Тм р)], где к3 –коэффициент передачи двигателя с нагрузкой по скорости, Тм – электромеханическая постоянная времени двигателя. Передаточная функция датчика скорости, в случае, если рассматривать его как безынерционное пропорциональное звено, равна его коэффициенту передачи: W4 (p) =Uос/= к4. Так как цепь регулирования состоит из включенных последовательно звеньев, то передаточная функция разомкнутой системы будет равна произведению передаточных функций отдельных звеньев: W(p) =W1 (p)W2 (p) W3 (p) W4 (p) = К / [р (1 + Ту р) (1 + Тм р)], (4.4) где К=к1 к2 к3 к4– общий коэффициент усиления разомкнутой системы. Характеристическое уравнение замкнутой системы: 1+ W (p) = 0. После подстановки W (p) получаем: Ту Тм р3 + (Ту + Тм) р2 +р+ К = 0. (4.5) В данном случае характеристическое уравнение имеет третий порядок. Условие положительности всех коэффициентов выполняется всегда, если выполнено условие К>0, что будет при правильном согласовании направления вращения двигателя со знаком рассогласования. Условие a1a2>a0a3, при подстановке значений коэффициентов (a0 = Ту Тм, a1 = Ту + Тм, a2 = 1 и a3 = К), дает неравенство: К< 1/Ту + 1/ Тм , которое и является условием устойчивости рассматриваемой системы. Из этого неравенства, можно заметить, что увеличение каждой постоянной времени сказывается отрицательно на устойчивости системы, так как при этом снижается предельное значение общего коэффициента усиления К, при котором система еще остается устойчивой. Области устойчивости в плоскости параметров для рассматриваемого примера показаны на рис. 4.5. Рис. 4.5. Области устойчивости в плоскости параметров для системы рис. 4.4 4.3. Критерий устойчивости Михайлова Критерий сформулирован и обоснован в 1936 году русским ученым А.В. Михайловым. Критерий Михайлова позволяет оценивать устойчивость как замкнутых, так и разомкнутых систем и подробно изложен в его работе "Гармонический метод в теории регулирования" (1938 г.). Уравнению линеаризированной динамической системы (4.1), записанной во временной области с помощью оператора s=d/dt соответствует уравнение в области комплексной переменной p = +j, которое может быть записано следующим образом (а0pn +а1pn−1+…+аn−1p+аn) Y(p) =b0pm +b1pm-1+…+bm-1p+ bm) G(p) Характеристический полином данного уравнения имеет вид: D(p)= den(p)= а0pn+ а1pn−1+…+аn−1p+аn (4.6) Подставим в этот полином чисто мнимое значение р = јω, где ω представляет собой угловую частоту колебаний, соответствующую чисто мнимому корню характеристического уравнения. При этом получим характеристический комплекс: D(јω) = U(ω) + јV(ω) = D(ω) ејψ(ω) (4.6.а) Функции D(ω) и ψ(ω) представляют собой модуль и фазу (аргумент) характеристического комплекса, а U(ω) и V(ω) – вещественную и мнимую его части. U (ω) =an − an-2ω2 + …, (4.7) V (ω) = an-1ω − an-3ω3 + … , (4.8) Для устойчивости системы n-го порядка (включая системы с замкнутой обратной связью) необходимо и достаточно, чтобы вектор характеристического комплекса D (јω), описывающий кривую Михайлова для системы, при изменении ω от нуля до бесконечности имел угол поворота относительно начала координат Ψ = n ·π/2 Практически кривая Михайлова строится по точкам, причем задаются различные значения частоты ω и по формулам (4.7) и (4.8) вычисляются U(ω) и V(ω). Пример кривой Михайлова показан на рис.4.6. Рис.4.6. Кривая Михайлова (годограф характеристического комплекса) Если характеристическое уравнение будет иметь k корней с положительной вещественной частью, то каковы бы ни были эти корни (вещественные или комплексные), им будет соответствовать сумма углов поворотов равная k π/2. Всем остальным n−k корням характеристического уравнения, имеющим отрицательные вещественные части, будет соответствовать сумма углов поворотов, равная (n− k) π/2. В результате общий угол поворота вектора D (јω) при изменении ω от нуля до бесконечности будет Ψ = (π−k) π/2 −k π //2 = nπ/2 −k π (4.9) Этим выражением и определяется связь между формой кривой Михайлова и знаками вещественных частей корней характеристического уравнения. Примеры кривых Михайлов для различных систем приведены на рис.4.7. Рис.4.7. Кривые Михайлова для устойчивых (а) и неустойчивой (б) систем, на границе апериодической (в) и колебательной (г) устойчивости В случае границы устойчивости первого типа (нулевой корень) отсутствует свободный член характеристического полинома αn = 0 и кривая Михайлова идет из начала координат (рис.4.7 в). При границе устойчивости второго типа (колебательная граница) левая часть характеристического уравнения, т.е. характеристический полином (4.6.а) обращается в нуль при подстановке р = јω0: D (јω0) = U (ω0) + јV (ω0) =0. Отсюда U(ω0) = 0, V(ω0) = 0. Это значит, что точка ω = ω0 на кривой Михайлова попадает в начало координат (рис.4.7 г). При этом величина ω0 есть частота незатухающих колебаний системы. Применим критерий Михайлова для определения устойчивости автоматической системы (рис.4.4). Из характеристического уравнения замкнутой системы (4.5) определяем характеристический полином и характеристический комплекс D (p) = TyTм р3 + (Ту + Тм) р2 + р+ К D (јω) = K + јω−ω2 (Ту + Тм)− јω3TyTм. (4.10) Вещественная и мнимая части характеристического комплекса: U(ω) = К−ω2 (Ту + Тм), V(ω) = ω−ω3TyTм. (4.11) Примерный вид кривой Михайлова для случая устойчивой системы при an=K изображен на рис.4.6. На рисунке отмечены значения частот, при которых равны нулю вещественная или мнимая части характеристического комплекса, это  Найдем условие устойчивости из требования чередования корней согласно кривой Михайлова 0 = ω1<ω2<ω3. Корень ω2 находится из уравнения U(ω) = 0: ω2 = . Отсюда имеем первое условие устойчивости К> 0. Корень ω3находится из уравнения V(ω) = 0: ω3 = . (4.12) Подставляя эти значения в требуемое условие ω2<ω3, получаем второе условие устойчивости системы, которое, совпадает с условием устойчивости, полученным по критерию Гурвица. К< 1 / Ту + 1 / Тм, (4.13) 4.4. Критерий устойчивости Найквиста Данный критерий был разработан американским ученым Найквистом в 1932 году и позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по виду амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы. Рассмотрим систему с обратной связью, показанную на рис. 4.8. Рис. 4.8. Система с разомкнутой обратной связью (а) и ее амплитудно-фазовая характеристика (б) G – управляющее воздействие Передаточная функция разомкнутой системы (рис.4.8) может быть представлена в виде W(p)=Xос(p)/X(p)=Wо(p)Wос(p)=num(p) / den(p) = =(b0pm + b1pm-1 +…+ bm)/(c0pn + c1pn-1 +…+ cn)=B(p)/C(p), m≤n(4.14) При подстановке р=јω получается частотная передаточная функция разомкнутой системы W(јω) = Xос(јω)/X(јω)=B(j)/C(j)= A (ω) ejψ(ω) =U(ω) + jV(ω) (4.15) Модуль A(ω) частотной передаточной частотной функции W (јω) представляет собой отношение амплитуд гармонических колебаний выходной Xос(јω) и входной X(јω) величин, а аргумент – сдвиг фаз этих колебаний ψ(ω). Если изменить частоту входного воздействия от − ∞ до + ∞ и откладывать на комплексной плоскости точки, соответствующие получающимся комплексным числам, то геометрическое место этих точек образует амплитудно-фазовую характеристику разомкнутой системы (рис.4.8 б). Ветвь этой характеристики, соответствующая отрицательным частотам, является зеркальным отражением ветви соответствующей положительным частотам, относительно вещественной оси. На амплитудно-фазовой характеристике для удобства могут отмечаться точки, соответствующие определенным частотам, например ω1, ω2, и т.д. Вдоль кривой иногда рисуют стрелки, которые показывают направление возрастания частоты ω. В реальных системах всегда удовлетворяется условие m34 (а) и 34<12 (б); в – расположение комплексно-сопряженных полюсов систем: и  Линии постоянной колебательности – это лучи, выходящие из начала координат. При проектировании систем обычно требуется обеспечить быстродействие не ниже заданного (степень устойчивости не меньше заданной ηmin) и колебательность не выше заданной μmax. Эти условия определяют усеченный сектор на комплексной плоскости рис. 5.6. 5.3. Вопросы по теме 1. Перечислите показатели качества автоматических систем 2. Укажите передаточные функции системы по ошибке регулирования относительно управляющего (задающего) и относительно возмущающего воздействий. 3. Сформулируйте различия между статической и астатической системами. 4. Приведите выражения для установившихся ошибок системы для управляющего воздействия g(t)=g0+g1∙t+g2∙t2 . 5. Назовите временные и частотные показатели качества переходного процесса. 6. Приведите связь между корневыми и временными показателями качества. Тема 6. СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ И СИНТЕЗ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ Содержание темы. Общие принципы управления. Управление по возмущению, по отклонению, комбинированное управление. Типовые структурные схемы управления, рассматриваемые в пакете MatLab. Понятие синтеза систем автоматического управления. Передаточные функции систем по ошибке и по управляющему и возмущающим воздействиям. Свойства логарифмической амплитудно-частотной характеристики. Сравнение переходных процессов при различных видах регуляторов. 6.1.Общие принципы управления По месту регулятора в структурной схеме можно выделить разомкнутое, замкнутое и комбинированное управление выходом или состоянием. Управление по возмущению (разомкнутое управление) - регулятор компенсирует возможное искажение задания путем ввода в контур прямой связи передаточной функции обратной передаточной функции объекта: Wp(p)=1/Wo(p). Структурная схема подобного регулятора приведена на рис.6.1 а). Управление по возмущению соответствует функциональной схеме автоматического регулятора с упреждающим регулированием, показанной на рис.1.6 б). Рис. 6.1. Структура устройств автоматического управления а – разомкнутая, б – замкнутая, в – комбинированная (с подачей команды вперед), г – с обратной связью и входным фильтром Рассмотрим пример регулятора Wр(p), обеспечивающий стабилизацию объектаWo(p) в разомкнутой системе автоматического управления. Пусть передаточная функция объекта имеет вид Wo(p)=. Передаточная функция регулятора, обеспечивающего стабилизацию объекта при разомкнутой системе управления Wр(p)=; Где d1=1/Ko, d2=(T1+T2)/Ko, d3=T1·T2/Ko. В этом случае коэффициент передачи системы управления при условии неизменности параметров объекта регулирования получим W(p)=Y(p)/G(p)=Wp(p)·Wo(p)=1. Достоинствами управления по возмущению являются [16]: отсутствие проблем с устойчивостью системы и возможность добиться полной инвариантности к определенным возмущениям. К недостаткам относят необходимость построения отдельного канала для каждого возмущения, появление ошибок управления при изменении параметров объекта управления и необходимость досконального знания объекта управления. Кроме того регуляторы данного типа имеют в своем составе дифференцирующие звенья, которые очень трудно реализовать на практике. Управление по отклонению (замкнутое управление) вводит в структуру системы контур обратной связи и регулятор Wр(р) выбирается из условия уменьшения ошибки X (рис.6.1 б).Функциональная схема приведена на рис.1.6 а). Достоинства данного способа управления: ошибка уменьшается не зависимо от факторов ее вызвавших (изменений параметров регулируемого объекта или внешних условий). Недостатками является необходимость обеспечения устойчивости системы. Вариантом управления по отклонению является использование входного фильтра для задающего воздействия (рис. 6.1 г, 6.2 б) Комбинированное управление обеспечивает наилучшую точность. Структурная схема данного управления представлена на рис. 6.1 в). Функциональная схема комбинированного управления приведена на рис.1.6 в). В этом виде управления вводятся в систему два регулятора, один Wр1(р) вводится в контур, замкнутый обратной связью, а второй Wр2(р) в прямой контур (подача команды вперед). Наличие отрицательной обратной связи снижает чувствительность системы к изменению параметров регулируемого объекта. Добавление канала, чувствительного к заданию или к возмущению (см. рис. 1.6 в), не влияет на устойчивость контура обратной связи. Проблемой является затруднения при физической реализации требуемых дифференцирующих (форсирующих) звеньев и ограниченность возможностей форсированного управления объектов, как правило, имеющих насыщение. В [12] показано, что структуры, показанные на рис.6.1 б, в, г), могут быть эквивалентно преобразованы друг в друга. На рис.6.2 приведены возможные эквивалентные схемы регулятора. При синтезе регулятора, вначале выбирается регулятор Wp(p), а затем осуществляется подбор желаемой передаточной функции за счет выбора параметров WОС(p), Wp2(p) либо WF(p). Рис. 6.2. Эквивалентные структурные схемы регуляторов Wр(р) ,Wо(р),WОС(р) – передаточные функции регулятора, объекта управления и звена обратной связи; W(р) = Wр(р) · Wо(р) / (1+Wр(р) · Wо(р)· WОС(р)) – передаточная функция замкнутой системы по задающему воздействию; схемы: стандартная (а), с предварительным фильтром (б), с выделением объекта управления (в) На рис.6.3, 6.4 приведены структуры регуляторов, предлагаемых функцией sisotool() пакета MatLab. Пакет MatLab изначально был позиционирован для решения задач теории автоматического управления и в настоящее время активно поддерживается разработчиками. Предлагаемые данным пакетом решения могут служить ориентиром, о практически применяемых в настоящее время методах и методиках анализа и синтеза систем автоматического регулирования. a) б) в) Рис. 6.3. Структурные схемы регуляторов, предлагаемых функцией sisotool () MatLab а)б)в) Рис. 6.4. Структурные схемы регуляторов, предлагаемых функцией sisotool () MatLab Структура системы автоматического регулирования САР на рис. 6.3 а) содержит входной фильтр F, регулятор (контроллер) C, объект управления G, и датчик обратной связи H. Возможно приложение к системе задающего воздействия r, возмущающих воздействий на управляемую систему du и на выходную величину dy, а также возмущающего воздействия на регулятор n. Интерфейс рассматриваемой функции sisotool() позволяет задавать требуемые передаточные функции для всех элементов схемы. Как правило, заданными являются объект управления G и датчик обратной связи H. Контроллер С и входной фильтр F позволяют получить заданное качество переходных процессов при изменении их параметров. САР на рис. 6.3 б) в отличие от рис.6.3 а) содержит контроллер, включенный цепь обратной связи. На рис.6.3 в) представлена структурная схема, соответствующая комбинированному управлению. В этой схема фильтр F представляет собой канал упреждающего управления, а контроллер С – регулятор по отклонению. Система автоматического регулирования, содержащая два контура управления одной контролируемой величины Y показана на рис.6.4 а). Контроллер С2 представляет регулятор внутреннего (подчиненного) контура управления, контроллер С1 – внешний регулятор. На рис.6.4 б) показана система управления, в которой внешние возмущения воздействуют на часть управляемого объекта G1, в то время как другая часть этого объекта G2 не подвержена возмущающим воздействиям и представляет собой модель этого объекта. Сигнал рассогласования между выходной величиной объекта G1 и его модели G2 представляет собой ошибку, которая и выдается в качестве сигнала обратной связи на контроллер С. Задающее воздействие rпредварительно обрабатывается фильтром F. Двухконтурная система управления объектом, у которой имеется две регулируемых величины, приведена на рис.6.4. в). Внутренний контур регулирования с регулятором С2 стабилизирует значение выходной величины y2. Этот контур отрабатывает возмущения части объекта управления G1, имеющего малые постоянные времени. Внешний контур управления содержит часть объекта управления с большими постоянными времени и управляется регулятором (контроллером) С1. Входное задание r1 предварительно обрабатывается фильтром F. 6.2. Синтез систем автоматического управления Методы оценки устойчивости и качества регулирования относятся к задачам анализа. При анализе структура и параметры системы автоматического управления известны и требуется определить качество регулирования. Задача синтеза – определение структуры и параметров системы, обеспечивающих заданное качество регулирования. Существует несколько методов синтеза регуляторов [3, 9, 12]: корневые методы, метод стандартных переходных характеристик, метод логарифмической амплитудной частотной характеристики (ЛАЧХ), метод частотных критериев качества, методы моделирования на компьютерах. Анализ различных типов регуляторов рассмотрен в [8, 12, 15]. Около 90% регуляторов, используемых в промышленности, – пропорциональные интегрально-дифференциальные регуляторы. Практика их применения изложена в [14]. В отдельных случаях используются также регуляторы имеющие порядок от 8 до 15 [12], что позволяет им получить лучшее подавление возмущающих воздействий в области рабочих частот по сравнению с ПИД-регуляторами. Ограничимся рассмотрением одноканальных одноконтурных систем управления, обеспечивающих стабилизацию и слежение выходного сигнала. Системы управления в этом случае имеют регулятор выхода[2]. На практике задают не только критерии качества регулирования, но также структуру и параметры основной части САУ. Задача синтеза сводится к определению структуры и параметров дополнительной части САУ, обеспечивающей выполнение требований к устойчивости и качеству регулирования. К неизменной части САУ относят (см. рис.1.1) объект управления и основные функциональные элементы – исполнительные устройства и датчики, выбранные в соответствии с техническим заданием. К дополнительной части САУ обычно относят регулятор и корректирующие цепи. Рассмотрим структурную схему системы автоматического управления (регулирования) с обратной связью, приведенную на рис.6.5. Рис. 6.5. Структурная схема системы автоматического управления Wр(р) – регулятор; Wо(р) – объект управления; WОС(р) – датчик обратной связи; G–задающее воздействие; X–ошибка регулирования, Xp– регулирующее воздействие; Y–управляемая выходная переменная; Q, P–возмущающие воздействия Для схемы, представленной на рис.6.5, выделим следующие передаточные функции: Передаточная функция разомкнутой системы W(p)=Wp(p)Wо(p)WОС(p) Передаточная функция замкнутой системы для задающего воздействия G(p) WG(p)=Y(p)/G(p)=Wp(p)Wо(p)/[1+ W(p)] ≈ 1/WOC(p) Передаточная функция замкнутой системы для возмущающего воздействия G(p) WQ(p)=Y(p)/Q(p)=Wо(p)/[1+ W(p)] Передаточная функция замкнутой системы для возмущающего воздействия P(p) WP(p)=Y(p)/P(p)=1/[1+ W(p)] Передаточная функция ошибки X(p) замкнутой системы по задающему воздействию G(p) WX,G(p)=X(p)/G(p)=1/[1+ W(p)] ≈ 1/W(p) Передаточная функция ошибки X(p) замкнутой системы по возмущающему воздействию G(p) WX,Q(p)=X(p)/Q(p)=-Wo·WОС/[1+ W(p)] . Передаточная функция ошибки X(p) замкнутой системы по возмущающему воздействию P(p) WX,P(p) = X(p)/P(p) = - WОС / [1+ W(p)] Для линейных САУ задачи синтеза в простых случаях решают аналитически, используя передаточные функции. В более сложных случаях и для линеаризованных систем задачи синтеза решают с помощью логарифмических частотных характеристик. Ниже рассмотрено применение метода логарифмической амплитудной частотной характеристики, ЛАЧХ для проектирования систем с обратной связью. 6.3.Метод амплитудной фазовой частотной характеристики Метод основан [9] на двух свойствах ЛАФЧХ: 1) логарифмические амплитудные и фазовые частотные характеристики для последовательного соединения двух звеньев (например, регулятора и объекта управления) равны сумме ЛАЧХ и ЛФЧХ этих блоков; 2) если передаточная функция объекта не имеет неустойчивых нулей и полюсов (т.е. нет корней с положительной вещественной частью), то амплитудная частотная характеристика однозначно определяет фазовую, а объект называют минимально-фазовым; отсюда следует что можно свести выбор регулятора к изменению только амплитудной характеристики нужным образом. Звено такого типа называют минимально-фазовым. Для решения задачи требуется: 1) выбрать желаемую ЛАЧХ так, чтобы обеспечить устойчивость и требуемое качество замкнутой системы; 2) по ЛАЧХ регулятора получить его передаточную функцию. Приблизительный вид желаемой ЛАЧХ показан на рис. 6.6. Постоянный сигнал можно рассматривать как предельный случай гармонического. Поэтому для обеспечения нулевой установившейся ошибки цепочка «регулятор-объект» должна иметь бесконечное усиление на нулевой частоте, то есть передаточная функция должна содержать интегратор. Обычно стремятся получить монотонный переходный процесс без перерегулирования. Такой процесс дает апериодическое звено. Передаточная функция апериодического звена равна передаточной функции интегратора, охваченного единичной обратной связью, что показано на рис.6.7. Рис. 6.6. Желаемая логарифмическая амплитудно-частотная характеристика L() и ее влияние на переходную характеристику h(t) error=20lg(Gmax/k) – максимальная ошибка при гармоническом возмущении; k –нормируемая частота возмущения по условию точности Рис.6.7 Апериодическое звено 1-го порядка как интегратор с обратной связью. Для получения монотонного переходного процесса ЛАЧХ разомкнутой системы должна быть похожа на ЛАЧХ интегратора – это прямая линия с наклоном –20 дБ/дек, которая пересекает ось абсцисс на частоте среза ωс=1/T. Для апериодического звена время переходного процесса примерно равно tп=3/c. Устойчивость и качество переходного процесса (время переходного процесса, перерегулирование) определяются формой ЛАЧХ в районе частоты среза, где она пересекает ось L = 0; эта область называется областью средних частот. Для получения качественного переходного процесса желательно, чтобы наклон ЛАЧХ около частоты среза был равен –20 дБ/дек. Высокочастотная область это область шумов. Поэтому для подавления помех и уменьшения влияния ошибок модели нужно, по возможности, уменьшать усиление системы в области высоких частот, то есть ЛАЧХ должна резко идти вниз. На рис. 6.6 показана типовая желаемая ЛАЧХ. Это асимптотическая ЛАЧХ, состоящая из отрезков. В выделенных точках стыкуются два отрезка разного наклона. На низких частотах она имеет наклон –20 дБ/дек, то есть система содержит интегратор, который обеспечивает нулевую ошибку в установившемся режиме. ЛАЧХ пересекает ось абсцисс под наклоном –20 дБ/дек. Для обеспечения устойчивости и приемлемого показателя колебательности М<1,2) точки излома ЛАЧХ должны находиться на расстоянии 6…16 дБ от оси абсцисс. Переходные процессы для различных типов регуляторов объекта с апериодической передаточной функцией показаны на рис. 6.9. Внешнее возмущающее воздействие представлено ступенчатой функцией q(t), приложенной к системе в момент времени t1. В системе автоматического управления с пропорциональным регулятором (П-регулятором) регулирующее воздействие пропорционально ошибке регулирования. Поэтому при наличии возмущающего воздействия регулируемая величина всегда будет отличаться от заданной. Интегральный регулятор (И-регулятор) будет сводить ошибку регулирования в ноль (приводит систему к астатической относительно задающего воздействия). Но это инерционный регулятор, поскольку его выходная величина представляет собой интеграл по времени от ошибки регулирования. В первый момент после наброса возмущения регулирующее воздействие и его первая производная будут равны нулям. Кроме того включения интегрального звена может вызвать в системе колебательные процессы. Интегральный регулятор рекомендуется [7] для систем, в которых критично требование к точности, а объект регулирования обладает значительно большим быстродействием, чем требуется для системы в целом. Рис.6.9. Переходные процессы при ступенчатом возмущающем воздействии для различных видов регуляторов П – пропорциональный, И – интегральный, ПИ – пропорционально-интегральный, ПД – пропорционально-дифференциальный Для ПИ регулятора пропорциональная составляющая регулирующего воздействия производит грубое регулирование, как в П-регуляторе, а интегральная составляющая сводит к нулю ошибку регулирования, как в И-регуляторе. График переходного процесса управляемой переменной у(t) в системе автоматического управления с ПИ-регулятором показан на рис.6.9 (линия «пи»). Из графика видно, что максимум перерегулирования Δymax примерно такой же, как в САУ с П-регулятором, но установившаяся ошибка равна нулю. Таким образом [8], включение пропорционально-интегрального регулятора превращает систему в астатическую, и с увеличением kи уменьшается скоростная ошибка, однако при этом ухудшается качество системы в переходном режиме, и с определенного kи система становится неустойчивой. Пропорционально-дифференциальные регулятор (ПД-регулятор) позволяет более интенсивно уменьшать ошибку регулирования, поскольку его дифференциальная часть реагирует на тенденцию (производную) ошибки. Введение ПД регулятора может сделать нестойчивую систему устойчивой. Поэтому его применение снижает перерегулирование, но установившая ошибка отлична от нуля, как в пропорциональном регуляторе. Пропорционально-интегрально-дифференциальный регулятор (ПИД-регулятор) обычно выполняется в виде последовательного включения ПИ- и ПД-регуляторов. Он имеет сложную настройку и чувствителен к высокочастотным помехам. 6.4. Вопросы по теме 1. Сформулируйте различия между замкнутой и разомкнутой системами управления и укажите достоинства и недостатки каждой из них. 2. Для системы управления с датчиком в цепи обратной связи привести эквивалентную структурную схему с единичной обратной связью. 3. Для заданных передаточных функций звеньев системы регулирования вывести условия эквивалентности различных структурных схем, отображенных на рис.6.3. 4. С какой целью используются регуляторы высокого порядка. 5. Вывести приближенную оценку передаточной функции замкнутой системы для задающего воздействия. Укажите условия, при которых эта приближенная оценка будет справедлива. 6. На логарифмической амплитудно-частотной характеристики укажите характерные диапазоны частот. 7. Сравните переходные характеристики различных стандартных регуляторов. 7.1. Методы расчета параметров регуляторов Расчет параметров регуляторов относится к процедуре синтеза системы автоматического управления. Обычно настраивают регулятор так, чтобы либо получить апериодический процесс, либо обеспечить минимальную длительность переходного процесса при приемлемом перерегулировании (обычно 20%). Используется также настройка регулятора по условию обеспечения минимума интегрального критерия качества. В качестве интегрального критерия J обычно используют интеграл по времени от квадрата ошибки регулирования. Зачастую объект управления в первом приближении аппроксимируется одной из передаточных функций: Где To, T1, T2– постоянные времени, ko - коэффициент передачи, время запаздывания. Множитель может быть в свою очередь разложен в ряд. При разложении в ряд Тейлора, в случае, если ограничиться одним членом ряда получаем , При разложении в ряд Пада для одного члена ряда При четырех членах ряда Пада Наибольшее влияние на динамику регулирования оказывает отношение величины запаздывания  к постоянной времени Tо объекта регулирования. Краткие сведения о настройке регуляторов имеются в [17]. Согласно этого источника оптимально настроенные регуляторы могут обеспечить отношение времени регулирования tp к времени запаздывания объекта  следующие показатели: П-регулятор – tp / = 6,5; для ПИ-регулятора – 12; для ПИД-регулятора – 7. Отношение запаздывания в объекте  к его постоянной времени T может использовано для выбора типа регулятора [17]. Так при/T<0,2 можно выбрать самый простой релейный регулятор, а если /T>1, то рекомендуется применять комбинированный способ регулирования (с подачей команды вперед, см. рис.6.1. в), что обычно осуществляется цифровыми регуляторами. Для грубой оценки параметров регуляторов могут использоваться эмпирические формулы в зависимости от коэффициента усиления объекта управления Kоу, времени запаздывания  и постоянной времени объекта управления T. Пример таких формул приведен в [17]. Существует несколько классических методов более точного синтеза САР [2]: корневой, корневых годографов, метод типовых переходных процессов, метод логарифмических амплитудных характеристик. Современные методы синтеза базируются на методе пространства состояний [3, 4]; операторный метод (метод желаемых передаточных функций) [7, 8]; метод прямого преобразования дифференциальных уравнений (обратной задачи динамики) [7, 8]. В корневом методе [2, 4, 16] рассматривается характеристическое уравнение системы. Принимается, что характер переходного процесса определяется двумя-тремя доминирующими корнями (полюсами, имеющими минимальное значение вещественной части). Из характеристического уравнения выделяют сомножитель второго-третьего порядка, имеющий доминирующие корни. Значения доминирующих корней задают таким образом, чтобы получить заданные параметры переходного процесса. Вводят в систему корректирующие звенья и подбирают их параметры таким образом, чтобы обеспечить полученные соотношения между доминирующими корнями. Метод рекомендуется для характеристического уравнения не выше четвертого порядка. Метод корневых годографов [2, 16] (В.Р. Эванс, 1948 г.) заключается в том, что отображают нули и полюса системы на комплексной плоскости в функции некоторого параметра или параметров. В качестве параметра часто выбирается общий коэффициент усиления системы, либо постоянная времени одного из звеньев. Затем строят годографы (траектории) корней при изменении выбранного параметра. Анализируя годографы, выбирают значения параметра, отвечающего наиболее подходящему размещению нулей и полюсов системы. Метод стандартных (типовых) переходных характеристик [2, 3, 7] заключает в построении переходных характеристик для типовых передаточных функций (2-го … 6-го порядка) в функции нормированной частоты. Нормированная частота представляет собой среднегеометрический корень характеристического управления. Выбирается приемлемый вид характеристики и для него вычисляются необходимые параметры Метод логарифмических амплитудных частотных характеристик [2, 5, 7, 16] (В.В.Солодовников) получил наибольшее распространение в инженерной практике. Метод работает для минимально-фазовых систем, в которых разомкнутая передаточная функция не имеет нулей и полюсов в правой полуплоскости. При расчете параметров регулятора с помощью логарифмических амплитудно-частотных характеристик предварительно задаются требуемой точностью и уровнем возможных сигналов и помех. Строится желаемая логарифмическая амплитудно-частотная характеристика и ЛАЧХ проектируемой системы регулирования (без учета корректирующих звеньев). Разность между желаемой и имеющейся ЛАЧХ определяет ЛАЧХ корректирующих звеньев. Затем рассчитывают параметры требуемых корректирующих звеньев. В данной теме приводятся начальные сведения по расчету параметров регуляторов. Более подробные сведения о расчете приведены в [2]. 7.2. Пропорциональный регулятор Анализ системы. В системе автоматического управления с пропорциональным регулятором (П-регулятором) регулирующее воздействие пропорционально ошибке регулирования х, вычисляемой как разность между задающим воздействием gи выходной величиной y, приведенной к задающему воздействию (kocy) xр = kпх = kп (g – kocy), (7.1) где kп – коэффициент усиления П-регулятора; koc – коэффициент преобразования датчика обратной связи. Регулирующее воздействие на объект управления будет тем сильнее, чем больше отклонение управляемой переменной y(t) от уровня, заданного управляющим воздействием g. Таким образом, в системе автоматического управления с П-регулятором в установившемся режиме всегда имеется отклонение управляемой переменной у от заданного уровня g, называемое ошибкой регулирования х. Пример системы, для которой может быть использован пропорциональный регулятор изображен на рис. 7.1. Рис. 7.1. Пример простейшего регулятора уровня воды в емкости H – выходная (регулируемая) величина, d – регулирующее воздействие П-регулятор является простейшим регулятором. На рис.7.2 показан график изменения управляемой переменной у(t)=y0+y(t) при ступенчатом возмущающем воздействии q(t)=q·1(t1). Внешнее возмущающее воздействие представлено ступенчатой функцией q(t), приложенной к системе в момент времени t1. Вследствие чего выходная величина получает в приращение относительно заданного значения y(t)=y0+y(t). Регуляторы, изменяют регулирующее воздействие xр(t) с целью уменьшения отклонения выходной величины y(t) от заданного значения y0. Рис.7.2. Переходной процесс при ступенчатом возмущающем воздействии для П-регулятора Из графика видно, что в переходном режиме отклонение управляемой переменной Δу от заданного уровня y0 значительно превышает установившуюся ошибку регулирования Δy. Максимальное отклонение управляемой переменной Δymax называют максимумом перерегулирования. Этот максимум обусловлен инерционностью принципа регулирования по отклонению. Из (7.1) видно, что если увеличить коэффициент усиления регулятора kп, то такое же регулирующее воздействие можно получить при меньшей величине сигнала рассогласования, следовательно, можно уменьшить ошибку регулирования Δy. Однако увеличение коэффициента усиления выше определенного значения может привести к заметному увеличению ошибки регулирования в переходном режиме и к колебательному переходному процессу. Это обстоятельство является главным противоречием регулятора. Правильный выбор коэффициента усиления регулятора является одним из основных факторов расчета настройки П-регулятора. Исследование П-регулятора при работе с объектом второго порядка. Исследования излагаются согласно [8]. Рассмотрим систему на рис.7.3. Рис. 7.3 Структурная схема системы с П-регулятором Т – постоянная времени объекта,  – коэффициент демпфирования (рассеяния); kп – коэффициент усиления П-регулятора, G – задающее воздействие;Q – возмущающее воздействие Принимаем единичную обратную связь WОС(p)=1, пусть передаточная функция объекта Wо(p), регулятора – Wp(p). Wо(p)=1/[T2p2+2Tp+1]; Wp(p)=kп, где Т – постоянная времени объекта,  – коэффициент демпфирования. Передаточная функция разомкнутой системы W(p)=Wp(p)Wo(p)WОС(p)=kп/[T2p2+2Tp+1] Характеристическое уравнение для замкнутой системы T22+2T+1+ kп=0, его корни 1,2=. Для объекта, являющегося апериодическим звеном 2-го порядка ≥1, система с П-регулятором также является апериодическим звеном 2-го порядка при kп≤ 2-1 и колебательным звеном при kп>2-1. Для колебательного объекта 0<1, система с П-регулятором также является колебательным звеном со степенью колебательности μ=|Im(1)/Re(1)| =(kп+1-2)/ Передаточные функции ошибки по задающему воздействию W∆X,G(р) и по возмущению W∆X,Q(р) W∆X,G(р) =; W∆X,Q(р) =. При воздействии единичной функции 1(t) получаем статическую ошибку x∞=1/(1+kп), т.е. система является статической. Статическая ошибка уменьшается с ростом kп, но при этом растет колебательность системы. Расчет параметров регулятора. В зависимости от структуры системы автоматического управления могут быть различные соотношения параметров регулятора или САУ. Наиболее характерными считаются случаи, когда структурная схема САУ содержит только апериодические звенья первого порядка. А также случаи, когда в структурной схеме дополнительно к апериодическим звеньям имеется одно форсирующее звено с существенной постоянной времени. Апериодические и форсирующие звенья с несущественными постоянными времени, т.е. заметно отличающимися от наибольшей и соизмеримых с ней постоянных времени, на качество регулирования и, следовательно, на расчетные параметры регулятора практически не оказывают влияния. Рассмотрим случай, когда объект управления Wo(p) представлен в виде последовательного соединения апериодических звеньев первого порядка W1(p),W2(p),W3(p),…,Wn(p), как это показано на рис.7.4. Рис.7.4. Система автоматического регулирования с П-регулятором Частотная функция разомкнутой системы имеет вид: W0 (јω) = K0 / (1 + јωT1) (1 + јωT2)… (1 + јωTn) , где К0 = kп ·k1 ·k2 ·…·kn – общий коэффициент усиления разомкнутой системы; Т1, Т2 , … , Тn – постоянные времени апериодических звеньев, обозначенные в убывающем порядке, т.е. Т1> Т2 > , … , > Тn. Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика разомкнутой системы имеет вид: L(ω) = 20lgK0 − 20lg − 20lg − …− 20lg. График упрощенной ЛАЧХ показан на рис.7.5. Рис.7.5. Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика системы автоматического регулирования для объекта с апериодическими звеньями 1-го порядка и пропорциональным регулятором Частоты сопряжения характеристик апериодических звеньев на графике обозначены соответственно ω1 = 1/Т1, ω2 = 1/Т2, ω3 = 1/Т3. Апериодический характер процесса регулирования обеспечивается, если точка сопряжения ЛАЧХ с отрезком, увеличивающим крутизну наклона от минус 20 до минус 40 дБ/дек, будет расположена ниже оси частот более, чем на 6 дБ(К0 ≤ Т1 / 2Т2). При этом разность абсцисс Δ lg(ω) точек сопряжения отрезков, увеличивающих крутизну наклона до -40 и до -60 дБ/дек, должна быть больше 0,3 декады (ω3/ ω2=2) С учетом условия обеспечения апериодического процесса регулирования уравнение ординат отрезка MN упрощенной ЛАЧХ будет иметь вид: 20lgK0 − 20(lg1/Т2 − lg1/T1) ≤ − 6, откуда, с учетом того, что 6=20·lg2, следует, lgK0≤lg(T1/T2) - lg2 и соответственно К0 ≤ Т1 / 2Т2. Уравнение абсцисс точек сопряжения отрезка NP упрощенной ЛАЧХ, характеризующее дополнительное условие обеспечения апериодического процесса, имеет вид: lg(1/T3) − lg(1/T2)≥ 0,3 откуда, с учетом того, что 0,3=lg2, получаем Т2/Т3 ≥ 2. Если отношение постоянных времени Т2/Т3<2, то для обеспечения апериодического характера процесса надо уменьшить общий коэффициент усиления К0. Хороший результат в этом случае дает приближение К0 ≤ Т1 / [2(Т2 + Т3 + … + Тn)] Коэффициент усиления регулятора kп рассчитывают по общему коэффициенту усиления K0 разомкнутой системы и коэффициентам преобразования k1k2, k3, …, kn всех звеньев, входящих в замкнутый контур: kп = K0 / (k1∙k2 ∙k3, …, ∙kn) (7.2) 7.3. Интегральный регулятор Анализ системы. Регулирующее воздействие в системе автоматического управления с интегральным регулятором (И-регулятором) формируется как интегральная величина от сигнала рассогласования: xр = kих dt = 1/Ти (g − KОС∙y)dt. (7.3) Изменение выходного сигнала И-регулятора и, следовательно, регулирующего воздействия хр на объект управления будет происходить до тех пор, пока имеется сигнал рассогласования, т.е. х ≠ 0. Поэтому И-регулятор в установившемся режиме ошибку регулирования Δy сводит к нулю. И-регулятор также является простейшим регулятором. Его быстродействие, характеризуемое временем переходного процесса регулирования, по сравнению с П-регулятором хуже, т.к. интегратор обладает инерционностью, определяемой постоянной времени Ти. Действительно, если ошибка нарастает по линейному закону, например x(t)=at, то И-регулятор с законом регулирования xp(t)=kи∫x(t) выдаст на выходе воздействие xp(t)=kиat2/2. Для t=0 регулирующее воздействие и его первая производная равны нулю. Интегральный регулятор обеспечивает астатизм системы к задающему воздействию. По отношению к возмущающим воздействиям система может быть как статической, так и астатической. Коэффициент преобразования И-регулятора kи представляет собой величину, обратную постоянной времени регулятора, т.е. kи = 1/Ти. Увеличение коэффициента преобразования регулятора эквивалентно уменьшению постоянной времени регулятора, т.е. уменьшению его инерционности. Однако улучшения быстродействия И-регулятора нельзя достичь повышением коэффициента преобразования kи, т.к. в этом случае переходный процесс становится колебательным вследствие усиления запаздывающего регулирующего воздействия. Таким образом, в И-регуляторе наблюдается противоречие между величиной коэффициента преобразования Ки и регулирующими свойствами регулятора. Для регуляторов, содержащих интегральное звено, существует понятие интегрального насыщения [14]. Поскольку при малом изменении ошибки выходной сигнал регулятора продолжает нарастать, с течением времени он может достигнуть значения ограничений (по величине или мощности) на входные воздействия объекта регулирования, либо такое ограничение вводят в выходную цепь регулятора. В этом случае регулятор выдает постоянное регулирующее воздействие, и система управления превращается в разомкнутую систему. Способы преодоления проблемы интегрального насыщения изложены в [14]. Расчет параметров регулятора. Рассмотрим вариант расчета параметров настройки И-регулятора для случая, когда структурная схема состоит только из апериодических звеньев 1-го порядка. Частотная функция разомкнутой системы имеет вид: W(јω) = K0 / [јω∙(1 + јωT1) ∙(1 + јωT2)∙…∙(1 + јωTn)], где К0 = kиk1k2,…kn - общий коэффициент усиления разомкнутой системы; Т1, Т2 , … , Тn – постоянные времени апериодических звеньев, обозначенные в убывающем порядке. Выполнив преобразования, аналогичные для пропорционального регулятора получим К0 ≤ 1 / (2∙Т1). Полученная формула будет справедлива при соотношении постоянных времени Т1 / Т2 ≥ 2. Если это условие не выполнено, то общий коэффициент преобразования надо уменьшить. В этом случае его можно определить по приближенной формуле: К0 ≤ 1/[2∙(Т1 + Т2 + … +Тn)]. Коэффициент преобразования регулятора kи kи = K0 / (k1∙k2 ∙k3, …, ∙kn) 7.4. Пропорционально-интегральный регулятор Анализ системы. Пропорционально-интегральный регулятор (ПИ–регулятор) является изодромным звеном и реализует пропорционально-интегральный закон регулирования. Выходной сигнал регулятора xр зависит от ошибки рассогласования х: xр = kпх + 1/Тих·dt. Первая форма (параллельная) передаточная функция ПИ-регулятора Wp(p)=kп+kи/p Преобразуем параллельное соединение звеньев регулятора в последовательное Wp(p)=(kпp+kи)/p=kи· [(kп/kи)p +1]/p= kи[Tpp +1]/pkп/kп= kп· [Tр·p+1]/(Tр ·p). Получаем вторую форму (последовательную) записи передаточной функции ПИ-регулятора. Wp(p) = kр· [Tр·p+1] / (Tр ·p), (7.4) где Tр=kп/kи – постоянная времени регулятора, kр= kп – коэффициент передачи регулятора, kп, kи – коэффициенты передачи пропорциональной и интегральной частей. Представление ПИ-регулятора в виде параллельных и последовательных звеньев приведено на рис.7.6. Рис. 7.6. ПИ-регулятор в виде параллельных (а) и последовательных (б) звеньев Этот регулятор объединяет положительные свойства двух ранее рассмотренных регуляторов. Пропорциональная составляющая регулирующего воздействия производит грубое регулирование, как в П-регуляторе, а интегральная составляющая сводит к нулю ошибку регулирования, как в И-регуляторе. График переходного процесса управляемой переменной у(t) в системе автоматического управления с ПИ-регулятором показан на рис.6.9 (линия «ПИ»). Из графика видно, что максимум перерегулирования Δymax примерно такой же, как в САУ с П-регулятором, но установившаяся ошибка равна нулю. Таким образом [8], включение пропорционально-интегрального регулятора превращает систему в астатическую, и с увеличением kи уменьшается скоростная ошибка, однако при этом ухудшается качество системы в переходном режиме, и с определенного kи система становится неустойчивой. Расчет параметров регулятора. Для расчета параметров настройки ПИ-регулятора рассмотрим систему, содержащую в замкнутом контуре только апериодические звенья 1-го порядка и звено ПИ-регулятора с передаточной функцией (7.4). Частотная функция разомкнутой системы в этом случае имеет вид: W(јω) = K0 (1 + јωTр) / [јω (1 + јωT1) (1 + јωT2) (1 + јωT2)…(1 + јωTn)], где К0 = kрk1 k2 k3 … kn/Тр – общий коэффициент преобразования разомкнутой системы; Т1, Т2, Т3,…,Тn – постоянные времени апериодических звеньев 1-го порядка, обозначенные в убывающем порядке ;Tр – постоянная времени ПИ-регулятора. График упрощенной ЛАЧХ показан на рис.7.7. На графике частоты сопряжения апериодических звеньев обозначены: ω1 =1/Т1, ω2 =1/Т2, ω 3 =1/Т3. Из рисунка видно, что постоянную времени регулятора надо принять равной наибольшей постоянной времени апериодических звеньев Тр=Т1. Это позволит существенно увеличить общий коэффициент преобразования Кр, т.к. ЛАЧХ при частоте сопряжения ω1 = 1/Т1 не будет менять наклон. Абсцисса точки сопряжения N ЛАЧХ с отрезком, увеличивающим крутизну наклона от -20 до -40 дБ/дек, будет соответствовать частоте сопряжения ω2 = 1/Т2. Рис. 7.7. Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика системы для расчета пропорционально-интегрального регулятора Уравнение ординат отрезка упрощенной ЛАЧХ от оси ординат до точки N, расположенной ниже оси частот не менее чем на 6 дБ, будет иметь вид: 20lgK0 − 20lg(1/Т2) ≤ − 6, откуда следует, что К0 ≤ 1 / (2Т2). Дополнительным условием обеспечения апериодического процесса будет соотношение частот сопряжения ω2 =1/Т2, ω3 =1/Т3 отрезков, увеличивающих крутизну наклона ЛАЧХ до -40 и -60 дБ/дек. Уравнение абсцисс точек N и Р отрезка ЛАЧХ удовлетворяющее этому условию, имеет вид: lg(1/T3) − lg(1/T2) ≥ 0,3. Отсюда отношение постоянных времени должно быть Т2/Т3 ≥ 2. Величину общего коэффициента преобразования с учетом всех постоянных времени можно определить по приближенной формуле: К0 ≤ 1 / [2(Т2 + Т3 + … +Тn)]. Коэффициент усиления регулятора kр = K0 ∙Tp/ (k1∙k2 ∙k3, …, ∙kn) 7.5. Пропорционально-дифференциальный регулятор Пропорционально-дифференциальный регулятор (ПД–регулятор) реализует пропорционально-дифференциальный закон регулирования: xр = kпх + Тд(dx / dt). Регулирующее воздействие ПД – регулятора формируется как сумма величин, пропорциональных сигналу рассогласования и его производной. Дифференциальная составляющая усиливает регулирующее воздействие, ускоряя процесс регулирования. Поэтому быстродействие ПД – регулятора выше по сравнению с П-регулятором. График переходного процесса управляемой переменной у(t) в системе автоматического управления с ПД-регулятором показан на рис. 6.9 (линия «ПД»). Из графика видно, что управляемая переменная имеет меньший максимум перерегулирования Δymax и переходный процесс затухает быстрее по сравнению с П-регулятором за счет дифференциальной составляющей регулирующего воздействия. Установившаяся ошибка регулирования Δy1 меньше по сравнению с П-регулятором, поскольку в ПД-регуляторе можно реализовать больший коэффициент усиления kп. 7.6. Метод подчиненного регулирования Разберем метод подчиненного регулирования согласно [18]. Для примера рассмотрим двухконтурную систему регулирования, показанную на рис. 7.8. Исходная система регулирования W1(p) разбивается на два объекта Wо1(p), Wо2(p), а регулятор системы Wр(p) на два регулятора Wр1(p).Образуется два контура управления, причем выходной сигнал Xp2 регулятора внешнего контура Wр2(p) является задающим значением для внутреннего контура Wр1(p)-Wо1(p). Рис.7.8. Структурная схема САУ подчиненного регулирования Два главных достоинства определяют работу систем подчиненного регулирования[18]. 1. Простота расчета и настройки. Настройка в процессе наладки ведется начиная с внутреннего контура. Каждый контур включает в себя регулятор, за счет параметров и структуры которого получаются стандартные характеристики. Причем в каждом контуре компенсируется наибольшая постоянная времени. 2. Удобство ограничения предельных значений промежуточных координат системы. Это достигается за счет ограничения определенным значением выходного сигнала регулятора внешнего контура. Вместе с тем быстродействие каждого внешнего контура будет ниже быстродействия соответствующего внутреннего контура. Действительно, если в первом контуре частота среза ЛАЧХ составит 1/2Tμ , где 2Tμ- сумма малых нескомпенсированных постоянных времени, то даже при отсутствии во внешнем контуре других звеньев с малыми постоянными времени, частота среза его ЛАЧХ будет 1/4Tμ и т.д. Поэтому системы подчиненного регулирования редко строятся с числом контуров больше трех. Рассмотрим типовой контур рис.7.9 и настроим его на модульный (технический) и симметричный оптимумы. Рис.7.9. Схема типового контура регулирования Тμ - сумма малых постоянных времени; То - большая постоянная времени, подлежащая компенсации; Кε и КO - коэффициенты усиления блоков с малыми постоянными времени и объекта управленияW1(p). Следует заметить, что от типа звена, постоянную времени которого следует компенсировать, зависит и тип регулятора Wp(p). Он может быть П, И, ПИ и ПИД. В качестве примера возьмем ПИ – регулятор с параметрами для модульного оптимума. Тогда передаточная функция разомкнутого контура будет иметь вид: Разомкнутая система обладает астатизмом первого порядка. Логарифмические частотные характеристики, соответствующие передаточной функции W(p), изображены на рис.7.10, а переходная характеристика показана на рис.7.11. Рис.7.10. Логарифмические частотные характеристики системы, настроенной на модульный (технический) оптимум Рис.7.11. Переходная характеристика h(t) при модульной настройке При ступенчатом управляющем воздействии выходная величина в первый раз достигает установившегося значения через время 4,7Тμ, перерегулирование составляет 4,3%, а запас по фазе 63° (рис.7.10). Передаточная функция замкнутой САУ имеет вид Если представить характеристическое уравнение замкнутой САУ в виде Т2р2+2ξТр+1=0, то коэффициент демпфирования при модульном оптимуме имеет величину ξ=1/2=0,707, а время регулирования не зависит от большой постоянной времени То. При настройке системы на симметричный оптимум выбирают параметры ПИ - регулятора следующим образом: Тогда передаточная функция разомкнутого контура имеет вид Настройка на симметричный оптимум рекомендуется тогда, когда в система автоматического регулирования То>>4Тμ . В этом случае можно принять То+1=То. Тогда передаточная функция разомкнутой САУ приобретает вид Соответствующие ей логарифмические частотные характеристики представлены на рис.7.12, а график переходного процесса на рис.7.13. Время первого достижения выходной величиной установившегося значения составляет 3,1Тμ, максимальное перерегулирование достигает 43%, запас по фазе -37° . Разомкнутая система приобретает астатизм второго порядка. Следует отметить, что если звено с наибольшей постоянной времени представляет собой апериодическое 1-го порядка, то с ПИ - регулятором при То=4Тμ переходные процессы соответствуют процессам при настройке на модульный оптимум. Если То<4Тμ, то настройка регулятора на τ=Тμ теряет смысл. Необходимо выбрать другой тип регулятора. Рис.7.12. Логарифмические частотные характеристики системы, настроенной на симметричный оптимум Рис.7.13. Переходная характеристика h(t) при настройке на симметричной оптимум Настройка системы с интегрирующим звеном в прямом канале при оптимизации по симметричному оптимуму обладает по сравнению с настройкой на модульный оптимум более высокими динамическими характеристиками по управлению, но имеет большее перерегулирование. Время переходного процесса определяется некомпенсированной постоянной времени T и составляет tп=12 T 7.7. Эмпирические способы настройки регуляторов На практике применяются различные приближенные методики определения параметров настройки регуляторов. Объект регулирования аппроксимируется выражением где Ko – передаточный коэффициент; To – постоянная времени; o – время запаздывания. В качестве примера рассмотрим методику настройки регуляторов для устойчивых объектов, которая заключается в следующем. На реальном объекте с П-регулятором начинают постепенно увеличивать значение коэффициента усиления регулятора Kп до тех пор, пока в замкнутой системе не возникнут колебания. Определяют критическое усиление регулятора Kп = Kкр и период колебаний Ткр на выходе регулятора. Затем приближенные значения параметров находятся в соответствии с табл. 7.1. Таблица 7.1 Эмпирическая настройка регулятора устойчивого объекта Вид регулятора Параметры настройки Примечание П Кп=0,5 Ккр ПИ Кп=0,45Ккр; Ти=0,85 Ткр Параллельная форма Полезные сведения о расчете регуляторов имеются в [27]. В частности, приведен порядок использования модели для компенсации неизмеримого возмущающего воздействия. 7.8. Вопросы по теме 1. Разработать регулятор для системы капельного орошения теплицы. Учесть изменение скорости истечения жидкости из резервуара от уровня воды в нем. Исполнительным устройством назначить вентиль, встроенный между источником воды с переменным давлением и резервуаром. Применить регулятор релейного действия. 2. Установите, какое из двух приближений чистой задержки имеет меньшую погрешность: разложение в ряд Тейлора или разложение в ряд Пада. При сравнении ограничиваться одним членом ряда. 3. Каким образом аппроксимируется объект управления при синтезе регуляторов? 4. Перечислите методы синтеза систем автоматического управления. 5. Разработать регулятор для поддержания уровня воды в емкости для системы имеющей регулируемый ввод от источника жидкости и выход, расход воды через который может изменяться независимо от входа, как это показано на рис.7.1. 6. Сформулировать разницу между симметричным и техническим оптимумом настройки регулятора. Тема 8. ПРОСТРАНСТВО СОСТОЯНИЙ Содержание темы. Описание переменных состояния и метода пространства состояний. Фазовые переменные. Структурная схема модели «вход-состояние-выход». Понятия об управляемых и наблюдаемых системах. Построение наблюдателя и его включение в систему. Примеры пространства состояний для систем второго порядка. Фазовые траектории и фазовый портрет системы. Качественная оценка поведения фазовых траекторий по матрице системы. 8.1. Переменные состояния Метод пространства состояний излагается согласно [3]. Этот метод получил в настоящее время широкое распространение при исследовании систем автоматического управления. Ограничимся рассмотрением линейных динамических систем (linear time-invariant, LTI). Рассмотрим динамическую систему при нулевых управляющих и возмущающих воздействиях. Такую систему называют автономной [3]. Для автономной системы решение у = у(t) содержит только свободную составляющую. Введем в рассмотрение некоторые переменные состояния .si = si(t),определенные при t ≥ t0 и имеющие начальные значения si,0 = si(t0). Переменными состояния автономной динамической системы с выходом y называются независимые переменные si(t) такие, что значение выходной переменной у(t) в произвольный момент времени t = t1 ≥ t0 однозначно определяется числами si,0 = si (t0). Общее число переменных состояния равно порядку дифференциального уравнения системы. Состояние системы в момент времени t ≥ t0 характеризуется полным набором переменных состояний si(t). Например, пусть система имеет две переменных состояния, и допустим, изменение переменных состояния и выходной переменной представлено на рис. 8.1. Зная начальное состояние системы s1,0, s2,0, можно единственным образом отыскать значение выходной переменной у в любой момент времени t1>t0: y(t1) = у (t1, s1,0, s2,0). Рис.8.1. Переменные состояния s1(t), s2(t) и выходная переменная y(t) автономной системы Примером использования метода переменных состояния может служить описание дискретных систем с памятью (триггерами, счетчиками и т.п.). Новое состояние счетчика при поступлении управляющего сигнала на счетный вход можно предсказать в том случае, если известно его старое состояние. Наиболее простой пример, это управление освещением с помощью кнопочного выключателя. Результат нажатия такого выключателя (включение или отключение освещения) зависит от его предшествующего состояния. Процедура нахождения значений некоторой функции у(t) для будущих моментов времени называется прогнозированием, или предсказанием. Для предсказания поведения системы в любой момент времени t ≥ t0 (и управления неавтономной системой) достаточно информации о переменных состояния в момент t0 и не требуется знание предыстории процессов, т.е. информации о функциях si (t) при t1 получим апериодический процесс и решение уравнения относительно выходной переменной (заряд в цепи) будет иметь вид q=A1exp(1)+A2exp(2); 1,2= -± sqrt(2-1) На рис.8.10 приведена структурная схема рассматриваемой системы и ее уравнения состояния Рис.8.10. Структурная схема системы второго порядка и уравнение её состояния 8.5. Фазовые траектории и фазовый портрет системы Годограф вектор функции s(s0, t) по параметру t, т.е. линия, описываемая вектором состояния в пространстве состояний n при изменении переменной t[t0, t], t>t0 называется фазовой траекторией. Точка в этом пространстве, соответствующая состоянию системы в рассматриваемый момент, называется изображающей точкой. Фазовая траектория наглядна для пространства состояний второго порядка. Набор фазовых переменных при различных начальных значениях называют фазовым портретом системы. Анализ фазовых траекторий позволяет качественно оценить поведение системы и даже оценить её устойчивость [3, 19]. На рис.8.11 приведены фазовые портреты системы второго порядка для случая колебательного незатухающего (а), апериодического (б) и колебательного с затуханием (в) процессов. Процессы (б) и (в) оказываются устойчивыми и сходятся к аттрактору, находящемуся в начале координат. Под аттрактором понимается подмножество фазового пространства динамической системы, все траектории из некоторой окрестности которого стремятся к нему при времени, стремящемся к бесконечности. Особой точкой фазового пространства системы второго порядка называется такая точка, в которой производные по обеим координатам равны нулям. Особая точка является точкой покоя системы. Правило для направления движения по фазовым траекториям, для случая, когда в качестве переменных состояния выбраны фазовые переменные. В верхней полуплоскости – слева направо, так как скорость изменения переменной состояния s2=1 положительная. В нижней полуплоскости справа налево, ось абсцисс пересекается фазовыми траекториями под прямым углом, так как там скорость изменения переменной состояния s1 равна нулю s2=1, а значит, имеется максимум или минимум переменной состояния s1 В том случае, если в качестве переменных состояния выбраны другие (не фазовые) переменные, приведенные выше правила могут не соблюдаться. По виду фазовых траекторий вблизи особой точки различают следующие точки: центр (рис.8.11 а), узел (рис.8.11 б), фокус (рис.8.11 в). Имеется также точки типа седло (рис.8.12 а). Вид фазовой траектории позволяет судить о поведении системы[19]. Замкнутые траектории (предельные циклы) соответствуют периодическим колебаниям. Если траектории сходятся к точке устойчивого равновесия или предельному циклу, то система устойчивая, если траектория уходит от точки равновесия или предельного цикла, то система неустойчивая. Качественное поведение фазовых траекторий (тип точки равновесия) определяется собственными числами матрицы А системы (8.6). Система второго порядка с матрицей системы А= (8.9) Рис.8.11 Фазовые портреты колебательной и устойчивых систем второго порядка а –колебательный процесс (особая точка: центр), б – апериодический процесс (особая точка, аттрактор: узел), в – затухающий колебательный процесс (особая точка, аттрактор: фокус). t0,t1,…,t∞ - последовательные моменты времени. имеет единственную нулевую точку равновесия, если определитель матрицы отличен от нуля. detА= (8.10) Если определитель равен нулю, то имеются и другие точки равновесия. Собственные числа матрицы определяются из уравнения (8.11) Для системы второго порядка в зависимости от знаков собственных чисел  получаются следующие виды особых точек [19] Вид корней Значение корней Вид аттрактора Вещественные 1∙1)>0 Узел Вещественные 1∙1)<0 Седло Комплексные Re(1)= Re(2)≠0 Фокус Комплексные Re(1)= Re(2)=0 Центр Характер устойчивости также определяется собственными значениями системы 8.6 [19]. Если вещественные части собственных чисел отрицательны, то точка покоя асимптотически устойчивая и получаем либо устойчивый узел (рис. 8.11 б), либо устойчивый фокус (рис.8.11 в). Если хотя бы одно собственное число имеет отрицательную вещественную часть, то точка покоя неустойчивая. В этом случае получаем либо седло (рис. 8.12 а), либо неустойчивый узел (рис. 8.11 б), либо неустойчивый фокус (рис. 8.12 в),. Если получаются чисто мнимые собственные числа, то точка покоя устойчива, но не асимптотически и получаем особую точку типа центр (рис. 8.11 а). Можно определить тип точки покоя и характер её устойчивости без вычисления собственных значений матрицы системы А. Для этого вычисляется след матрицы системы trA и определитель detA. tr A=tr a11+a22detА= Соотношения между следом и определителем позволяют оценить характер особой точки (точки покоя) [19] Определитель матрицы След матрицы Тип точки покоя det A < 0 Седло 0< det A<(tr A/2)2 tr A<0 Устойчивый узел tr A>0 Неустойчивый узел det A=(tr A/2)2 tr A<0 Вырожденный устойчивый узел tr A>0 Вырожденный неустойчивый узел det A>(tr A/2)2 tr A<0 Устойчивый фокус tr A=0 Центр tr A>0 Неустойчивый фокус Рис.8.12 Фазовые портреты неустойчивых системы второго порядка Особые точки: а – седло, б – узел, в – фокус Более обстоятельный и подробный анализ систем по фазовым траекториям изложен в [2, 19]. 8.6. Вопросы по теме 1. Привести дифференциальные уравнения переменных состояния для канонической структурной схемы полностью управляемой системы (рис. 8.3.а). 2. Сформулируйте разницу между переменными состояния и фазовыми переменными системы. 3. Привести дифференциальные уравнения переменных состояния для канонической структурной схемы а) полностью наблюдаемой системы (рис. 8.3.б); б) полностью управляемой системы (рис.8.3.а). 4. Составить уравнения состояния для системы, схема замещения которой имеет вид: а) последовательная RLC-цепь; б) параллельная RLC-цепь. в) электромеханическое реле, имеющее емкость, подключенную параллельно катушке реле. В качестве входной переменной назначить напряжение прикладываемое к схеме замещения, в качестве выходной величины – ток на входе цепи. 5. Привести примеры частично управляемой и частично наблюдаемой системы. 6. Пояснить с какой целью производится синтез наблюдателя. 7. Привести примеры систем, фазовые портреты которых соответствуют рис. 8.11. Раздел 3. Нелинейные системы автоматического управления Тема 9. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ Содержание темы. Характеристики нелинейных систем, причины нелинейностей, типовые нелинейные звенья. Построение фазовых траекторий. Метод припасовывания, метод изоклин. Методы линеаризации систем: гармоническая и вибрационная линеаризации, метод сшивания. Устойчивость нелинейных систем. Экспоненциальная устойчивость и устойчивость по Ляпунову. Определение устойчивости по первому и второму методам Ляпунова. Абсолютная устойчивость и критерий Попова. Автоколебания, критерий Бендиксона, метод точечного преобразования. 9.1. Характеристики нелинейных систем Особенности нелинейных систем. В реальных системах всегда существует ограничение по мощности, что приводит к ограничению значений переменных состояния и выходных величин. Наличие зазоров и трения в электромеханических системах также приводит к появлению нелинейностей: нечувствительности при малых воздействиях и насыщению при больших воздействиях, гистерезису при циклических изменений воздействий. Датчики системы управления также имеют зоны нечувствительности. Система управления будет нелинейной, если она содержит хотя бы одно звено, описываемое нелинейным уравнением[2]. Если выполнить анализ нелинейной системы, используя линеаризацию и рассматривая её как линейную, то результат будет справедлив при малых изменениях воздействия и переменных состояния относительно точки, для которой выполнена линеаризация. Как правило, это касается рабочих режимов системы. Но в режиме больших возмущений, например, при пуске системы, возможна ситуация, когда система будет вести себя не так, как предсказывает теория линейных систем. Для системы, которая была определена при линейном анализе как устойчивая, можно получить автоколебания или даже неустойчивое состояние. Ожидая точность в пределах задания, можно получить значительную ошибку в регулировании. Время переходного процесса может оказаться существенно больше, чем расчетное. Причиной рассмотренных ситуаций является нелинейность системы. Даже при использовании методов численного интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений предварительно следует выполнить качественный анализ поведения нелинейной системы. Различают статические и динамические нелинейности. К статическим нелинейностям относят те звенья, выходные величины в которых зависят только от входных, и эта зависимость нелинейная, другими словами звенья с нелинейными статическими характеристиками. Если звено описывается нелинейным дифференциальным уравнением, говорят о динамической нелинейности. Типовые статические нелинейные звенья показаны на рис. 9.1, а звено с гистерезисом и намагничивающая характеристика сердечника на рис.9.2. Приведенные характеристики обычно соответствуют исполнительным звеньям системы. Рис. 9.1 Типовые нелинейные звенья. а – насыщение, б – нечувствительность, в – насыщение и нечувствительность, г – идеальное трехпозиционное реле, д – идеальное двухпозиционное реле, е– квадратичная зависимость Рис.9.2. Нелинейное звено с гистерезисом: а – реле с самовозвратом, б – характеристика магнитного сердечника, г – характеристка типа люфт Нелинейную систему с одним входом и одним выходом можно представить в виде системы уравнений метода состояний [24] , , где s(t) – вектор состояния системы, q(t) – вектор возмущающих воздействий, x(t) – входное (управляющее) воздействие, y(t) – выходная величина Анализ нелинейных систем затруднен тем фактом, что не существует общей процедуры их решения. Одним из эффективных средств, позволяющих проводить анализ нелинейных система 2-го порядка, является метод фазовых траекторий. 9.2. Построение фазовых траекторий Линейная система. Пусть имеется линейная система. Уравнение состояния автономной системы можно получить из (9.1), задав нулевые задающие и возмущающие воздействия. Рассмотрим пример, приведенный на рис.8.7 при наличии входного воздействия. Для построения фазовых траекторий необходимо [24] найти решение уравнений состояния и, исключив время, получить уравнения фазовых траекторий. Если входное воздействие x=const, решением уравнений (8.8) являются s2 = x/L dt = s2(0)+x∙t/L; s1=(s2(0)+x∙t/L) dt = s1(0)+ s2(0)∙t+x∙t2/(2∙L). Из решения для s2 находим время t = (s2-s2(0))∙L/x; подставляя время в решение для s1 s1=s1(0) + s2(0)∙(s2-s2(0))∙L/x + x∙{(s2-s2(0))∙L/x}2 / (2∙L); получаем уравнение фазовых траекторий s1 = s1(0) + s2(0)∙(s2-s2(0))∙L/x + L∙(s2-s2(0))2 / (2∙x) (9.3) Для случаев x=1 и x=-1 уравнения фазовых траекторий можно представить в виде s1=c1+s22 /2, если x=1, s1=c2-s22 /2, если x=-1, где с1, с2 – коэффициенты, зависящие от начальных условий s1(0), s2(0). Фазовые траектории приведены на рис. 9.3. Рис.9.3. Фазовые траектории системы, представленной на рис. 8.7 [24] для управляющих воздействий x: a) x=1, б) x=-1 Метод припасовывания [24]. Данные метод применяется для случая, когда статическая характеристика нелинейного звена представляет собой кусочно-линейную функцию. Процедура построения фазовых траекторий включает этапы [24]: представление нелинейной системы в виде набора линейных моделей, соответствующих линейным участкам нелинейного звена; разбиение фазового пространства на области, в которых система описывается линейными уравнениями; последовательное получение участков фазовых траекторий и их объединение в единую траекторию нелинейной системы (припасовывание). Рассмотрим нелинейное регулирование системой, модель которой показана на рис.8.7. Пусть нелинейный регулятор выдает входное воздействие на систему x=sign(v); v=-a1∙s1 - a2∙s2 Структурная схема рассматриваемой системы автоматического регулирования показана на рис. 9.4. При преобразованиях структурных схем, содержащих нелинейные звенья, недопустимой операцией является перенос нелинейного звена через линейное звено, поскольку принцип суперпозиции в этом случае не действует [18]. Рис. 9.4. Структурная схема нелинейной системы автоматического регулирования На интервалах знакопостоянства sign(v)=const система линейна и ее фазовая траектория описывается соотношением (9.4). Изменение знака управляющего воздействия происходит при v=0, что соответствует линии переключения определяемой уравнением a1∙s1 + a2∙s2=0 Линия переключения разграничивает две области + и - в фазовом пространстве 2. В одной области v>0, в другой v<0. Фазовый портрет для рассматриваемого случая показан на рис. 9.5 а). Рис. 9.5. Фазовые траектории нелинейных систем а – для регулятора со ступенчатой характеристикой, б – для релейного регулятора Заменим рассмотренный регулятор на релейный регулятор с характеристикой, показанной на рис. 9.6. Рис. 9.6. Релейная характеристика регулятора Выходная величина регулятора будет определяться в зависимости от знака скорости изменения входной величины регулятора x=sign(v-), если ≥0, x=sign(v+), если <0. Фазовый портрет для релейного регулятора показан на рис. 9.5 б) Метод изоклин. Изоклинами называются кривые равного наклона касательных к фазовым траекториям (равного наклона векторного поля) системы. Рассмотрим автономную систему второго порядка. Пусть уравнения состояния этой системы (9.2) представляют следующий, достаточно распространенный случай [24] Из приведенных уравнений можно получить следующее выражение где  – угол наклона касательной к фазовой траектории Тогда выражение описывает кривую, все точки которой имеют равный наклон к фазовой траектории. Фазовые траектории можно построить по следующему алгоритму: на фазовой плоскости 2 для различных значений угла наклона проводятся изоклины; на каждой изоклине строят отрезки прямых с наклоном  строится фазовая траектория из начальной точки s(0) таким образом, чтобы на изоклинах построенные отрезки прямых являлись касательными к этой траектории. Для примера рассмотрим систему, в которой =-a1s1-a2s2. Для этого примера уравнение изоклин для наклона : a1s1+(a2+tg)s2=0, откуда s2=a1s1/(a2+tg). По полученному уравнению построены изоклины, по которым построены фазовые траектории, представленные на рис. 9.7. Рис. 9.7. Построение фазовых траекторий методом изоклин Для линейной (линеаризированной) автономной системы При любых начальных условий s0 найдется интегральная кривая s(t)=s(t,s0), она единственная и определена на интервале [0, ∞). 9.3. Методы линеаризации систем Для автономной динамической нелинейной системы, описываемой уравнением важнейшей проблемой является существование, единственность и продолжимость решений уравнения. Возможны случаи, когда для некоторых начальных значений система не имеет решений, или её решения определены на ограниченном интервале времени, а также случаи получения нескольких решений, соответствующих одному начальному состоянию [24]. Например [24], система описываемая уравнением =-1/s не имеет решения при начальных условиях s(0)=0, эту точку в рассматриваемой системе называют сингулярной. Вне сингулярной точки на интервале s(0,∞) функция f(s)=-1/s непрерывна, а значит, по теореме Пеано, на этом интервале существуют решения s(t)=s(t,s(0)) системы для любых начальных условий s(0). Пример [24] существования нескольких решений дает система Для s(0)=0 существует три решения: s(t)=0; s(t)= s(t)= Для линейных систем все свойства являются глобальными. Для нелинейной системы свойства единственности и существования решения, устойчивость и управляемость могут существовать, как правило, лишь в некоторой области. Кривые отделяющие области с различными свойствами нелинейной системы называются сепаратрисами. При анализе нелинейной системы стремятся существенно нелинейные звенья выделить в отдельную часть, так, что на структурной схеме возможно представление отдельно линейной (линеаризированной) части и нелинейной. Метод гармонической линеаризации [26]. Суть данного метода в том, что на вход нелинейной системы подается гармонический сигнал, при этом на выходе устанавливаются периодические колебания, которые можно разложить в ряд Фурье. Используя гипотезу о фильтре, который подавляет все гармоники, кроме первой, можно ограничиться рассмотрением только первой выходной гармоники. В таком случае, можно ввести в описание системы эквивалентные частотные характеристики, аналогичные частотным характеристикам линейной системы. Применение метода для случая, когда в системе имеется двухпозиционное реле с гистерезисом, показано на рис.9.8. Рис. 9.8. Метод гармонической линеаризации для системы с релейным элементом x(t) – входной сигнал, y(x) – характеристика реле, y(t) выходной сигнал, y1(t) – первая гармоника выходного сигнала, y3(t) – третья гармоника, y5(t) – пятая гармоника Выходной сигнал в рассматриваемом примере представляет собой меандр с амплитудой B. Разложение этого сигнала в ряд дает амплитуды гармоник выходного сигнала , k=1, 3, 5,… Передаточная частотная функция по первой гармонике Вибрационная линеаризация [26]. Этот вид линеаризации достигается тем, что на вход нелинейной системы подают высокочастотное колебание. Принцип вибрационной линеаризации показан на рис.9.9. Высокочастотное колебание при прохождении через релейный элемент приводит к тому, что нелинейный элемент линеаризуется, и система в целом ведет себя как линейная. На вход системы подают сумму сигналов постоянного x0 и переменного x(t). Постоянный сигнал x0 вызывает изменение скважности выходного сигнала и к изменению его постоянной составляющей y0. Таким образом, получается статическая характеристика y0(x0). При малых изменениях входного сигнала система ведет себя как линейная. Рис.9.9. Метод вибрационной линеаризации а – постоянное смещение отсутствует, b – постоянная и переменная составляющие сигнала Метод сшивания [26]. Область применения метода сшивания та же, что и для метода припасовывания, т.е. для случаев, когда характеристика нелинейного звена представляет собой кусочно-линейную функцию. Для каждого линейного участка строится свои фазовые траектории, которые затем сшиваются. При переходе через границы областей система изменяет свою структуру. Примером могут служить релейные схемы, переключающие своими контактами цепи при переходе через линии сшивания. Пример анализа схем с релейным элементом методом сшивания показан на рис.9.10. Рис.9.10. Анализ системы методом сшивания структурные схемы системы: упрощенная (а), развернутая (е); характеристики нелинейных элементов: идеального двухпозиционного реле (а), реле с зоной нечувствительности (г); фазовые портреты системы: для идеального двухпозиционного реле (в), для реле с зоной нечувствительности (д); Система второго порядка состоит из линейной части L и нелинейной N. Уравнения состояния системы a·sign( Получаем из уравнений системы (9.6) дифференциальное уравнение её фазовых траекторий Решение дифференциального уравнения фазовых траекторий системы где С – постоянная интегрирования, зависящая от начальных условий, представляют собой отрезки парабол. При этом знак «–» соответствует правой части фазовой плоскости, а знак «+» левой. На рис.9.10 в) построены фазовые траектории для четырех начальных условий. Линия сшивания проходит по оси ординат. Для релейного элемента с зоной нечувствительности, показанного на рис.9.10 г) фазовые траектории приведены на рис. 9.10 д). Из рисунка видно, что появились горизонтальные участки траекторий, а также зона покоя. На рис.9.11 приведены схемы и характеристики системы при использовании реле с гистерезисом. Включение реле с характеристикой рис.9.10 б) приводит к неустойчивости системы (рис. 9.11 в). Для обеспечения устойчивости следует ввести обратную связь по переменной состояния s2, которая показана на рис. 9.11 г). На рис.9.11 д) приведен фазовый портрет системы при подключении отрицательной обратной связи. Дифференциальное уравнение фазовых траекторий для этой системы Решение распадается на два случая, Эти два случая разделяет линия переключения Рис. 9.11. Структурные схемы и фазовые портреты систем с релейным гистерезисным звеном а – исходная схема; б - релейная характеристика, в – фазовый портрет; г – модернизированная схема, д – фазовый портрет, е – процесс сползания При некоторых начальных условиях константа интегрирования принимает такие значения, при которых фазовые траектории не пересекают линии переключения. Граничные траектории показаны на рис.9.11 д) пунктирными линиями, а точки касания их линии переключения обозначены точками А и B. Внутри отрезка АВ фазовые траектории подходят к нему с двух сторон и упираются в него. Но они не остаются на нем, начинают двигаться по траектории с другой стороны линии переключения и вновь возвращаются на отрезок АВ, но уже ближе к началу координат. Так продолжается до тех пор, пока изображающая точка не оказывается в центре координат, который в данном случае представляет собой устойчивый узел системы. Сам процесс называется скользящим процессом, а отрезок АВ – линией скольжения. Движение вдоль линии скольжения определяется только линией переключения и совершенно не зависит от параметров линейной части системы, что используется при построении многих систем с переменной структурой. 9.4. Устойчивость нелинейных систем Общие сведения об устойчивости нелинейных систем. Устойчивость нелинейных систем определяется различным образом. Различают асимптотическую и экспоненциальную устойчивость, а также устойчивость по Ляпунову. Для исследования устойчивости применяются первый и второй методы Ляпунова. Если при снятии возмущения в автономной системе все переменные с течением времени стремятся к нулю, то система считается асимптотически устойчивой. В более строгой формулировке [24]: Равновесное состояние s* называется локально экспонециально устойчивым, если для всех начальных состояний, находящихся в области экспонециального притяжения системы, s(0) s0(s*) найдутся >0 и >0 такие, что при t≥ 0 выполняется | s(t,s(0)) - s*|  ∙exp(-t) ∙|s(0) - s*| В формулировке Ляпунова невозмущенное движение (установившийся процесс) называется устойчивым, если при заданной сколь угодно малой области  можно найти такую область , что при начальных условиях, расположенных внутри этой области и финитном возмущении sup|q(t)| =, возмущенное движение (переходный процесс) будет таким, что изображающая точка не выйдет из области  при сколь угодно большом значении времени t, s(t). Интерпретация устойчивости на фазовой плоскости приведена на рис. 9.12. Здесь q(t) внешнее исчезающее (финитное) возмущение sup|q(t)| – точные верхняя и нижняя границы возмущения. Если область не ограничена, то говорят об абсолютной устойчивости. Устойчивость для нелинейных систем обеспечивается сложнее, чем для линейных систем. Существенным является начальные условия. Возможно появление собственных колебаний при отсутствии внешних гармонических воздействий. Вследствие нелинейности неустойчивость системы не приводит к неограниченному росту выходной величины (и переменных состояния), поскольку, как правило, наступает режим насыщения и система может переходить в нелинейный автоколебательный режим. Рис. 9.12. Устойчивости нелинейных систем а – по Ляпунову, б – асимптотическая, s1, s2 – переменные состояния На фазовой плоскости автоколебания представляют собой замкнутый контур, который называют предельным циклом. На рис.9.13 показаны два случая нелинейных автоколебаний систем: одна неустойчивая в малом и устойчивая в большом (а), другая устойчивая в малом и неустойчивая в большом (б). Для этих автоколебаний показаны также возможные временные диаграммы. Рис. 9. 13. Нелинейная система с предельным циклом а ,в – неустойчивая в малом, устойчивая в большом, б, г – устойчивая в малом неустойчивая в большом, а, б – фазовые траектории, в, г – графики переходных процессов. В проблеме оценки устойчивости нелинейных систем большую роль играет подход, разработанный Алексландром Михайловичем Ляпуновым (1857 – 1918). Замечание.  Ляпунов разрешил общую задачу об устойчивости движения и разработал два метода исследования устойчивости. Первый метод состоит в непосредственном отыскании решения уравнений движения в виде специальных бесконечных рядов. Во втором методе отыскивается некоторая функция, свойства которой позволяют судить об устойчивости или неустойчивости. Пользуясь таким методом, Ляпунов указал случаи, когда даже упрощенные, линейные уравнения позволяют точно решить задачу об устойчивости. Им были даны решения также в некоторых из тех случаев, когда по линейным уравнениям нельзя решить задачу об устойчивости. В 1892 году Ляпунов опубликовал работу «Общая задача устойчивости движения». Первый метод Ляпунова. При анализе устойчивости нелинейных систем возможно применение теории линейных систем. Границы применимости определяет первый метод Ляпунова, согласно которому при гладкой нелинейной характеристике (дифференцируемой характеристике) устойчивость нелинейной системы можно исследовать по первому (линейному) приближению. Если линеаризированная система асимптотически устойчива, то состояние равновесия нелинейной системы устойчиво в малом, если линеаризированная система неустойчива, то неустойчиво и состояние равновесия нелинейной системы. На границе устойчивости линеаризированной системы нельзя исследовать устойчивость состояния равновесия нелинейной системы. На первом методе Ляпунова основаны методы Найквиста и Боде для анализа устойчивости нелинейных систем при малых отклонений сигнала от положения равновесия. Для систем с большими отклонениями условия устойчивости Найквиста необходимы, но недостаточны. Следовательно, устойчивая в малом система при перегрузке большим сигналом может самовозбудиться. [12]. Второй метод Ляпунова (метод функций Ляпунова или прямой метод Ляпунова). Используется для анализа и синтеза сложных систем. Метод основан на использовании скалярных функций, обладающих на решениях динамической системы некоторыми специальными свойствами. Функции Ляпунова позволяют оценить устойчивость и качество системы без нахождения решения уравнения системы, а также синтезировать алгоритмы управления, обеспечивающие заданные качественные показатели процессов. Для заданной системы может быть построено множество функций Ляпунова, поэтому соблюдение условий устойчивости по второму методу Ляпунова, являются условиями достаточными, но не обходимыми. И их нарушение еще не будет означать неустойчивости системы. Рассмотрим нелинейную систему , которая может быть записана в виде набора дифференциальных уравнений относительно своих переменных состояния s1 dsi/dt=fi(s1, s2,…, sn) , i=1, 2, …, n (9.6) В данном методе вместо анализа решений нелинейных уравнений произвольного порядка оценивают свойств этих решений с помощью скалярного дифференциального неравенства. При этом теряется информация о виде решений, но приобретается простота анализа устойчивости, поскольку исследуется изменение «расстояния» в пространстве состояний от текущей точки системы до начала координат. В качестве такой оценки расстояния можно использовать скалярную функцию переменных состояния V(s)=V(s1, s2, …, sn). В основе второго метода Ляпунова является фундаментальное физическое наблюдение: если полная энергия механической (электрической) системы непрерывно рассеивается (убывает), то с течением времени система независимо от того является ли она линейной или нелинейной должна стремиться к состоянию равновесия. Отсюда мы можем судить об устойчивости системы путем исследования изменения единственной скалярной функции. Согласно теореме Дирихле равновесие устойчиво, если в положении равновесия потенциальная энергия системы имеет минимум. К функциям Ляпунова относятся непрерывно дифференцируемые скалярные функции V(s), которые являются положительно определенными в некоторой окрестности положения равновесия s=0. Такие функции часто отождествляют с энергией системы. Уменьшение функции ассоциируют с рассеиванием энергии, а увеличение – с нежелательным ростом энергии. В формулировке второго метода Ляпунова используется ряд определений [25]. Функция V(s)=V(s1, s2, …, sn) называется знакоопределенной (определенно-положительной или определенно-отрицательной), если она может принимать в некоторой достаточно малой области |si| ≤ i=1, 2, …, n значения только одного определенного знака и обращается в ноль только при s1= s2= …= sn =0 Функция V(s)=V(s1, s2, …, sn) называется знакопостоянной, если она может принимать в некоторой достаточно малой области |si| ≤ i=1, 2, …, n значения только одного определенного знака или обращаться в ноль Пусть V(s)= V(s1, s2, …, sn) есть дифференцируемая функция своих аргументов, а s1, s2, …, sn переменные состояния, удовлетворяющие системе дифференциальных уравнений dsi/dt=fi(s1, s2,…, sn) , i=1, 2, …, n . Тогда для полной производной функции V имеем выражение для полной производной функции V по времени Теоремы Ляпунова об устойчивости. Теорема 1. Если для системы дифференциальных уравнений dsi/dt=fi(s1, s2,…, sn) , i=1, 2, …, n существует знакоопределенная функция V(s)=V(s1, s2, …, sn), полная производная которой по времени dV/dt есть функция знакопостоянная, знака противоположного с V(s), или тождественно равная нулю, то точка покоя si=0, i=1, 2,…,n этой системы устойчивая. Теорема 2. Если для системы дифференциальных уравнений dsi/dt=fi(s1, s2,…, sn) , i=1, 2, …, n существует знакоопределенная функция V(s)=V(s1, s2, …, sn), полная производная которой по времени dV/dt есть также функция знакоопределенная, знака противоположного с V(s), или тождественно равная нулю, то точка покоя si=0, i=1, 2,…,n этой системы асимптотически устойчивая. Теорема 3. Пусть для системы дифференциальных уравнений dsi/dt=fi(s1, s2,…, sn) , i=1, 2, …, n существует дифференцируемая в окрестности начала координат функция V(s)=V(s1, s2, …, sn), такая, что V(0, 0, …, 0)=0. Если ее полная производная по времени dV/dt есть определенно-положительная функция и сколь угодно близко от начала координат имеются точки, в которых V(s)=V(s1, s2, …, sn) принимает положительное значение, то точка покоя si=0, i=1, 2,…,n этой системы неустойчивая. Поиск функции Ляпунова. Общего правила выбора функций Ляпунова не существует. Для физических систем обычно функцию Ляпунова выбирают из закона сохранения. В простейших случаях функцию Ляпунова ищут в виде [25]: V(s1,s2)=as12+bs22; V(s1,s2)=as14+bs24; V(s1,s2)=as12+bs24; a,b>0 Для систем второго порядка геометрическая интерпретация функции Ляпунова показана на рис. 9.14. Рис. 9.14. Геометрическая интерпретация функции Ляпунова для системы 2-го порядка Рассмотрим пример системы [25] ds1/dt = s2 - s13 ds2/dt =-s1 -3s23 Выберем определенно-положительную функцию Ляпунова V(s1,s2) = s12+s22. Находим производную от функции Ляпунова dV/dt=2s1 ·(s2-s13)+ 2s2(-s1-3s23)=-2(s14 +3s24) Получили, что производная выбранной функции Ляпунова является определенно-отрицательной, следовательно, по теореме 2 Ляпунова точка покоя s1=0, s2=0 асимптотически устойчивая. Абсолютная устойчивость и критерий Попова. Теория абсолютной устойчивости была предложена А. И. Лурье и В. Н. Постниковым в статье "О теории устойчивости систем управления" (1944 г.) и доведена до практических решений румынским ученым В. М. Поповым (1959 г.). В нелинейной системе часто можно выделить нелинейную часть в отдельное звено, как это предложено Лурье. В этом случае можно сформулировать условие устойчивости такой системы с обратной связью. Ограничение на использование критерия в том, что нелинейное звено должно быть однозначным (рис. 9.1) без гистерезиса и люфта (рис. 9.2). Абсолютная устойчивость – это устойчивость для любой нелинейности внутри заданного сектора. Устойчивость в целом (пространстве) – это устойчивость при любых начальных условиях. Система будет абсолютно устойчивой, если она асимптотически устойчивая для любой характеристики нелинейного звена, ограниченного условиями, что отношение выходной величины y к входной x для нелинейного звена будет лежать в пределах y/x  [0, k]. Пример рассматриваемой системы показан на рис. 9.15. К внешнему воздействию предъявляется требование, что бы оно было исчезающим, т.е. Другими словами, если график нелинейности зажат границами сектора y=0; y=k·x, то коэффициент нелинейности не превышает k, и если устойчива линейная система, в которой вместо f(x) стоит k·x, то должна быть устойчива и нелинейная система. В связи с этим утверждением следует, что для проверки устойчивости линейной системы можно использовать обычные частотные критерии устойчивости. Пповым В. М. был сформулирован частотный критерий абсолютной устойчивости для нелинейных систем определенного класса. Критерий рассматривается для систем представимых в виде линейного и нелинейного звеньев (рис. 9.15 а). Пусть передаточная функция линейной части системы имеет вид W(j), а характеристика нелинейного звена y(x)=f(x). Пусть также статическая нелинейная характеристика нелинейного звена y(x) находиться в пределах определенного угла между осью абсцисс и некоторой прямой y=k∙x, как показано на рис.9.15 б). Рис. 9.15. Условия абсолютной устойчивости нелинейной системы а – структурная схема нелинейной системы, б – статическая характеристика нелинейной части системы, в – фазоамплитудная характеристика системы, абсолютно устойчивой по критерию Попова; L – линейная часть системы, N – нелинейная часть системы; q(t) – внешнее финитное воздействие Вводится в рассмотрение модернизированная передаточная функция Wм(j)=Re W(j) + j∙∙ Im W(j) Модернизированная передаточная частотной функция Wм(j) отличается от передаточной частотной функции линейной части W(j) системы множителем  в мнимой части. Нелинейная система абсолютно устойчива, если при устойчивой линейной части системы через точку (-1/k, j0) можно провести хотя бы одну прямую линию так, чтобы вся модернизированная характеристика Wм(jw) находилась от нее справа. Такая линия называется линией Ппова. Необходимым условием, дополнительным к критерию Ппова, будет условие, чтобы обычный (немодифицированный) годограф линейной части не пересекал вещественную ось левее точки -1/к. Порядок использования критерия Попова: на комплексной плоскости строится модифицированная передаточная частотная функция линейной части системы; отмечается точка -1/k, определяющая сектор нелинейности; проводится через эту точку прямую с наклоном, чтобы годограф оказался правее, если это возможно, то система будет абсолютно устойчивой. 9.5. Автоколебания Автоколебания. Автоколебания – это устойчивые собственные колебания, возникающие за счет непериодического источника энергии и определяемые свойствами системы. Малые изменения параметров системы не выводят систему из режима автоколебаний, их амплитуда не зависит от начальных условий и уровня внешних воздействий. На фазовой плоскости автоколебательному режиму соответствует изолированная замкнутая фазовая траектория – предельный цикл. Критерий Бендиксона. Существуют критерии, которые позволяют определить наличие в системе замкнутых фазовых траекторий. Один из таких критериев – критерий Бендиксона. Пусть нелинейная система второго порядка представляется дифференциальными уравнениями ds1/dt = f1(s1, s2) ds2/dt =f2(s1, s2) где f1(s1, s2), f2(s1, s2) – нелинейные функции аналитические на всей фазовой плоскости. Если в некоторой области на фазовой плоскости сумма частных производных нелинейных функций F1/ds1+F2/ds2 знакопостоянно, то в этой области не существует замкнутых фазовых траекторий. Пример нелинейной системы второго порядка [26]. Пусть система имеет следующие нелинейные дифференциальные уравнения , где s1(t)>0, s2(t)>0 – состояния системы, s1(0), s2(0) – нулевые условия, – параметр. Вычислим критерий Бендиксона Для заданных условий критерий Бендиксона представляет собой знакопостоянную отрицательную функцию, а, следовательно, в рассматриваемой системе не существует автоколебаний. Метод точечного преобразования [23]. Этот метод представляет собой усовершенствование метода припасовывания. Пусть дифференциальные уравнения нелинейной системы второго порядка записаны в пространстве состояний ds1/dt = f1(s1, s2) ds2/dt =f2(s1, s2) На фазовой плоскости системы строится отрезок линии AB, который пересекается фазовыми траекториями в одном направлении, как это показано на рис. 9.16 а). Координата на построенной линии отсчитывается от точки A и обозначается r. Точки пересечения линии с фазовой траекторией обозначены на рисунке Q и Q`, соответствующие этим точкам координаты на линии: r и r`. Координата r` по отношению к координате r называется последующей, а зависимость r`=f(r) – функцией последования. Эта функция определяет закон точечного преобразования для нелинейной системы. Функция последования приведена на рис.9.16 б). Прямая, проведенная на рис.9.16.б) под углом 45о, позволяет найти новое значение r по предыдущему r`(r). Точка r* дает пересечение с предельным циклом фазового портрета системы. Ход построения показан стрелками. В результате строится диаграмма точечного преобразования (рис.9.16 б). Условие устойчивости предельного цикла Примеры использования метода точечного преобразования рассмотрены в [23]. Рис. 9.16. Метод точечного преобразования а – фазовый портрет системы, б – диаграмма точечного преобразования 9.6. Вопросы по теме 1. Укажите источники нелинейностей в системе тягового электроснабжения железных дорог. 2. Привести характеристики элементов системы электроснабжения а) вольтамперная характеристика силового полупроводникового прибора; б) внешняя характеристика выпрямителя; в) индуктивное сопротивление рельсовой цепи; г) вольтамперная характеристика дугового разряда постоянного тока; д) потребляемый электровозом ток от сети 27,5 кВ; е) характеристика срабатывания максимальной токовой защиты; ж) схемы замещения двухобмоточного понизительного трансформатора. 3. способы линеаризации, применяемы при расчетах: а) при тяговых расчетах б) при расчете нагрузок системы тягового электроснабжения; в) при расчете энергетических характеристик выпрямительного агрегата. 4. Выяснить являются ли эквивалентными структурные схемы на рис. 9.10 а) и рис. 9.15 а). 5. Разработать в Simulink модели и поставить модельный эксперимент по анализу фазовых портретов систем показанных: а) на рис. 9.4 и рис. 9.5 а). б) на рис. 9.4, рис. 9.5 б) и рис.9.6. в) на рис.9.8 г) на рис.9.9 е) на рис.9.10 е, г, д. ж) на рис. 9.11 а, б, в з) на рис. 9.11 г, д, е 6. Сформулировать отличия методов сшивания и припасовывания. 7. Определить ограничения системы внешнего электроснабжения по устойчивости тягового электроснабжения. 8. Указать условия, при которых выбирается способ линеаризации: а) разложение в ряд Тейлора; б) гармоническая линеаризация; в) вибрационная линеаризация Методические материалы рассмотрены и утверждены на заседании кафедры «Электроснабжение железных дорог » 29.11.2016 г., протокол №3. Разработчик: профессор кафедры «Электроснабжение железных дорог» А. В. Агунов